3 3 3函數(shù)的最大 小 值與導(dǎo)數(shù) 1 能夠區(qū)分極值與最值兩個(gè)不同的概念 2 會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值 最小值 其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次 1 有關(guān)函數(shù)的最值問題 重點(diǎn) 2 最值常與函數(shù)的極值以及函數(shù)的值域等結(jié)合考查 3 最值與函數(shù)的極值 易混點(diǎn) 2010年春 中國西南五省遭遇特大旱災(zāi) 為確保農(nóng)業(yè)生產(chǎn)用水 某市及時(shí)下?lián)苜Y金建水塔和泵房 已知水塔為圓柱體 其上 下底的單位面積造價(jià)是側(cè)面單位面積造價(jià)的a倍 當(dāng)其容積為常量時(shí) 應(yīng)如何設(shè)計(jì)水塔的尺寸能使總造價(jià)最低 1 函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上的最值如果在區(qū)間 a b 上函數(shù)y f x 的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線 則該函數(shù)在 a b 上一定能夠取得和 并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得 2 求函數(shù)y f x 在 a b 上的最值的步驟 1 求函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)的 2 將函數(shù)y f x 的與f a f b 比較 其中最大的一個(gè)是最大值 最小的一個(gè)是最小值 最小值 最大值 各極值 極值 端點(diǎn)處的函數(shù)值 答案 a 答案 d 3 已知a為實(shí)數(shù) f x x2 4 x a 若f 1 0 函數(shù)f x 在 2 2 上的最大值為 最小值為 4 求函數(shù)f x x3 x2 x 1在 1 2 上的最大值和最小值 2 f x 4x3 4x 令f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 x 0 x 1 當(dāng)x變化時(shí) f x 及f x 的變化情況如下表 當(dāng)x 3時(shí) f x 取最小值 60 當(dāng)x 1或x 1時(shí) f x 取最大值4 題后感悟 求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí) 一般是找出該區(qū)間上導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) 無需判斷出是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn) 只需將這些點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較 其中最大的就是函數(shù)的最大值 最小的就是函數(shù)的最小值 1 求函數(shù)f x 4x3 3x2 36x 5在區(qū)間 2 2 上的最大值和最小值 規(guī)范作答 令f x 3x2 3ax 3x x a 0 得x1 0 x2 a 2分當(dāng)x變化時(shí) f x 與f x 的變化情況如下表 5分 題后感悟 本題主要考查由函數(shù)的最值確定參數(shù) 解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性確定某些極值就是函數(shù)的最值 同時(shí)由于系數(shù)a的符號對函數(shù)的單調(diào)性有直接的影響 其最值也受a的符號的影響 因此 需要進(jìn)行分類討論 本題是運(yùn)用最值的定義 從逆向出發(fā) 由已知向未知轉(zhuǎn)化 通過待定系數(shù)法 布列相應(yīng)的方程 從而得出參數(shù)的值 2 已知函數(shù)f x 2x3 6x2 a在 2 2 上有最小值 37 求a的值并求f x 在 2 2 上的最大值 解析 f x 6x2 12x 6x x 2 由f x 0得x 0或x 2 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 變化情況如下表 已知函數(shù)f x ax4lnx bx4 c x 0 在x 1處取得極值 3 c 其中a b c為常數(shù) 若對任意x 0 不等式f x 2c2恒成立 求c的取值范圍 策略點(diǎn)睛 題后感悟 如何求解不等式恒成立的問題 有關(guān)恒成立問題 一般是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題 求解時(shí)要確定這個(gè)函數(shù) 看哪一個(gè)變量的范圍已知 即函數(shù)是以已知范圍的變量為自變量的函數(shù) 一般地 f x 恒成立 f x max f x 恒成立 f x min 1 正確理解函數(shù)的極值與最值 1 函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念 最大值必須是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值 最小值必須是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值 2 函數(shù)的最大值 最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的 函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的 函數(shù)的極值可以有多個(gè) 但最大 小 值至多只能有一個(gè) 極值只能在區(qū)間內(nèi)取得 最值則可以在端點(diǎn)取得 有極值的未必有最值 有最值的未必有極值 極值有可能成為最值 最值只要不在端點(diǎn)必定是極值 特別提醒 當(dāng)連續(xù)函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)時(shí) 若在這一點(diǎn)處f x 有極大值 或極小值 則可以判定f x 在該點(diǎn)處取到最大值 或最小值 這里 a b 也可以是無窮區(qū)間 2 函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上的最大值 最小值 1 設(shè)y f x 是定義在區(qū)間 a b 上的函數(shù) y f x 在 a b 內(nèi)有導(dǎo)數(shù) 求函數(shù)y f x 在 a b 上的最大值與最小值 可分兩步進(jìn)行 求y f x 在 a b 內(nèi)的極值 將y f x 在各極值點(diǎn)的極值與f a f b 比較 其中最大的一個(gè)為最大值 最小的一個(gè)為最小值 2 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞增 則f a 為函數(shù)的最小值 f b 為函數(shù)的最大值 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞減 則f a 為函數(shù)的最大值 f b 為函數(shù)的最小值 3 函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的最值在區(qū)間 a b 上函數(shù)f x 的圖象是一條連續(xù)的曲線時(shí) f x 在 a b 內(nèi)不一定有最值 常見的有以下幾種情況 如圖 圖 1 中的函數(shù)y f x 在 a b 上有最大值而無最小值 圖 2 中的函數(shù)y f x 在 a b 上有最小值而無最大值 圖 3 中的函數(shù)y f x 在 a