編號 南京航空航天大學 畢業論文 題 目 基于連續梁轉子模型的碰摩 故障建模及其分析 學生姓名 李陽 學 號 070450902 學 院 民航學院 專 業 民航機電 工程 班 級 0705301 指導教師 陳果 教授 二 九 年六月 南京航空航天大學 本科 畢業設計（論文） 誠信 承諾書 本人鄭重聲明：所呈交的畢業設計（論文）（題目： 基于連續梁轉子模型的碰摩 故障建模及其分析 ）是本人在導師的指導下獨立進行研究所取得的成果。盡本人所知，除了畢業設計（論文）中特別加以標注引用的內容外，本畢業設計（論文）不包含任何其他個人或集體已經發表或撰寫的成果作品。 作者簽名： 年 月 日 （學號）： 畢業設計（論文）報告紙 于連續梁轉子模型的碰摩故障 建模及其分析 摘 要 目前轉子碰摩故障動力學模型基本上是基于 子模型，模型參數難于確定，且與實際轉子模型相差很大，基于此，本文提出基于 連續 歐拉 梁 的 轉子 碰摩故障動力學模型。模型 將 轉子考慮為兩端無約束 等截面自由歐拉梁， 計入了轉軸的連續質量， 軸承對轉軸的支承力以及轉盤與轉軸的作用力均以集中力的形式作用于轉軸上 。建立了轉子碰摩故障動力學模型，推導了系統的動力學微分方程， 采用模態截斷法 ，通過截取有限個模態， 將系統偏微分方程轉化為常微分方程 組 ， 利用數值積分方法 進行求解，得 到了轉子碰摩故障動力學 響應 ，并進行了碰摩故障的非線性動力分析。最后， 運用 多功能轉子實驗 器 進行 了碰摩故障 實驗 ，對仿真和實驗結果進行了比較和分析，結果表明了本文所建立的基于連續梁的轉子碰摩故障模型的正確性和有效性。 關 鍵詞：轉子； 碰摩； 動力學 ;連續 歐拉 梁； 等截面歐拉梁 ；模態截斷 畢業設計（論文）報告紙 n t is is to so in on is of on in of is is to s by of a of it is to to s is to of to on 畢業設計（論文）報告紙 錄 摘 要 . i . 錄 . 一章 緒 論 . 1 . 1 內外研究現狀 . 1 . 1 . 2 文主要工作 . 3 第二章 動 靜碰摩的原因、現象及機理 . 5 . 5 . 5 . 7 第三章 基于連續歐拉梁的轉子碰摩故障模型 . 9 . 9 立歐拉梁的轉子碰摩故障模型 . 10 面的橫向彎曲振動 . 11 面的橫向彎曲振動 . 12 運動方程 . 13 承支撐力 . 13 . 14 28 . 15 . 16 第四章 轉子動力學碰摩實驗 . 18 . 18 畢業設計（論文）報告紙 . 18 . 19 驗原理分析 . 20 . 20 . 20 . 20 . 20 軌跡分析 . 22 . 23 . 24 . 25 第五章 結論與展望 . 26 參考文獻 . 28 致 謝 . 29 畢業設計（論文）報告紙 一章 緒 論 隨著航空事業的發展和航空發動機性能的不斷提高，人們試圖通過修改結構幾何構形以充分利用材料特性來更大提高推力 /重量比和結構效率。其重要措施之一就是縮小發動機轉靜間的間隙，并在轉靜件上采用封嚴結構（如氧化鋯、 蜂窩結構等），使之達到最小間隙，這就加劇了轉靜件間的碰摩可能性。