方程思想 在解決數學問題時，有一種從未知轉化為已知的手段就是通過設元，尋找已知與未知之間的等量關系，構造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉化，這種解決問題的思想稱為方程思想。 1. 要具有正確列出方程的能力 有些數學問題需要利用方程解決，而正確列出方程是關鍵，因此要善于根據已知條件，尋找等量關系列方程。 2. 要具備用方程思想解題的意識。 有些幾何問題表面上看起來與代數問題無關，但是要利用代數方法列方程來解決，因此要善于挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識，還有一些綜合問題，需要通過構造方程來解決。在平時的學習，應該不斷積累用方程思想解題的方法。 3. 要掌握運用方程思想解決問題的要點。 除了幾何的計算問題要使用方程或方程思想以外，經常需要用到方程思想的還有一元二次方程根的判別式，根與系數關系，方程、函數、不等式的關系等內容，在解決與這些內容有關的問題時要注意方程思想的應用。例題分析 例1：一商店以每3盤16元錢的價格購進一批錄音帶，又從另外一處以每4盤21元錢價格購進比前一批數量加倍的錄音帶，如果以每3盤k元的價格全部出售可得到所投資的20的收益，求k的值。 分析：可以設商店第一次購進x盤錄音帶，則第二次購進2x盤錄音帶。根據題意，列出方程： 答：k的值是19。 小結：上述例題是應用問題，正確列出方程是解題的關鍵，在學習過程中要不斷培養這方面的能力。其中所設的x是輔助元，它在解題過程中是參加變化的量，可以消去，也叫做參變量，并不是最終所求的未知量。從本題可以看出，設輔助元x以后可以方便我們解題。 例2：以AB為直徑的圓交BC于D，交AC于F，DE切半圓于D，交AC于E，若AB：BC5：6，且AF7，求CE的長。 解：連結AD、FD。 是直徑 例3：已知方程兩根為a、b，方程兩根為c、d，求的值. 解：由根系關系得： 例4：已知方程有兩個根的積等于2，解這個方程。 分析：若直接求解此方程較困難，可以利用待定系數法，由根與系數的關系可知，兩根之積為2的一元二次方程，如果二次項的系數是1，那么常數項是2。 解：設 小結：本例是一個解方程的問題，但是在求解過程中仍然體現了方程思想，利用根系關系構造方程，利用待定系數法構造方程組，都是方程思想的應用。易錯題分析 例1. 已知關于x的方程有兩個正整數根，求整數m。 分析：本題關于x的方程有兩個正整數根，所以這個方程是一元二次方程，如果用根系關系來解，即，。列出關于m的不等式，再由正整數根的條件求出m的值，方法比較繁。一般來說，解字母系數的一元二次方程，都可以分解因式，這樣解法比較簡便。 解：將方程分解因式： 檢驗：當m1時，方程為 當m2時，方程為 點證：本題有的同學解法比較繁，而且容易錯，用分解因式的方法較好。另外求出以后，變形為以后，便于討論m的值。最后，求出m的值以后要注意檢驗是否符合題意，以免多解或丟解，還可以檢驗，等。 例2. 若關于x的方程，有兩個不同的正整數根，求正整數k的值。 分析：本題用因式分解的方法較好，但求出k以后，要注意檢驗，因為題目要求有兩個不同的正整數根，所以。 解：關于x的方程有兩個不同的正整數根 ，將方程的左邊分解因式： 點評：本題容易錯在k3沒有舍。所以一定要注意檢驗。 例3. 已知拋物線在x軸上方，關于x的方程兩個不等實數根是，當m是整數時，求的值。 分析：本題是二次函數和方程的綜合題，要用限定m的范圍，由已知m是整數確定m的值。然后用根系關系求出的值。 解：在x軸上方 但方程有兩個不等實根是一元二次方程 點評：本題容易錯的地方是求出以后，沒有舍去m3，所以一定要檢驗一元二次方程的二次項系數，使其不為零。 以上三個例題，組成一個題組，小結為一元二次方程要注意驗二次項系數，驗，并且還要檢驗是否符合題意，這樣才能避免出錯。練習一. 選擇題：1. 已知，其內切圓半徑為，則三角形三邊的長是（ ） A. 8，7，13 B. 8，5，12 C. 6，7，14 D. 8，7，142. 已知等腰三角形的一腰與底邊的長分別為方程的兩根，若這樣的三角形只有一個時，a的取值范圍是（ ） A. a8 B. 0a8 C. 0abc，(2)2bac，(3)b是正整數，(4)，則b的值是_。2. 已知a為自然數，二次方程有一正整數根p，那么a=_，方程的另一極是_。3. 已知m是整數，二次方程有兩個正整數根，則m的值是_。三. 解答題：1. 某考生的準考證號碼是一個四位數，它的千位數字是1，如果把1移到個位上去，那么所得的新數比原數的5倍少49，求這個考生的準考證號碼。2. 如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為且，求PB的長。3. 已知是關于x的一元二次方程的兩個實數根，的兩個實根，且求m、n的值。4. 如圖，EB是直徑，O是圓心，CB、CD切半圓于B、D、CD交BE延長線于A點，若BC=6，AD=2AE，求半圓的面積。 5. 已知拋物線與x軸有兩個交點A、B，且A在x軸正半軸，B在x軸負半軸，設OA長為a，OB長為b。 (1)求m的取值范圍。 (2)若a、b滿足a：b3：1，求m的值。 (3)由(2)所得的拋物線與y軸交于C，問在拋物線上是否存在一點P，使？若存在，求P點的坐標；如果不存在，請說明理由。疑難解析 A. 教師自己設計的問題： 1. 解答題的第4小題怎樣用方程的思想解決問題？ 2. 解答題的第5小題的解題思路是什么？ B. 對問題的解答： 1. 答：這個題也是方程思想的應用，關鍵在于理解AD=2AE在條件中的作用。因為有倍半關系，所以AE：AD=1：2，這是方程思想應用最明顯的知識特征。再利用勾股定理和成比例線段的知識，就可以轉化為方程求解了。 略解：連結CO、DE、BD，設DB交OC于F點。 2. 答由于拋物線與x軸有兩個交點A、B，可知方程有兩個不等實根，即判別式大于零，由已知A在x軸正半軸，B在x軸負半軸，可進一步確定上面方程有一個正根，一個負根，從而將函數圖形問題轉化為方程根的判定去解決。 略解：（1）由題意： 即，m可取任意實數。 、B兩點在y軸兩側，即方程有一正根，一負根。 即 解得 （2）由題意，得A(a，0)，B(b，0) 解得，經檢驗不合題意舍去。 （3）由拋物線，令x=0，得y=3， 由m=0，求出a=3，b=1。 為等腰直角三角形。 若存在點P，使時，與關于AC為軸對稱圖形，P點坐標(3，3)，將x=3代入中，得y=0，說明P(3，3)不在拋物線上，即不存在拋物線上的點P，使。試題答案一. 1. A 2. C 3. B 4. D 5. B 6. C 7. A二. 1. 5 2. 4 3. m=1或m=2三. 1.