遠期利率協議合約估值 該文結合實例介紹了F RA新合約及存續合約的定價方法,并展示了F RA無套利利率的推導過程。 A bs t r sc tAsa ni n ve s t m en tt o ol hu gelyP oP ul ari nt h e朽n a n e i al s e o t o r,F o r wa r dR a t eAgr eem en t(F RA)15t h eb uil di n g bl o e kso fothe ri n t er es tr at ed er i vati ve s.I ten able s in ve st or sto Ioek一i na ni n t er estr at ef orb orr ow in gorl en ding,a n d ali ow sent er Pr i se so thedgef ut u r einter estr ater is ks.T hisP aP eru sese xa mPl est osh owth emea s ureso frPriein gan ewF RAoran ex istingF RA,andP res entet he Po rcos sofderi ving th ear bit ra ge.fe eF RAra te.、一匹期利率協議(簡稱F RA)是一種以利率計價而非以所交易證券或商品價格計價的遠期合同。 它是很受業界歡迎的一種投資工具,也是其他利率衍生品(如掉期)的基礎。 F RA能幫助投資者在未來的一段特定的投資期限T1,TZ內(例如,自Tl年后開始至TZ年后結束)拆出或拆人一筆特定的本金P時鎖定利率k。 這樣的一個F RA指的即是一個I TxTZ的FR A。 按照市場慣例,投資期限一般以月份數來表示;例如,一個4x7的F RA所指的是從4個月后開始到7個月后結束的為期3個月的投資期限,下文將繼續沿用這一慣例。 一、F RA的收益F RA非常近似于這樣一種合約,即多頭同意向空頭在一段期限內【Tl,TZ按固定利率k借人本金數量P。 然而,兩者還是有一些重要區別。 在一筆實際發生的該種類型的借人/借出交易中,多頭在T:時點將從空頭方收人本金P,在TZ時點上將連本帶息(k)償還給空頭方。 而F RA對這些雙向的現金流做出了修改。 首先,在F RA中沒有實際的本金(P)的交換,相反,F RA中的多頭只是從空頭方收到一筆利息差額,即參考利率l與期限T:,T21內本金P的約定利率k之間的差額。 其次,在一筆真實的借人/借出交易中,利息支付僅僅在到期日TZ時點上發生,與之不同的是,F RA中I與k的差額(l一k)是通過將現金流從TZ時點貼現回lT時點,而在時點Tl處結算。 F RA中的參考利率l一般而言是與期限長度t TI,TZ相匹配的L ibo r利率,如期限lT,TZ是3個月長度,那么l為3個月L ibo r。 本文所采用的參考利率均為與期限匹配的L ib or利率。 該文蘆譯自紐約大學R angara jan K.sundara m教授的相關文章/斷枷N OYET ocB O印,13圖,F RA的收益5550,000灼/7,an,00T/2225,000州/*1.2以耳】o o+歲產產幣幣周勺J尸尸邵邵l歲f ff終000書一一+一一葉一一-一卜一一一卜產盆樸一確確_!a。 ,a02a的.0口夕而.05。 06a070.08a099912”.00才/25,網州/召.750O州/一一50,口以】oo占777月15日的3個月期L ib or利率率圖1描繪了對應于7月15日可能的L ibo r利率(值),F RA多頭的收益曲線,計算這些收益的公式多頭收益-(z一。 ,05)、絲360l*l竺360xs,000,000需要注意的是,雖然圖1中收益值與l值看上去呈線性關系,但由于在公式中l值既出現在分母中,也出現在分子中,因而收益曲線事實上是有一些曲度的。 因此,在一個投資期為d天的FR A合約里,給定一個名義本金P和固定利率k,我們得到:下文的例子將介紹F RA的收益。 由于F RA是貨幣市場工具,利息支付的計算遵循貨幣市場的天數計算慣例。 在美國,采用的是“-塞暨翌鰲”的慣例。 多頭收益二d(l一k)x360,:dl+l360 (1)360這里的l是結算日實際的浮動利率例1F RA的收益假設今天是3月15日,投資者買人一個4只7遠期利率協議,浮動利率(即參考利率)是3個月L ibo r,本金數額P5,000,000美元,固定利率(協議利率)k一5.00%。 