轉靜碰摩故障的嚴重后果將使轉靜子間隙增大、軸承磨損、葉片折斷直至機械失效。在碰摩期間所產生的物理現象，如摩擦、沖擊、改變結構剛度和耦合效應等，會影響機械的正常運轉，改變系統的平衡力和動態剛度，結果使機械效率降低，導致轉子系統出現很大的法向力和切向力，產生巨大的振動和噪聲，甚至可能在幾秒鐘內對發動機產生破壞，并引起災難性事故。美國空軍（ 1994 年 7月以來，由于發動機渦輪封嚴部位的嚴重磨損導致 斗機失事，迫使 339 臺發動機直接或 間接地受到停飛的影響，持續時間近一年，造成了慘重的損失。國內運 7 飛機的 外，在國內某型發動機的研制過程中，由于封嚴材料變硬和機匣受熱不均勻變形而引起發動機轉靜件發生碰摩導致振動過大，最后導致不得不放大間隙，以犧牲性能來避免碰摩故障的出現 。 由此可見，航空發動機轉靜碰摩故障已經成為了發動機設計、制造和使用過程中的“攔路虎”，嚴重地制約著航空發動機運行性能和可靠性，并對飛行安全造成了極大威脅。因此，進行碰摩故障的機理分析，對于提高發動機的性能效率、提高發動 機的經濟性、安全性和可靠性具有極其重要的意義 。 內外研究現狀 子碰摩的數值仿真研究 一些學者針對轉子碰摩展開了探索性的理論研究。文獻 1對單盤轉子系統碰摩運動規律進行了理論分析，得出了轉子初次碰摩轉速的解析表達式，并對阻尼、偏心距和間隙對轉子碰摩轉速的影響進行了分析討論。文獻 2利用非線性理論通過建立轉子系統碰摩的射，將對非光滑碰摩系統的研究轉化為對 射的分析，文中主要對單點碰摩下的擦邊現象進行了詳細研究，得到了轉子系統在接近擦邊運動時解隨系統參數 變化的分岔情形。文獻 3根據松動碰摩 耦 合故障轉子軸承系統的非線性動力學方程，利用求解 畢業設計（論文）報告紙 線性非自治系統周期解的延拓打靶方法，對系統周期運動的穩定性及其失穩規律進行了研究，得到了系統在不平衡量一轉速、碰摩間隙一轉速等參數域內的分岔集。 文獻 4列舉了一個雙圓盤三支承的轉子動力學模型，轉子模型參數，模型示意圖，文獻 4通過理論計算表明該轉子模型的兩個臨界轉速分別為 1505r/子碰摩是一個非常復雜的非線性問題，因此數值仿真一直是進行轉子碰摩研究的主要手 段之一。目前在對轉子碰摩進行各種數值仿真研究時，碰摩運動的描述主要有兩種方法 5： 一種方法認為碰摩過程需要一段時間完成、碰摩時出現彈性變形和能量損耗，碰摩力的變化是連續但非光滑的，這種方法可由一個分段光滑的動力學方程描述 ;第二種方法認為碰摩過程是瞬時完成的，不考慮撞擊過程的細節，而利用恢復系數去反映碰撞前后的速度變化和能耗，這種描述可表示成一個帶有單側剛性約束的動力學方程。這兩種系統都是非光滑動力學系統，分段光滑模型的力學意義比較合理，但處理起來比較復雜，一般不便于 理論分析，只能用數值方法研究 ;剛性約束模 型未考慮碰摩的實際力學過程，但比較簡單，可進行理論分析，適合 于 厚機殼、大剛度轉子的系統。 文獻 6建立了單圓盤轉子非線性碰摩振動模型，研究了轉子的轉速、轉子偏心量、阻尼系數和轉子定子的剛度比對碰摩振動特性的影響。文獻 7 、 8建立了考慮油膜力的碰摩轉子的運動方程，研究了油膜力作用下的轉子碰摩振動分叉現象、剛度比對轉子系統碰摩力的影響及軸承參數對轉子響應的影響。