第1講函數 函數與方程及函數的應用 高考定位高考對本內容的考查主要有 1 函數的概念和函數的基本性質是B級要求 是重要考點 2 指數與對數的運算 指數函數與對數函數的圖象和性質都是考查熱點 要求都是B級 3 函數與方程是B級要求 但經常與二次函數等基本函數的圖象和性質綜合起來考查 是重要考點 4 函數模型及其應用是考查熱點 要求是B級 試題類型可能是填空題 也可能在解答題中與函數性質 導數 不等式綜合考查 真題感悟 解析要使函數有意義 需且僅需3 2x x2 0 解得 3 x 1 故函數定義域為 3 1 答案 3 1 由圖象可知 f x g x 1的實根個數為4 4 考點整合 1 單調性 用來比較大小 求函數最值 解不等式和證明方程根的唯一性 常見判定方法 定義法 取值 作差 變形 定號 其中變形是關鍵 常用的方法有 通分 配方 因式分解 圖象法 復合函數的單調性遵循 同增異減 的原則 導數法 2 奇偶性 若f x 是偶函數 那么f x f x 若f x 是奇函數 0在其定義域內 則f 0 0 奇函數在關于原點對稱的區間內有相同的單調性 偶函數在關于原點對稱的區間內有相反的單調性 1 函數的性質 2 函數的圖象 1 對于函數的圖象要會作圖 識圖和用圖 作函數圖象有兩種基本方法 一是描點法 二是圖象變換法 其中圖象變換有平移變換 伸縮變換和對稱變換 2 在研究函數性質特別是單調性 值域 零點時 要注意結合其圖象研究 3 求函數值域有以下幾種常用方法 1 直接法 2 配方法 3 基本不等式法 4 單調性法 5 求導法 6 分離變量法 除了以上方法外 還有數形結合法 判別式法等 4 函數的零點問題 1 函數F x f x g x 的零點就是方程f x g x 的根 即函數y f x 的圖象與函數y g x 的圖象交點的橫坐標 2 確定函數零點的常用方法 直接解方程法 利用零點存在性定理 數形結合 利用兩個函數圖象的交點求解 5 應用函數模型解決實際問題的一般程序 熱點一函數性質的應用 例1 1 已知定義在R上的函數f x 2 x m 1 m為實數 為偶函數 記a f log0 53 b f log25 c f 2m 則a b c的大小關系為 從小到大排序 解析 1 由f x 2 x m 1是偶函數可知m 0 所以f x 2 x 1 所以a f log0 53 2 log0 53 1 2log23 1 2 b f log25 2 log25 1 2log25 1 4 c f 0 2 0 1 0 所以c a b 答案 1 c a b 2 m 探究提高 1 可以根據函數的奇偶性和周期性 將所求函數值轉化為給出解析式的范圍內的函數值 2 利用函數的對稱性關鍵是確定出函數圖象的對稱中心 對稱軸 答案 1 1 2 2 探究提高 1 涉及到由圖象求參數問題時 常需構造兩個函數 借助兩函數圖象求參數范圍 2 圖象形象地顯示了函數的性質 因此 函數性質的確定與應用及一些方程 不等式的求解常與圖象數形結合研究 答案 2 0 0 2 觀察圖象可知 兩函數圖象有2個交點 故函數f x 有2個零點 答案2 探究提高解決這類問題的常用方法有解方程法 利用零點存在的判定或數形結合法 尤其是求解含有絕對值 分式 指數 對數 三角函數式等較復雜的函數零點問題 常轉化為熟悉的兩個函數圖象的交點問題求解 探究提高利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法 1 利用零點存在的判定定理構建不等式求解 2 分離參數后轉化為函數的值域 最值 問題求解 3 轉化為兩熟悉的函數圖象的上 下關系問題 從而構建不等式求解 訓練3 2016 泰州調研 設函數f x x2 3x 3 a ex a為非零實數 若f x 有且僅有一個零點 則a的取值范圍為 答案 0 e 3 熱點四函數的實際應用問題 例4 2016 江蘇卷 現需要設計一個倉庫 它由上下兩部分組成 上部分的形狀是正四棱錐P A1B1C1D1 下部分的形狀是正四棱柱ABCD A1B1C1D1 如圖所示 并要求正四棱柱的高OO1是正四棱錐的高PO1的4倍 1 若AB 6m PO1 2m 則倉庫的容積是多少 2 若正四棱錐的側棱長為6m 則當PO1為多少時 倉庫的容積最大 探究提高 1 關于解決函數的實際應用問題 首先要在閱讀上下功夫 一般情況下 應用題文字敘述比較長 要耐心 細心地審清題意 弄清各量之間的關系 再建立函數關系式 然后借助函數的知識求解 解答后再回到實際問題中去 2 對函數模型求最值的常用方法 單調性法 基本不等式法及導數法 訓練4 2016 南京學情調研 某市對城市路網進行改造 擬在原有a個標段 注 一個標段是指一定長度的機動車道 的基礎上 新建x個標段和n個道路交叉口 其中n與x滿足n ax 5 已知新建一個標段的造價為m萬元 新建一個道路交叉口的造價是新建一個標段的造價的k倍 1 寫出新建道路交叉口的總造價y 萬元 與x的函數關系式 2 如果一個奇函數f x 在原點處有意義 即f 0 有意義 那么一定有f 0 0 1 底數相同 指數不同的冪用指數函數的單調性進行比較 2 底數相同 真數不同的對數值用對數函數的單調性比較 3 底數不同 指數也不同 或底數不同 真數也不同的兩個數 常引入中