全國中考信息資源門戶網站 2012中考數學壓軸題及答案40例（1）1.如圖：拋物線經過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點. （1） 求拋物線的解析式. （2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經過t 秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。（注：拋物線的對稱軸為）解：設拋物線的解析式為，依題意得：c=4且 解得 所以 所求的拋物線的解析式為（2）連接DQ，在RtAOB中，所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =7 5 = 2因為BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB因為AD=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以DQAB所以CQD=CBA。CDQ=CAB，所以CDQ CAB 即所以AP=AD DP = AD DQ=5 = ， 所以t的值是（3）答對稱軸上存在一點M，使MQ+MC的值最小理由：因為拋物線的對稱軸為所以A（- 3，0），C（4，0）兩點關于直線對稱連接AQ交直線于點M，則MQ+MC的值最小過點Q作QEx軸，于E，所以QED=BOA=90 DQAB， BAO=QDE， DQE ABO 即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）設直線AQ的解析式為則 由此得 所以直線AQ的解析式為 聯立由此得 所以M則：在對稱軸上存在點M，使MQ+MC的值最小。2.如圖9，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），OBOC ，tanACO（1）求這個二次函數的表達式（2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由（3）如圖10，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，APG的面積最大？求出此時P點的坐標和APG的最大面積.（1）由已知得：C（0，3），A（1，0） 1分將A、B、C三點的坐標代入得 2分解得： 3分所以這個二次函數的表達式為： 3分（2）存在，F點的坐標為（2，3） 4分理由：易得D（1，4），所以直線CD的解析式為：E點的坐標為（3，0） 4分由A、C、E、F四點的坐標得：AECF2，AECF以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形存在點F，坐標為（2，3） 5分（3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，易得G（2，3），直線AG為8分設P（x，），則Q（x，x1），PQ 9分當時，APG的面積最大此時P點的坐標為， 10分3.如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。求拋物線的解析式；設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由;若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標。拋物線與y軸交于點C（0，3），設拋物線解析式為1分根據題意，得，解得拋物線的解析式為2分存在。3分由得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x1。4分若以CD為底邊，則PDPC，設P點坐標為(x,y)，根據勾股定理，得，即y4x。5分又P點(x,y)在拋物線上，即6分解得，應舍去。7分，即點P坐標為。8分若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x1對稱，此時點P坐標為（2，3）。符合條件的點P坐標為或（2，3）。9分由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據勾股定理,得CB,CD,BD,10分,BCD90,11分設對稱軸交x軸于點E，過C作CMDE，交拋物線于點M，垂足為F，在RtDCF中，CFDF1,CDF45,由拋物線對稱性可知，CDM24590,點坐標M為（2，3），DMBC,四邊形BCDM為直角梯形, 12分由BCD90及題意可知，以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在。綜上所述，符合條件的點M的坐標為（2，3）。13分4.已知：拋物線yax2bxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OBOC）是方程x210x160的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x2（1）求A、B、C三點的坐標；（2）求此拋物線的表達式；（3）求ABC的面積；（4）若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EFAC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（5）在（4）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時BCE的形狀；若不存在，請說明理由 解：（1）解方程x210x160得x12，x28點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OBOC點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）又拋物線yax2bxc的對稱軸是直線x2由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（6，0）A、B、C三點的坐標分別是A（6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）點C（0，8）在拋物線yax2bxc的圖象上c8，將A（6，0）、B（2，0）代入表達式yax2bx8，得解得所求拋物線的表達式為yx2x8（3）AB8，OC8SABC 88=32（4）依題意，AEm，則BE8m，OA6，OC8， AC10EFAC BEFBAC即 EF過點F作FGAB，垂足為G，則sinFEGsinCAB FG8mSSBCESBFE（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m自變量m的取值范圍是0m8（5）存在 理由：Sm24m（m4）28且0，當m4時，S有最大值，S最大值8m4，點E的坐標為（2，0）BCE為等腰三角形5.已知拋物線與軸的一個交點為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點C直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與軸的另一個交點B的坐標；當點C在以AB為直徑的P上時，求拋物線的解析式；坐標平面內是否存在點，使得以點M和中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：對稱軸是直線：，點B的坐標是(3,0) 2分說明：每寫對1個給1分，“直線”兩字沒寫不扣分如圖，連接PC，點A、B的坐標分別是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211，b 3分當時， 4分 5分存在6分理由：如圖，連接AC、BC設點M的坐標為當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CMAB，且CMAB由知，AB4，|x|4，x4點M的坐標為9分說明：少求一個點的坐標扣1分當以AB為對角線時，點M在x軸下方過M作MNAB于N，則MNBAOC90四邊形AMBC是平行四邊形，ACMB，且ACMBCA