文獻 9建立了轉子碰摩引起的彎扭禍合振動數學模型，并分析了碰摩對彎扭禍合振動的影響。文獻 10構造了具有碰摩故障的轉子軸承系統動力學模型 ，對系統在運行過程中的非線性行為進行了數值仿真分析，詳細討論了各轉速下轉子的混沌運動。 子動力學的實驗研究 許多學者對轉子碰摩現象進行了一系列的實驗研究。清華大學的褚福磊通過轉子實驗臺研究了碰摩的動特性 11，該實驗臺可以很好的模擬碰摩現象 ;長沙電力學院的鄒新兀等設計了轉子系統碰摩故障模擬實驗臺 12，為了研究碰摩力的大小對轉子動力特性的影響，該裝置巧妙設計了施力裝置，可以方便地測出所加力的大小，研究不同碰摩力對轉子動力特性的影響 ;西北工業大學的鄧小文、廖明夫等設計了新型多自由度的雙招 轉子動靜件碰摩實驗器，該實驗器的動靜件碰摩裝置設計巧妙，轉子定子間隙可在 0間調節，并能記錄碰摩時間 ； 美國的 究了有缺陷軸承懸臂支撐下的轉子碰摩的瞬時動特 畢業設計（論文）報告紙 ，并用實驗對理論分析結果進行了驗證 13； 東北大學的劉長利等也建立了轉子碰摩故障的實驗裝置，通過實驗研究了轉子系統碰摩故障的非線性振動特征 ;趙榮珍等則進行了撓性轉子系統碰摩故障傳播特性的實驗研究 14； 中國海洋大學工程學院的周麗芹介紹了在轉子實驗臺上模擬轉子不平衡和摩擦兩種典型故障的方法，將實驗結果與理論分析結果相結合進行研究 ，對故障信號進行機理分析，通過時域波形圖、 圖和軸心軌跡圖來進行識別 15。 利用實驗臺對轉子的其它動力學特性也開展了研究。西北工業大學的和興鎖及萬方義研究了有裂紋轉子的結構特點和運動特征，通過轉子實驗臺進行了驗證 7， 16； 華北電力大學的傅忠廣、楊昆等搭建了 子模型實驗臺及其測試系統 17實驗研究了在轉盤上加不同偏心時彎曲振動和扭轉振動存在的相互影響和作用 ； 西南科技大學的孫世向、夏季采用解析法對航空發動機組主軸系在偏心條件下所引起的彎曲振動和扭轉振動禍合特性進行了推理，并利 用自己搭建的實驗系統進行了實驗驗證 18； 美國的 研究了磁力軸承支撐下轉子的不平衡響應 19； 別給出了一種新的轉子平衡的方法，并進行了實驗驗證 20,21。 對轉子實驗臺的測試、數據處理方法等也展開了一系列的工作。清華大學的董永貴、向莉給出了一種轉子系統整周期采樣的軟件實現方法 22。該方法對鑒相信號與振動信號進行同步采樣，而對振動信號的整周期截取則利用軟件實現。其優點在 于 可利用通用數據采集卡實現整周期采樣。在轉子實驗臺上的實驗結果表明 ： 這種方法可有效滿足轉子 振動信號處理對信號采樣的要求。中國民用航空學院的徐一 鳴 、劉靜宇就發動機轉子試驗臺開發了一套以 件為基礎語言的信號測試系統，以模擬真實狀態下對單轉子發動機的振動信號檢測，通過在實驗室調試使用，證明該系統性能可靠，操作簡便，有很大的靈活性和發展潛力 23。西安交通大學機械診斷與控制學研究所、美國 司、鄭州大學振動工程研究所等研究了針對轉子的全信息分析技術，該技術基十信息融合技術構建，能夠綜合考慮轉子振動的幅值和相位信息以及在垂直和水平兩方向之間的相互關系，便于了解轉子振動的全貌 24。 文主要工作 目前碰摩研究主要是針對簡單的 子， 由于模型過于簡單，與實際的連續轉子模型相差甚遠，因此， 建立更加接近實際的 轉子 動力學模型，深入了解其故障機理，對 畢業設計（論文）報告紙 正確進行碰摩故障診斷具有重要的意義。