專題20 概率1.【2017課標1，文4】如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A BCD【答案】B【考點】幾何概型【名師點睛】對于一個具體問題能否用幾何概型的概率公式計算事件的概率，關鍵在于能否將問題幾何化，也可根據實際問題的具體情況，選取合適的參數建立適當的坐標系，在此基礎上，將實驗的每一結果一一對應于該坐標系中的一點，使得全體結果構成一個可度量的區域；另外，從幾何概型的定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞理解為對應于每個實驗結果的點落入某區域內的可能性大小，僅與該區域的度量成正比，而與該區域的位置、形狀無關2.【2017天津，文3】有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】試題分析：選取兩支彩筆的方法有種，含有紅色彩筆的選法為種，由古典概型公式，滿足題意的概率值為.本題選擇C選項.【考點】古典概型【名師點睛】本題主要考查的是古典概型及其概率計算公式.，屬于基礎題解題時要準確理解題意，先要判斷該概率模型是不是古典概型，利用排列組合有關知識，正確找出隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數代入公式.3.【2017課標II，文11】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為A. B. C. D. 【答案】D【考點】古典概型概率【名師點睛】古典概型中基本事件數的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.4.【2015高考山東，文7】在區間上隨機地取一個數,則事件“”發生的概率為( )（A）（B）（C）（D）【答案】【考點定位】1.幾何概型；2.對數函數的性質.【名師點睛】本題考查幾何概型及對數函數的性質，在理解幾何概型概率計算方法的前提下，解答本題的關鍵，是利用對數函數的單調性，求得事件發生的范圍.本題屬于小綜合題，較好地考查了幾何概型、對數函數等基礎知識.5.2016高考新課標文數小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】試題分析：開機密碼的可能有，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是，故選C考點：古典概型【解題反思】對古典概型必須明確判斷兩點：對于每個隨機試驗來說，所有可能出現的試驗結果數必須是有限個；出現的各個不同的試驗結果數其可能性大小必須是相同的只有在同時滿足、的條件下，運用的古典概型計算公式得出的結果才是正確的6.【2016高考新課標2文數】某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】試題分析：因為紅燈持續時間為40秒.所以這名行人至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為，故選B.考點：幾何概型.【名師點睛】對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認識，它只與大小有關，而與形狀和位置無關，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法7.【2016高考新課標1文數】為美化環境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A考點：古典概型【名師點睛】作為客觀題形式出現的古典概型試題,一般難度不大,解答常見錯誤是在用列舉法計數時出現重復或遺漏,避免此類錯誤發生的有效方法是按照一定的標準進行列舉.8.【2015高考福建，文8】如圖，矩形中，點在軸上，點的坐標為且點與點在函數的圖像上若在矩形內隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率等于（）A B C D【答案】B【解析】由已知得，則矩形面積為，陰影部分面積為，故該點取自陰影部分的概率等于【考點定位】幾何概型【名師點睛】本題考查幾何概型，當實驗結果由等可能的無限多個結果組成時，利用古典概型求概率顯然是不可能的，可以將所求概率轉化為長度的比值（一個變量）、面積的比值（兩個變量）、體積的比值（三個變量或根據實際意義）來求，屬于中檔題9.【2015高考湖北，文8】在區間上隨機取兩個數，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，則（）ABCD【答案】.【考點定位】本題考查幾何概型和微積分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的區域和反比例函數所表示的區域.【名師點睛】以幾何概型為依托，融合定積分的幾何意義、二元一次不等式所表示的區域和反比例函數所表示的區域等內容，充分體現了轉化的數學思想在實際問題中的應用，能較好的考查學生靈活運用基礎知識解決實際問題的能力.10.【2015高考廣東，文7】已知件產品中有件次品，其余為合格品現從這件產品中任取件，恰有一件次品的概率為（）A B C D 【答案】B【解析】件產品中有件次品，記為，有件合格品，記為，從這件產品中任取件，有種，分別是，恰有一件次品，有種，分別是，設事件“恰有一件次品”，則，故選B【考點定位】古典概型【名師點晴】本題主要考查的是古典概型，屬于容易題解題時要抓住重要字眼“恰有”，否則很容易出現錯誤列舉基本事件一定要注意按順序列舉，做到不重不漏，防止出現錯誤解本題需要掌握的知識點是古典概型概率公式，即11.【2015高考陜西，文12】設復數，若，則的概率（）ABCD【答案】【考點定位】1.復數的模長；2.幾何概型.【名師點睛】1.本題考查復數的模長和幾何概型，利用把此題轉化成幾何概型，采用分母實數化和利用共軛復數的概念進行化解求解.2.求幾何概型，一般先要求出實驗的基本事件構成的區域長度（面積或體積），再求出事件構成區域長度（面積或體積），最后再代入幾何概型的概率公式求解；求幾何概型概率時，一定要分清“試驗”和“事件”，這樣才能找準基本事件構成的區域長度（面積或體積）.3.本題屬于題，注意運算的準確性.12. 【2016高考天津文數】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸的概率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】試題分析：甲不輸概率為選A.