該筆F RA中的投資期限從7月巧日開始(從今日起4個月后),至10月巧日結束(從今日起7個月后),共92天。 假設7月15日當日市場上實際的3個月L ibo r是=15.40%,l一k的差額是0.40%,將這一利差計人為期92天的5,000,000美元,得:0.O O4x(92/360)XS,000,000一5,111.11這筆金額必須被貼現回7月巧日,為此,用7月巧日的3個月i Lbor作為貼現利率,得到: 二、F RA新合約的定價在一個FR A合約的初始,所設定的固定利率k須使得合約價值對交易雙方而言均為零。 這個利率亦成為一個新的F RA合約的價格,在附錄中,將描述這個利率是如何通過復制(例如,通過模仿F RA結構中的現金流而構建的投資組合)被推導而來的。 結果表明一個F RA新合約的無套利價格必然是:k一里竺竺豎Zx塑B(兀)d (2)5,111.11,“,氛=5,041.54這就是7月15日結算時投資者從空頭方得到的金額數。 另一種情況是,假設7月15日當日市場上實際的3個月L ibo r是l=4.70%,l一k的差額是4.70一5.00=一0.30%,將本金5,000,000美元按此利差計算其在92天內的利息:一0.003減(92/360)xs,000,000一3833.33將這筆收益按3個月L ibor利率貼現回7月巧日,我們得到:3,833.33“刀,希=一3787名3這也是投資者在7月15日須向空頭方支付的金此處,(BT)表示的是以L ibo r利率貼現計算,在T時點應收的1美元的現值;d代表的是T:與TZ間的天數。 例2F RA新合約的定價假定當前3個月L功。 r利率是4%,6個月L ibor利率是4.5%,假設第一個3個月期的天數是92天,第二個3個月期的天數為91天,此時這個新的F RA的價格應該是多少呢?首先必須計算適用于3個月和6個月水平上的貼現因子,既然3個月Li bo r利率是4%,那么1美元投資3個月將得到:1+(0.04)92/360=1.01022因此,3個月貼現因子:B (3)=1/1.01022=0.98988同樣,1美元投資6個月將得到:1+(0.045)183/360=1.012288故6個月的貼現因子:B (6)=1/1.0229=0.97763現在,采用公式 (2)中的貼現因子,這個3x6F RA14中國貨幣市場200州。 合約的無套利價格就是:0.98988一0.97763二二-0,97763型=.49%69l 三、存續F RA的估值如果一段時間以前訂立的一個F RA合約名義本金為P、固定利率為k,時點0表示現在時刻,投資期為T1,T21,即該F RA合約自今日起的l T月后開始,并至今日起的TZ月后結束,那么該F RA合約在今天的價值是多少?用d來表示Tl與T Z之間的天數,B(T)的含義與上述相同,根據附錄中的推導結果,此時F RA的合約價值為:。 f_J_、_,_、乙.,d、r飛。 L,一”幾2+左而了事實上,公式 (2)中FR A新合約的價格也是通過將上式設為O后求出值而得到的。 例3存續F RA合約的估值繼續以例2中的3x6F RA合約為例。 該F RA合約初始的固定利率為4.96%。 假設本金為$25,000,000。 一個月后,F RA合約變成2xS F RA合約。 若此時2個月和5個月Li bo r利率分別為5.5%和6%。 那么現在這個FR A合約的價值是多少呢?假設前面兩個月為61天,后三個月為91天。 若以L ibo r利率5.5%投資1美元,兩個月到期時金額為:1+(0.055)61/360=1.00932因此,兩個月的貼現因子:B (2)=1/1.00932=0.99077同樣,五個月的貼現因子:B (5)=0.97529將這些值代人公式 (3),該F RA合約的當前估值如下:的多頭合約,并在T,時以當前L山。 r利率l借人相應款項。 在這樣的策略安排下,公司A將以l償還所借款項的利息,同時從F RA合約中收到卜k的利息差。 從而,該公司的凈支付利率為l一(l一k)一k,即F RA合約中的固定利率。 同樣,如果投資者希望鎖定在將來!l T,TZ期間的貸款利率。 該投資者可以訂立FR A空頭合約,然后在Tl時以當前的i Lbo r利率l發放貸款。 該投資者從貸款中獲得的利息為l,同時按FR A合約支付卜k的利息差。 因此該投資者凈收人利息為k,即FR A合約中的固定利率。 