由 于 轉子動靜碰摩的復雜性及表現的物理現象的多樣性，使得對機理的研究必然涉及到多方面的內容，本文著重對基于歐拉梁的轉子動力學建模進行建模和計算，來研究轉子動靜碰摩問題。全文的主要內容包括 ： 第一章為緒論，簡單介紹了對轉子碰摩問題研究的歷史和現狀，并簡單陳述了本文的研究目的和意 義。 第二章 介紹了轉子碰摩故障原因、機理及現象。 第三章建立了本文所用的碰摩模型進行理論分析，并采用模態截斷法將偏微分方程轉化為常微分方程并且利用數值積分法求解。給出了模型詳細計算參數。從側面驗證了數值積分方法和計算程序的正確有效性，從而達到模擬仿真實驗驗證，為后面詳實的實驗理論分析奠定了基礎。 第四章通過 進行 實驗 ， 來進一步 對 驗 證仿真理論驗證 ，以及指出了理想建模和實際的差別，為以后的研究提供了方向。 第五章 總結了全文研究工作，得出了若干結論，并對未來工作提出了一些設想及建設性 結論。 畢業設計（論文）報告紙 二章 動靜碰摩的原因、現象及機理 航空發動機 的徑向和軸向碰摩通常發生在隔板汽封、葉片圍帶汽封以及軸端汽封部位，徑向碰摩還可能發生在各軸承的油檔、檔汽片部位，發 動機的徑向碰摩通常發生在密封瓦處。但是一個設計合理制造工藝良好，且 在正常工況下工作的轉子軸承系統發生碰摩的情況是比較少的，碰摩往往是由以下原因造成的。 (a)轉軸振動過大。造成振動過大可以是質量不平衡、轉子彎曲、軸系失穩等，不管何種原因，大振動下的轉軸振幅一旦達到動靜間隙，都 可能與靜止部位發生碰摩。 因此，和動靜碰摩有關的機組故障中，碰摩常常是過程，而非根本原因。 (b)由于不對中 (特別是熱態軸承標高引起的不對中 )等原因，使軸頸與轉子部件在通流部分間隙改變甚至消失引起碰摩。非轉動部件的不對中或翹曲也會導致碰摩。 (c)動靜間隙不足。 一方面盡量減小密封間隙和軸承間隙 , 以減少氣體和潤滑油泄漏泄漏， 另一方面設計上的缺陷所造成的，設計人員將間隙定為過小的量值，向安裝部門提供的間隙要求同樣太小。也有可能是安裝、檢修的原因，動靜間隙調整不符合規定所致的。實際上，通 流部分的動靜間隙是受多種因素影響的，如真空、凝汽器灌水、缸溫等，如同找中心一樣，即便在開缸狀態下調整好，扣缸后的上下間隙也要變化，因此間隙量的控制在一定程度上和設計人員以及安裝、檢修人員經驗有關。 (d)缸體跑偏 ,彎曲或變形。高壓轉子前汽封比較長，啟動參數掌握不當容易造成這個部位發生碰摩，進而造成大軸塑性彎曲。上下缸溫差過大，造成缸體彎曲變形，是碰摩彎軸的主要運行原因之一。 此外 ， 溫度變化大使軸系振動過大也會引起動靜件之間的磨擦。軸系中的零部件松動或脫落、大的外部激勵等也是造成動靜部件磨擦的原因 所在。 摩發生的機理和種類 轉子在轉動過程中由 于 上述原因發生碰摩時，轉子上的碰摩點會受到一個徑向作用力和一個逆轉向的切向摩擦力作用。如果轉子在它轉動的一周中始終與靜子保持接觸，為全 畢業設計（論文）報告紙 碰摩，一周中只有部分弧段接觸，為部分碰摩 。 發生全周碰摩的靜子在 360 度周向都要接觸，轉子可以是只有部分弧段接觸，也可以是全周接觸。