3 3 2函數的極值與導數 自主學習新知突破 1 了解函數極值的概念 會從幾何的角度直觀理解函數的極值與導數的關系 并會靈活應用 2 結合函數的圖象 了解函數在某點處取得極值的必要條件和充分條件 3 會用導數求最高次冪不超過三次的多項式函數的極大值 極小值 橫看成嶺側成峰 遠近高低各不同 不識廬山真面目 只緣身在此山中 在群山之中 各個山峰的頂端雖然不一定是群山之中的最高處 但它卻是其附近的最高點 同樣 各個谷底雖然不一定是群山之中的最低處 但它卻是其附近的最低點 群山中的最高處是所有山峰的最高者的頂部 群山中的最低處是所有谷底的最低者的底部 每個山峰附近的走勢如何 與導數有什么關系 提示 在山峰左側f x 0 上升趨勢 右側f x 0 下降趨勢 如圖 函數y f x 在點x a的函數值f a 比它在點x a附近其他點的函數值都小 f a 0 而且在點x a的左側 右側 則把點a叫做函數y f x 的極小值點 f a 叫做函數y f x 的極小值 極小值點與極小值 f x 0 f x 0 如圖 函數y f x 在點x b的函數值f b 比它在點x b附近其他點的函數值都大 f b 0 而且在點x b的左側 右側 則把點b叫做函數y f x 的極大值點 f b 叫做函數y f x 的極大值 統稱為極值點 和 統稱為極值 極大值點與極大值 f x 0 f x 0 極小值點 極大值點 極大值 極小值 對函數的極值的理解 1 極值是一個局部概念 由定義可知 極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較最大或最小 并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小 2 函數的極值不是唯一的 即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個 3 極大值與極小值之間無確定的大小關系 即一個函數的極大值未必大于極小值 如圖所示 x1是極大值點 x4是極小值點 而f x4 f x1 4 函數的極值點一定出現在區間的內部 區間的端點不能成為極值點 1 已知函數f x 在 a b 上可導 且x0 a b 以下結論中 正確的是 a 導數為零的點一定是極值點b 如果在x0附近的左側f x 0 右側f x 0 那么f x0 是極大值 c 如果在x0附近的左側f x 0 右側f x 0 那么f x0 是極大值解析 由極值點和極值的定義可知 b正確 c d不正確 導數為零的點不一定是極值點 故a不正確 答案 b 答案 d 答案 e 4 求函數f x x4 x3的極值 合作探究課堂互動 求函數的極值 求函數極值的方法 1 求導數f x 2 求方程f x 0的全部實根 3 列表 檢查f x 在方程f x 0的根左 右的值的符號 4 判斷單調性 確定極值 特別提醒 最好列表判斷 避免出錯 已知極值求參數 已知函數極值情況 逆向應用確定函數的解析式 進而研究函數性質時 注意兩點 1 常根據極值點處導數為0和極值兩個條件列方程組 利用待定系數法求解 2 因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件 所以利用待定系數法求解后必須驗證根的合理性 函數極值的應用 極值問題的綜合應用主要涉及極值的正用和逆用 以及與單調性問題的綜合 題目著重考查已知與未知的轉化 以及函數與方程的思想 分類討論的思想在解題中的應用 在解題過程中 熟練掌握單調區間問題以及極值問題的基本解題策略是解決綜合問題的關鍵 3 設函數f x x3 6x 5 x r 1 求函數f x 的單調區間和極值 2 若關于x的方程f x a有三個不同的實根 求實數a的取值范圍 已知f x x3 3ax2