考點：概率【名師點睛】概率問題的考查，側重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.運用概率加法的前提是事件互斥，不輸包含贏與和，兩種互斥，可用概率加法.對古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計數方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計數問題，而當正面問題比較復雜時，往往采取計數其對立事件.13.【2014高考陜西版文第6題】從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為（）【答案】考點：古典概型及其概率計算公式.【名師點晴】本題主要考查的是古典概型及其概率計算公式.，屬于中檔題解題時要準確理解題意由“5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長”利用排列組合有關知識，正確得到基本事件數和所研究事件所包含事件數從而得到所求事件的概率14.【2015高考新課標1，文4】如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】從中任取3個不同的數共有10種不同的取法，其中的勾股數只有3,4,5，故3個數構成一組勾股數的取法只有1種，故所求概率為，故選C.【考點定位】古典概型【名師點睛】求解古典概型問題的關鍵是找出樣本空間中的基本事件數及所求事件包含的基本事件數，常用方法有列舉法、樹狀圖法、列表法法等，所求事件包含的基本事件數與樣本空間包含的基本事件數的比值就是所求事件的概率.15.【2014福建,文13】如圖，在邊長為1的正方形中，隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據此估計陰影部分的面積為_.【答案】考點：隨機數，幾何概型.【名師點睛】本題主要考查幾何概型，幾何概型試題多以客觀題形式出現,難度不大.求與面積有關的幾何概型的概率計算方法通常是把題中所表示的幾何模型轉化為封閉圖形的面積,然后求解，本題是把頻率當作概率，由概率反過來求面積.16.【2016高考四川文科】從2、3、8、9任取兩個不同的數值，分別記為a、b，則為整數的概率= .【答案】【解析】試題分析：從2，3，8，9中任取兩個數記為，作為作為對數的底數與真數，共有個不同的基本事件，其中為整數的只有兩個基本事件，所以其概率.考點：古典概型.【名師點睛】本題考查古典概型，解題關鍵是求出基本事件的總數，本題中所給數都可以作為對數的底面，因此所有對數的個數就相當于4個數中任取兩個的全排列，個數為，而滿足題意的只有2個，由概率公式可得概率在求事件個數時，涉及到排列組合的應用，涉及到兩個有理的應用，解題時要善于分析17. 【2016高考上海文科】某食堂規定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為_.【答案】考點：.古典概型【名師點睛】本題主要考查古典概型概率的計算.解答本題，關鍵在于能準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數，利用概率的計算公式求解.本題能較好的考查考生數學應用意識、基本運算求解能力等.18. 【2014高考重慶文第15題】某校早上8：00開始上課，假設該校學生小張與小王在早上7:307:50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_（用數字作答）【答案】【解析】試題分析：用表示小張到校的時間，,用表示小王到校的時間，則所有可能的結果對應直角坐標平面內的正方形區域記“小張比小王至少早到5分鐘”為事件M,則M所對區域為圖中的陰影部分所以所以答案應填：.考點：幾何概型.【名師點睛】本題考查了幾何概率的求法，本題屬于基礎題，注意將時間型的概率轉化為幾何概率來求解時關鍵.19. 【2015高考重慶，文15】在區間上隨機地選擇一個數p，則方程有兩個負根的概率為_.【答案】【解析】方程有兩個負根的充要條件是即或，又因為，所以使方程有兩個負根的p的取值范圍為，故所求的概率，故填：.【考點定位】幾何概率. 學【名師點睛】本題考查幾何概率及一元二次方程實根的分布，首先將方程有兩個負根的充要條件找出來，求出的取值范圍，再利用幾何概率公式求解，本題屬于中檔題，注意運算的準確性.20. 【2014高考廣東卷.文.12】從字母.中任取兩個不同的字母,則取到字母的概率為.【答案】.【考點定位】本題考查利用列舉法計算古典概型的概率計算問題,屬于中等題.【名師點晴】本題主要考查的是古典概型，屬于容易題解題時要抓住重要字眼“取到字母”，否則很容易出現錯誤列舉基本事件一定要注意按順序列舉，做到不重不漏，防止出現錯誤解本題需要掌握的知識點是古典概型概率公式，即21.【2014全國2，文13】甲，乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為_.【答案】【考點定位】古典概率.【名師點睛】本題考查了應用列舉法解決古典概率，屬于基礎題目，根據條件列舉出全部基本事件，然而從中準確地找出“他們選擇相同顏色運動服”所包含的基本事件，然后應用古典概率公式即可.22.【2014全國1，文13】將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數學書相鄰的概率為_.【答案】【解析】根據題意顯然這是一個古典概型，其基本事件有：數1，數2，語; 數1，語，數2;數2，數1，語; 數2，語，數1;語，數2，數1; 語，數1，數2共有6種，其中2本數學書相鄰的有4種，則其概率為：考點：古典概率的計算【名師點睛】本題主要考查古典概型的計算，本題列出基本事件的總數和滿足題目要的基本事件數是解決本題的關鍵，本題還考查了考生的分類討論的能力和計算能力.23.【2017課標3，文18】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率。（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出的所有可能值，并估計大于零的概率【答案】（1）；（2）試題解析：（1）需求量不超過300瓶，即最高氣溫不高于，從表中可知有54天，所求概率為.