轉子的部分碰摩含有二種物理現象 ： 碰撞即沖擊、摩擦以及轉子剛度的改變。 (1)沖擊現象。碰摩發生時，由上述可知發生在轉軸上有兩種力，其一就是沖擊力，即碰撞力，這個力引起碰摩點部件結構的 局部壓縮變形，并引起轉軸的反彈運動。當轉子與固定件相碰的時候，直接的沖擊力并不很高，因為進動的速度相對來說較低 (進動的速度正比 于 中心偏移量，這個偏移量不會太大 )，而轉子的旋轉運動 (速度正比 于 軸的旋轉半徑 )產生的影響更顯著。沖擊發生后轉子的響應中有較復雜的瞬態橫向振動和扭轉振動，其中扭轉振動是由扭矩的突變引起的，橫向反彈運動的方向取決 于 障礙物相對 于 轉子進動的位置、接觸面積和轉子圓周速度，反彈運動可能與原來的運動方向一致，也可能把它變為反進動。沖擊后轉子的振動是橫向自由振動，也就是頻率等 于 轉子自由振動中的一個或 者為它們的組合 (最可能的是以最低橫向自然頻率振動 )。這種橫向自由振動的響應疊加到旋轉運動和強迫振動上去形成復雜的但經常重復的轉子響應。 (2)摩擦效應。摩擦力是作用在接觸點的切向力，轉軸上的摩擦力與旋轉方向相反，摩擦力與碰撞力的關系很大，它產生在相對接觸的零件每一個有相對運動的地方，它的大小主要取決 于 零件間的正壓力、材料、零件表面性質以及它們相對速度的方向。 當轉子與某一障礙物接觸時，相對運動的方向通常是可以預先決定的，在多數情況下，轉子為正進動，也就是與轉速方向一致。當和障礙物接觸時， 正壓力及作用 于 轉子上的摩擦力主要受不平衡大小的影響，另外轉子與障礙物是只在渦動周期中的一部分時間內的局部表面接觸還是連續不斷的保持接觸也會使摩擦力發生變化。 摩擦力會改變轉子的轉動和進動，轉子的旋轉運動受驅動力矩和正常的外載荷相抵消后額外的力矩的影響，摩擦力作用的結果先使轉速下降，隨后當摩擦力去掉時產生瞬時的扭轉振動。在整周摩擦的情形下，很大的摩擦力可能使進動的方向突然發生變化，由正進動變為連續的向后渦動 (叫做“干渦動” )。處 于 反進動狀態下的轉子經受著高頻交變應力，這就可能導致轉子和整個機器的毀壞。 由 于 摩擦力為一非線性力， 它 產生包含高次諧波分量的復雜的響應和進動頻率的多重性。 轉子摩擦的另一個影響是與摩擦力的基本性質有關的。因為運動的動能一部分轉變成熱能，一部分消耗在接觸表面的磨削 (磨損上 )，所以有能量損耗，這就產生了由 于 間隙條件 畢業設計（論文）報告紙 變而引起的摩擦條件的變化，局部發熱可能導致轉軸的熱變形或密封的損壞。 (3)系統剛度的改變。系統剛度的變化是一個比較易 于 理解的問題，要定量進行分析卻有相當的難度。旋轉機器的剛度決定機器的自然頻率 (共振頻率 )，這個剛度是由軸的剛度、支座的剛度、還有包括軸承及密 封的剛度決定的。當轉軸偶然和一靜止物接觸時，這種新的邊界條件改變了它的剛度，剛度的變化量取決 于 障礙物相對十軸的軸向位置和障礙物的自身剛度 (柔度 )。 障礙物通常存在于軸的某一固定位置上，如果與轉子產生接觸則在每一旋轉周期的一部分時間內或者在保持整周接觸時則是連續地影響軸的剛度。在局部摩擦下，轉子的剛度在最低值 (不與障礙物接觸 )與最高值之間變化 (轉子和障礙物接觸 )。