高中數(shù)學(xué)人教a版選修2 1第三章 四川省成都市新都一中肖宏 no 1middleschool mylove 單元結(jié)構(gòu) no 1middleschool mylove 第三章空間向量與立體幾何 為使走路方便 小區(qū)準(zhǔn)備在小道上鋪上地磚 為了讓路面平整耐用 先對(duì)地面進(jìn)行打夯 如圖所示 一塊大木頭嵌有四條繩索 四名建筑工人借助繩索用力 讓木頭抬起向下打夯 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 預(yù)學(xué)1 空間向量的有關(guān)概念 1 打夯圖中的四個(gè)人的用力方向不一致 而且不處在同一個(gè)平面上 木頭向上抬起時(shí) 他們的合力方向向上 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 2 空間向量的有關(guān)概念 空間向量 在空間 我們把具有大小和方向的量叫作空間向量 相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫作相等向量 向量的表示方法 用有向線段表示 并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 向量的模或長(zhǎng)度 向量的大小叫作向量的模或向量的長(zhǎng)度 零向量 長(zhǎng)度為0的向量 單位向量 長(zhǎng)度為1的向量 議一議 如何理解有向線段與向量的關(guān)系 兩個(gè)向量能否比較大小 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 解析 向量可用有向線段來表示 但有向線段不是向量 它只是向量的一種表示方法 空間向量是具有大小與方向的量 兩個(gè)向量之間只有等與不等之分 而無大小之分 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 預(yù)學(xué)2 空間向量的加 減 數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算法則及滿足的運(yùn)算律加法運(yùn)算的法則 平行四邊形法則三角形法則 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 減法運(yùn)算的法則 三角形法則 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 數(shù)乘運(yùn)算的法則 實(shí)數(shù) 與向量a的積是一個(gè)向量 記作 a 其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下 1 a a 2 當(dāng) 0時(shí) a與a同向 當(dāng) 0時(shí) a與a反向 當(dāng) 0時(shí) a 0 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 向量的運(yùn)算律 加法交換律 a b b a 加法結(jié)合律 a b c a b c 數(shù)乘分配律 a b a b no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 預(yù)學(xué)3 共線向量和共面向量的概念及定理 1 共線向量 若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合 則這些向量叫作共線向量或平行向量 讀作a平行于b 記作a b 共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a b b 0 a b的充要條件是存在實(shí)數(shù) 使a b 唯一 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 2 共面向量 通常把平行于同一平面的向量 叫作共面向量 共面向量定理 如果兩個(gè)向量a b不共線 那么向量p與向量a b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì) x y 使p xa yb no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 預(yù)學(xué)4 方向向量 三點(diǎn)共線的條件及四點(diǎn)共面的充要條件 1 方向向量 如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)a且平行于已知非零向量a的直線 那么對(duì)空間任意一點(diǎn)o 點(diǎn)p在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t 使 ta 其中向量a叫作直線l的方向向量 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 2 三點(diǎn)共線的條件 若a b p三點(diǎn)共線 則 1 t t 當(dāng)t 時(shí) 點(diǎn)p是線段ab的中點(diǎn) 且 3 四點(diǎn)共面的充要條件 空間一點(diǎn)p位于平面mab內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x y 使 x y 或?qū)臻g任一定點(diǎn)o 有 x y 或 1 x y x y no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 想一想 設(shè)e1 e2是空間兩個(gè)不共線的向量 若 e1 ke2 5e1 4e2 e1 2e2 且a b d三點(diǎn)共線 則實(shí)數(shù)k 解析 因?yàn)?5e1 4e2 e1 2e2 所以 5e1 4e2 e1 2e2 6e1 6e2 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 因?yàn)閍 b d三點(diǎn)共線 所以存在實(shí)數(shù) 使得 即e1 ke2 6e1 6e2 因?yàn)閑1 e2是不共線的向量 所以 所以k 1 答案 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 1 空間向量的線性運(yùn)算例1 已知空間四邊形abcd中 a b c 點(diǎn)m在線段oa上 且om 2ma n為bc的中點(diǎn) 則 a a b cb a b cc a b cd a b c no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 方法指導(dǎo) 把向量 利用向量的減法運(yùn)算法則改寫成以o點(diǎn)為起點(diǎn)的向量表示 進(jìn)而用向量 即用a b c表示 解析 a b c 答案 b no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 變式訓(xùn)練1 如圖 已知長(zhǎng)方體abcd a1b1c1d1 試在圖中畫出下列向量表達(dá)式所表示的向量 1 2 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 解析 1 如圖 所示 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 2 如圖 所示 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 2 共線向量例2 1 若e1 e2不共線 則下列各組中的向量a b共線的是 a a e1 e2 b e1 e2b a e1 e2 b 2e1 3e2c a e1 e2 b 2e1 3e2d a e1 e2 b e1 e2 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 方法指導(dǎo) 1 中判斷a b是否共線的關(guān)鍵是判斷a b是否滿足b a 2 中 若 a b 0 且a與b不共線 則 0 0 解析 1 選項(xiàng)c中 因?yàn)閍 e1 e2 b 2e1 3e2 所以b 2e1 3e2 6 e1 e2 6a 所以a與b共線 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 2 已知向量c d不共線 設(shè)向量a kc d b c k2d 若a與b共線 則實(shí)數(shù)k的值為 解析 2 因?yàn)閍與b共線 所以存在實(shí)數(shù) 使得a b成立 即kc d c k2d 整理得 k c 1 k2 d 0 因?yàn)閏 d不共線 所以 解得k 1 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 變式訓(xùn)練2如圖 在平行六面體abcd a1b1c1d1中 m n分別是d1c1 ab的中點(diǎn) 點(diǎn)e在aa1上 且ae 2ea1 點(diǎn)f在cc1上 且cf fc1 判斷 與 是否共線 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 解析 由題意知 即 所以 與 共線 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 3 向量共面問題例3 如圖 已知矩形abcd和矩形adef所在的平面互相垂直 點(diǎn)m n分別在對(duì)角線bd ae上 且bm bd an ae 求證 是共面向量 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 方法指導(dǎo) 利用向量的加法運(yùn)算法則把 用 表示 從而說明它們是共面向量 解析 因?yàn)辄c(diǎn)m在bd上 且bm bd 所以 同理 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 所以 又 與 不共線 由向量共面的充要條件 可知 共面 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 變式訓(xùn)練3如圖所示 已知e f分別是平行六面體abcd a1b1c1d1的棱bb1 dd1上的點(diǎn) 且be d1f 求證 a e c1 f四點(diǎn)共面 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 解析 設(shè) a b c c 則 a c b 1 c a b c 所以 故a e c1 f四點(diǎn)共面 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 1 用已知向量來表示未知向量 一定要結(jié)合圖形 以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵 要正確理解向量加法 減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義 在立體幾何中三角形法則 平行四邊形法則仍然成立 利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ) 2 共面向量的充要條件的主要作用是建立共面向量之間的向量關(guān)系式 證明三個(gè)向量共面 證明四個(gè)點(diǎn)共面 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 對(duì)于空間中任意一點(diǎn)o和平面內(nèi)不共線的四點(diǎn)p a b c 有 x y z x y z r 證明 x y z 1 no 1middleschool mylove 第1課時(shí)空間向量的線性運(yùn)算 解析 由共面向量定理知 若p a b c四點(diǎn)共面 則