（2）的可能值列表如下：最高氣溫10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）300900900900低于：；：；不低于：大于0的概率為.【考點】古典概型概率【名師點睛】點睛：古典概型中基本事件數的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.24.【2017山東，文】16(本小題滿分12分)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游.()若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率；()若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,求這2個國家包括A1但不包括B1的概率.【答案】()；()【解析】試題分析：利用列舉法把試驗所含的基本事件一一列舉出來,然后再求出事件A中的基本事件數,利用公式P(A)求出事件A的概率.所選兩個國家都是亞洲的事件所包含的基本事件有：,共個，所以所求事件的概率為；（2）從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結果組成的基本事件有：共個，包含但不包括的事件所包含的基本事件有共個，所以所求事件的概率為.【考點】古典概型【名師點睛】(1)對于事件A的概率的計算,關鍵是要分清基本事件總數n與事件A包含的基本事件數m.因此必須解決以下三個方面的問題：第一,本試驗是否是等可能的；第二,本試驗的基本事件數有多少個；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少個.(2)如果基本事件的個數比較少,可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出來,然后再求出事件A中的基本事件數,利用公式P(A)求出事件A的概率,這是一個形象直觀的好方法,但列舉時必須按照某一順序做到不重不漏.25.【2015高考福建，文18】全網傳播的融合指數是衡量電視媒體在中國網民中影響了的綜合指標根據相關報道提供的全網傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛視新聞臺”融合指數的數據，對名列前20名的“省級衛視新聞臺”的融合指數進行分組統計，結果如表所示組號分組頻數 1 2 2 8 3 7 4 3（）現從融合指數在和內的“省級衛視新聞臺”中隨機抽取2家進行調研，求至少有1家的融合指數在的概率；（）根據分組統計表求這20家“省級衛視新聞臺”的融合指數的平均數【答案】（）；（）其中，至少有家融合指數在內的基本事件是：，共個所以所求的概率（II）這家“省級衛視新聞臺”的融合指數平均數等于解法二：（I）融合指數在內的“省級衛視新聞臺”記為，；融合指數在內的“省級衛視新聞臺”記為，從融合指數在和內的“省級衛視新聞臺”中隨機抽取家的所有基本事件是：，共個其中，沒有家融合指數在內的基本事件是：，共個所以所求的概率（II）同解法一【考點定位】1、古典概型；2、平均值【名師點睛】本題考差古典概型和平均數，利用古典概型的“等可能”“有限”性的特點，能方便的求出概率由實際意義構造古典概型，首先確定試驗的樣本空間結構并計算它所含樣本點總數，然后再求出事件A所含基本事件個數，代入古典概型的概率計算公式；根據頻率分布表求平均數，對于每組的若干個數可以采取區間中點值作為該組數據的數值，再求平均數26.【2015高考北京，文17】（本小題滿分13分）某超市隨機選取位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統計表，其中“”表示購買，“”表示未購買商品顧客人數甲乙丙丁（I）估計顧客同時購買乙和丙的概率；（II）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買中商品的概率；（III）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？【答案】（I）0.2；（II）0.3；（III）同時購買丙的可能性最大.的人數為，顧客同時購買甲和丙的人數為，顧客同時購買甲和丁的人數為，分別計算出概率，再通過比較大小得出結論.試題解析：（）從統計表可以看出，在這位顧客中，有位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為.（）從統計表可以看出，在在這位顧客中，有位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買種商品的概率可以估計為.（）與（）同理，可得：顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為，顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為，顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為，所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大.考點：統計表、概率.【名師點晴】本題主要考查的是統計表和古典概型，屬于中檔題解題時一定要抓住重要字眼“估計”和“最大”，否則很容易失分解此類統計表的試題一定要理解透徹題意，提取必要的信息解本題需要掌握的知識點是古典概型概率公式，即27. 【2015高考安徽，文17】某企業為了解下屬某部門對本企業職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區間為（）求頻率分布圖中的值；（）估計該企業的職工對該部門評分不低于80的概率；（）從評分在的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在的概率.【答案】（）0.006；（）；（）（）受訪職工評分在50,60)的有：500.006103（人），即為;受訪職工評分在40,50)的有： 500.004402（人），即為.從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，它們是又因為所抽取2人的評分都在40,50)的結果有1種，即，故所求的概率為.【考點定位】本題主要考查了頻率分布直方圖、概率和頻率的關系、古典概型等基礎知識.