剛度變化的頻率與只有進動的頻率相同，這就可能發生存在于有周期性變化參數系統中的一個常見問題 ： 自由振動的不穩定性。通常轉子有足夠的阻尼，特別對 于高階諧量不可能達到。 摩產生的熱效應 熱效應對旋轉機器的碰摩特征有著顯著的影響。當發生碰摩時，由 于 圓周上各點的摩擦程度不同，因 而 導致轉子溫度在整個圓周上的分布不均勻，溫度的不均勻使得轉子各部分的膨脹不均勻，從 而 造成整個轉子的彎曲，產生不平衡力引起振動，這就是碰摩造成振動的最根本的原因。在振動高點由 于 摩擦產生的熱量使該處產生膨脹變形，其引起的轉軸偏心可等效為一個質量不平衡，稱為熱不平衡，其所處的方向即為振動高點的方向。 動靜碰摩 引起的熱彎曲在不同的轉速下有不同的反映，具體可以分為工作轉速低于 臨界轉速的碰摩、臨界轉速附近的碰摩和工作轉速高 于 臨界轉速的碰摩 三 種情況 : 工作轉速低 于 臨界轉速時，滯后角小 于 90 度，由 于 碰摩造成的熱彎曲所產生的一個不平衡量和原來的不平衡量合成的結果是大 于 原來的不平衡量。這樣就造成了動靜碰摩的進一步加劇，轉子的熱變形越來越大，形成惡性循環。這種情況對機組的安全穩定運行構成了極大的威脅，如不及時處理，很可能在短時間內造成大軸彎曲事故。 工作轉速在臨界轉速附近時，此時滯后角等 于 90 度，產生的碰摩情況和前者差不 多，碰摩引起的振動會越來越嚴重。由 于 本身在臨界轉速附近的振動就非常 大 ，而且 振動對不平衡的變化十分敏感。因此碰摩一旦發生，它對機組的危害較前者也要嚴重一些，碰摩發生時不可在臨界轉速附近停留。 工作轉速高 于 臨界轉速時，此時滯后角是大 于 90 度的，由 于 碰摩 而 產生的不平衡分量 畢業設計（論文）報告紙 原來不平衡分量合成的結果是小 于 原來的不平衡分量，該不平衡的幅值會越來越小。摩擦產生的熱不平衡使轉子振動逐漸減小，摩擦消失，熱彎曲慢慢恢復，此時轉子振動又會漸漸增大，重復上述過程，轉子出現振動的周期性波動，但轉子振動不會發散。 畢業設計（論文）報告紙 三章 基于連續歐拉梁的轉子碰摩故障模型 摩力數學模型 碰摩發生時，單圓盤坐標和碰摩力如圖所示。圖 ， o 為靜子中心， 1o 為單圓盤形心初始位置 2o 為單圓盤形心位置， c 為單圓掀質心，必為轉過的角度， 為轉靜子間隙圓半徑， 1 是建立在系統靜止時轉子形心的固定坐標系， 為碰摩正壓力， 切向摩擦力。系統靜止時，轉子形心與靜子形心存在一定的不對中量 (對應圖中的 1離 )，其值為 0 ，旋轉過程中，轉靜子形心距為 ： 220 )( 。當 r 時，碰摩發生，碰摩力可表示為 ： F )( (3定子的徑向剛度， 為轉子與靜子間的摩擦系數，摩擦力方向由符號 決定 ： 101 000 是動靜碰摩點的線速度，它與轉子自轉角速度和渦動角速度有關，其表達式為 ： 圖 摩力模型 畢業設計（論文）報告紙 )(Rr （ 3 式中， 0R 為碰摩點到轉子形心的距離。在固定坐標系中，碰摩力可表示為 ： s o s),( s o s),(式中， 為碰摩點與軸的夾角 并有 0 y 、 x以碰摩力可表示為 ： 1)( r 01 3 可以看出，碰摩力是轉子位移的非線性函數，由十上式中矩陣兀素是非對稱的，轉子在運動過程中將有可能出現不穩定。