所以,通過在Tl時按當前L ibo r利率l借款(或貸款)的同時,簽訂一個F RA合約頭寸,借款者和投資者可以有效地將借款成本或貸款收益鎖定在FR A合約的固定利率上。 例4用F RA合約來套期保值以例1為基礎。 3月巧日,B公司預計需要在7月15日到10月15日的三個月期間借款5,000,000美元。 B公司在3月巧日簽訂了一個4火7F RA合約,并在7月15日以L ibo r利率借人500萬美元。 該FR A的固定利率為k=5.00%。 我們分兩種情況考慮7月巧日當天的L ibor利率:=15.4%或=14.7%,在兩種情況下,B公司的凈現金流是一樣的。 當然,這兩個iLb盯利率只是舉例說明,事實上你將發現,無論7月巧日Li bor利率為何值,該公司的現金流都是一樣的。 在計算中,要注意7月15日至10月巧日的三個月為92天。 假設1:7月巧日的L ib or利率為5.4%在這種情況下,就像我們在例1中所見,多頭(此處為B公司)在7月15日從F RA合約的結算中獲得5041.54美元。 將這些收人以當前的Li bor利率(5.4%)投資三個月,則B公司在10月15日收到的現金流如下:,。 0。 ,00。 0,“,一(。 97529)、91l+0.0496)3605,041,54x(l十(0.054)竺)一5,121.11360一+81,150.40該F RA合約的估值為正,這表明該F RA合約自訂立起,利率已經上升了。 四、用F RA合約來套期保值如果FR A合約僅僅是不同利率的互換,那么它是如何幫助借貸雙方鎖定未來的借款/貸款利率,以規避利率風險的呢?例如,A公司預計他們要在T1,TZ期間以Li bor的利率借款。 如果A公司現在以固定利率k訂立FR A7月15日,公司B還必須按Li bor利率為5,000,000美元的貸款支付利息。 這筆利息金額為:5,000,000x(0.054)92/360=69,000.00這樣,公司B的凈現金流出為:69,000一5,111.11=63,888.89假設2:7月巧日的iL bor利率為4.7%正如例1所示,7月巧日,多頭必須向空頭支付3,78783美元。 如果7月巧日,B公司按L ibor利率(4.7%)借人同樣的款項,期限為3個月。 那么3個月以后,現金流出為:淵!琳M ON EYO CTO BERxx15,_.92,UUU,U UU xtU.U勺4)=6,000.00360而且,7月15日公司B還可按L ibor利率收人5,000,000美元的貸款利息,利息金額為:5,000,000火(0.047)92/36060.055.56因此,公司B的凈利息成本為:60,055.56+3,833.33=63,888.89這與假設一中的公司現金流出是一致的。 投資。 現實中的套期保值會成功但也會帶有一定的偏差。 這引發了一個有趣的問題:雖然到期結算可以讓企業獲得完美的套期保值功能,那為什么F RA合約通常都會提前結算,而非到期結算呢?答案很可能是銀行出于減少對F RA持有者的信用敞口的考慮。 .(曾芳琴、葛棵譯) 五、評論在實際操作中,如此完美的套期保值并不可行,因為企業一般很難按Li bor進行單筆現金流的借款或令當前的時間為D。 如果今天簽訂一項T產TZ的F RA合約。 我們要得到的是,使F RA合約價格為零(對合約雙方而言)的固定利率k的值。 根據公式(l),Tl時,一份FR A合約的多頭收益為:由于浮動利率l在T l之前是的,所以在T。 時點上第二部分是一筆不確定量的現金流出。 但是,無論喲實際價值,若這些金額是在T:時按利率l投資的,那么它就會變成確定數量:1+、衛d.1一K,X360l+z三360360一十z二360(1,二=,1+* 二、 (7)又360/又360)多頭收益- (4)這里的I是f IT,TZ期間T:時的實際浮動利率。 我們先按任意給定的k,確認這些多頭收益在T。 的當前價值(P V),然后選擇k的值使當前價值(PV)為零。 為此,對任意T,令B(T)代表T時應收的1美元在D。 的現值(PV)。 首先,在方程 (4)的分子中依次加、減一個本金P,可得:這樣,方程 (6)中Tl時不確定的現金流出等于方程 (7)中等號右邊的金額在TZ時確定的現金流出。 這意味著,從T。 時看,F RA的現金流(方程 (4)等于以下兩個現金流的和:1.TI時P的確定流人量2.TZ時尸1 十、廠二)的確定流出量又.k360夕夕這些流