【名師點睛】利用頻率分布直方圖解題的時，注意其表達的意義，同時要理解頻率是概率的估計值這一基礎知識；在利用古典概型解題時，要注意列出所有的基本事件，千萬不可出現重、漏的情況.28.【2016高考山東文數】（本小題滿分12分）某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數.設兩次記錄的數分別為x，y.獎勵規則如下：若，則獎勵玩具一個；若，則獎勵水杯一個；其余情況獎勵飲料一瓶.假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.（I）求小亮獲得玩具的概率；（II）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.【答案】（）.（）小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.確定事件包含的基本事件共有個，事件包含的基本事件共有個，計算得到，比較即知.試題解析：用數對表示兒童參加活動先后記錄的數，則基本事件空間與點集一一對應.因為中元素個數是所以基本事件總數為（）記“”為事件.則事件包含的基本事件共有個，即所以，即小亮獲得玩具的概率為.（）記“”為事件，“”為事件.則事件包含的基本事件共有個，即所以，則事件包含的基本事件共有個，即所以，因為所以，小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.考點：古典概型【名師點睛】本題主要考查古典概型概率的計算.解答本題，關鍵在于能準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數，利用概率的計算公式求解.本題較易，能較好的考查考生數學應用意識、基本運算求解能力等.29. 【2014高考陜西版文第19題】某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下：賠付金額（元）01000200030004000車輛數（輛）500130100150120（1） 若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；（2） 在樣本車輛中，車主是新司機的占，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率.【答案】（1）0.27；（2）0.24.（2）設表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，分別求出樣本車輛中車主為新司機人數和賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機人數，在求出其頻率，最后利用頻率表示概率.試題解析：（1）設表示事件“賠付金額為3000元”，表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得：，由于投保金額為2800，賠付金額大于投保金額對應的情形時3000元和4000元，所以其概率為：（2） 設表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有，而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機的有所以樣本中車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為由頻率估計概率得考點：古典概型及其概率計算公式.【名師點晴】本題主要考查的是互斥事件及古典概型，屬于中檔題解題時要準確理解題意由“每輛車的投保金額均為2800元”可以賠付金額大于投保金額對應的情形時3000元和4000元然后用互斥事件及古典概型的概率計算即可低（2）問實際上是用樣本頻率表示概率30. 【2015高考陜西，文19】隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統計，結果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(I)在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；(II)西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續兩天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率.【答案】(I) ； (II) .試題解析：(I)在容量為30的樣本中，不下雨的天數是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率是.(II)稱相鄰兩個日期為“互鄰日期對”（如1日與2日，2日與3日等）這樣在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16對，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為，以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為.【考點定位】概率與統計.【名師點睛】(1)利用古典概型概率公式求概率時，求試驗的基本事件和事件的基本事件的個數，必須利用樹狀圖.表格.集合等形式把事件列舉出來，格式要規范；（2）列舉基本事件時，要注意找規律，要不重不漏.本題屬于基礎題，注意運算的準確性.31.【2015高考天津，文15】（本小題滿分13分）設甲、乙、丙三個乒乓球協會的運動員人數分別為27,9,18,先采用分層抽樣的方法從這三個協會中抽取6名運動員參加比賽.（I）求應從這三個協會中分別抽取的運動員人數;（II）將抽取的6名運動員進行編號,編號分別為,從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽.（i）用所給編號列出所有可能的結果;（ii）設A為事件“編號為的兩名運動員至少有一人被抽到”,求事件A發生的概率.【答案】（I）3,1,2;（II）（i）見試題解析;（ii）（II）（i）從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽,所有可能的結果為,共15種.（ii）編號為的兩名運動員至少有一人被抽到的結果為, , ,共9種,所以事件A發生的概率【考點定位】本題主要考查分層抽樣與古典概型及運用概率統計知識解決實際問題的能力.【名師點睛】注意分層抽樣