碰摩力的存在，將使定子在碰摩點對轉子形心產生摩擦力矩 有 ： 00 （ 3 與質量偏心引起的不平衡量一樣，碰摩點的正壓力對轉子形心的矩為零，故不列出。更完善的碰摩力模型進一步考慮轉子軸承系統由十碰摩而引起的剛度增大，及碰摩時的熱效 應等現象，但由于都存在一些難以定量的參數，所以在此模型中暫時沒有考慮。 立歐拉梁的轉子碰摩故障模型 當轉子旋轉時，由于不平衡故障的激勵，可能激發起轉子產生橫向彎曲振動，與上所述的模型一樣，模型不考慮轉軸的扭轉振動和圓盤的陀螺效應，由于支承和轉盤是集中的方式相互作用，所以增加轉盤和支承數對轉子模型的復雜度增加不少，在下面推導中，僅僅以兩支承但盤轉子為例，且假設圓盤在兩支承中間。其它的多圓盤多支承可以以此類推。 （ a）轉子模型 畢業設計（論文）報告紙 圖中， 我們可以得知, 軸慣性量，轉軸長度，轉軸密度，轉軸截面積； pp 轉軸與圓盤之間的連接剛度和阻尼； e 質量偏心量；x 和 y 方向作用力。x 和 y 向作用力。x 和y 向作用力。 坐標 固結于轉軸左端的直角坐標系， 圖中，坐標 結與轉軸左端的直角坐標系， 考慮轉軸在 面和 面的橫向彎曲振動。 面的 橫 向 彎 曲振 動 設轉軸的振動為移動變量 ),( 轉軸的彈性模量 E ,界面轉動慣量為 I ,密度為 ，截面積為 A 則，轉軸的振動微分方程為： 44 ),(z r+t r 22 ),(= )( )( + )2/( （ 3 其中，pkt ） - 2/L ， t ） +),2/()( . ,后面推導，方程（ 3四階偏微分方程， 為了進行數值分析，需要將其化為有限自由度的二階常微分方程，由于梁的 振動主要有少數幾個低階振動模態 決定 ，因此，本文采用模態截斷法，選擇 低階模態來研究自由梁的振動。為此引入自由梁正交函數系 )1( 28,29，即： b)轉子受力示意圖 圖 于等截面毆拉梁自由梁的轉模子型 畢業設計（論文）報告紙 2),s i n()c o s()/21(31321(3式中，,為常數。取值見表 表 由梁函數系數 m 1 2 3 4 5 6 _ _ m 0 0 )32( m 轉軸在 面的橫向彎曲振動可近似表示為 )()(),(1 （ 3 將式（ 3入（ 3并在等式兩邊同乘以 )(P =1， 2 然后在轉軸全長范圍內對 z 積分，利用模態正交性和 函數的性質可 得： )2/()()0()()()()()( 4400 2 （ 3因為， 444002 .)().(,)(nL n ， 所以，式 （ 3可以化為 )2/()()0()()(4 （ 3 此即在 面中轉軸振型坐標的二階常微分方程組（ n=1 基本形式。 面的橫向彎曲振動 當轉子圓盤模型與轉子之間 x 和 y 向的剛度慮轉 設轉軸在面的橫向彎曲振動位移變量 ),( 軸的振動微分方程為 44 ),(z r+t r 22 ),(= )( )( + )2/( （ 3中，pkt ） - 2/L ， t ） +),2/()( . ,后面推導。同 樣截取的 低階模態，引入自由梁正交函數nY(n =1 畢業設計（論文）報告紙 ： 2),s i n()c o s()/21(31321(3式中，,的取值見表 1。 轉軸在 面的橫向的彎曲振動可近似表示為 )()(),(1 (3同理可以的在 面中轉軸振型坐標下的那個彎曲振動可近似表示為 )2/()()0()()(4b b + n0 )( (3摩轉子運動方程 盤的質量偏心所產生的不平衡力以及轉盤與靜子間的碰摩。根據牛頓第二定律，可得其運動微分方程： )c o s (),2/()(),2/()( 2. （ 3 )s i n (),2/()(),2/()( 2.+3 承支撐力 轉 子 支承力學模型 有以下幾種： （ 1）軸承 在分析轉子橫向彎曲振動特性時，只需考慮滾動軸承徑向剛度的影響。當轉子的剛度比軸承剛度小得多的時候，可視軸承為“剛性鉸支”；若轉子剛度及軸承的剛度大于軸承剛度或與其數量級相當時，則軸承剛度對動力特性有顯著影響，此時不能再視為“剛性鉸支”，而應處理為具有一定彈性的彈簧。 （ 2）彈性支承 發動機中常用的彈性支承有鼠籠式、拉桿式、彈性環式（單環式、多環式）。某些渦槳發動機轉子上及某些試驗器上海經常用到非金屬彈性支承，如橡膠支座。彈性支承的剛度對轉子動力特性影響很大，其簡化為典 型的“彈簧”。 （ 3）帶擠壓油膜的彈性支承 畢業設計（論文）報告紙 了有效減振，發動機在采用彈性支承的同時往往還要加入擠壓油膜，這種支承的力學模型是一種彈簧與阻尼器的組合，需要靠里油膜剛度。 為簡化計算本文采用的轉子軸承支撐力 如（ 3（ 3（ 3式（ 3所示： ),0(),0( （ 3,0(),0( （ 3,(),( （ 3 ),(),( （ 3 統模型求解 系統模型的求解方法常用的數值積分方法有 : 法、 、 。因為在本計算中用的是 適用于 求解大型非線性動力學問題 的新型顯示積分方法 。我們將詳細介紹 這種算法的基本理論。 經典的數值積分方法有兩種：隱式法和顯示法。隱式法如常用的 、 、 的 a 法和 配置 法等 以及 法等，無論對線性還是非線性問題，其數值穩定性一般較好，有助于時間積分步長的選取，然而，隱式法每向前積分一步都需要求解一次大型線性代數方程組，特別是對非線性問題還 需要 重新計算 C 、 K 矩陣，重新進行三角分解，這給多自由度的大型工程問題分析帶來很大困難，其計算量驚人的，計算費用也是相當可觀 。 因此，人們尋求顯式方法顯式法即有計算效率高等特點。不過這常常要以犧牲一定精度或穩定性為代價，時間，步長的選取須受到穩定性條件 的限制， 經指出：在經典的線性多步 法 中，不存在無條件穩定的顯式方法。在現有的顯式法中，四階 法和中心差分法是目前最為常用的兩種。當 M 為對角陣時，四階 法可不解方程組，但每步 積分 均需反復循環計算四次，且穩定計算步長往往很小，因而計算速度極慢。如果系統阻尼可以忽略或者 M 與 C 成比例，那么中心差分法在整個積分過程中只有求作一次三角求解：進一步，若 M 和 C 同為對角陣，則可不解代 畢業設計（論文）報告紙 方程組。然而對于大量的工程實際問題，其阻尼非但不能忽略反而還很復雜， C 常常不是簡單的對角陣，相反地， M 容易對角化（例如結構動力分析中對聯系體離散常用集中質量參數）。此種情形下，各步積分必須解算一次線性代數組。可見 中心差分法用于解決大型非線性實際問題無明顯優越性。 為了克服上述顯示法的不足， 文獻 提出了 新型快速式