第一章勾股定理 1 探索勾股定理 第2課時 據不完全統計 驗證的方法有400多種 你想得到自己的方法嗎 問題情境 1 上節課我們已經通過探索得到了勾股定理 請問勾股定理的內容是什么 2 如何驗證勾股定理呢 小組活動 請你利用自己準備的四個全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正方形 有不同的拼法嗎 合作探究 拼圖展示 圖1 圖2 1 如圖 你能表示大正方形的面積嗎 能用兩種方法表示嗎 2 與有什么關系 為什么 1 2 你能驗證勾股定理了嗎 圖1 自主探究 驗證方法一 圖1 你還能用圖2進行驗證嗎 方法小結 我們利用拼圖的方法 將形的問題與數的問題結合起來 再進行整式運算 從理論上驗證了勾股定理 驗證方法二 c a b a 圖2 2 一個直角三角形的斜邊為20cm 且兩直角邊長度比為3 4 求兩直角邊的長 1 議一議 觀察下圖 用數格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2 b2 c2 延伸拓展 用圖2驗證勾股定理的方法 據載最早是三國時期數學家趙爽在為 周髀算經 作注時給出的 我國歷史上將圖2弦上的正方形稱為弦圖 2002年的數學家大會 ICM 2002 在北京召開 這屆大會會標的中央圖案正是經過藝術處理的弦圖 這既標志著中國古代的數學成就 又像一只轉動的風車 歡迎來自世界各地的數學家們 國內調查組報告 追溯歷史 約公元前500年 畢達哥拉斯學派的弟子希帕索斯 Hippasus 發現了一個驚人的事實 一個正方形的對角線的長度是不可公度的 按照畢達哥拉斯定理 勾股定理 若正方形邊長是1 則對角線的長不是一個有理數 它不能表示成兩個整數之比 這一事實不但與畢氏學派的哲學信念大相徑庭 而且建立在任何線段都可公度基礎上的幾何學面臨被推翻的威脅 第一次數學危機由此爆發 勾股定理與第一次數學危機 1 1 勾股定理與第一次數學危機 1 1 據說 畢達哥拉斯學派對希帕索斯的發現十分惶恐 惱怒 為了保守秘密 最后將希帕索斯投入大海 不能表示成兩個整數之比的數 15世紀意大利著名畫家達 芬奇稱之為 無理的數 無理數的英文 irrational 原義就是 不可比 第一次數學危機一直持續到19世紀實數的基礎建立以后才圓滿解決 我們將在下一章學習有關實數的知識 在1876年一個周末的傍晚 在美國首都華盛頓的郊外 有一位中年人正在散步 欣賞黃昏的美景 他走著走著 突然發現附近的一個小石凳上 有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么 時而大聲爭論 時而小聲探討 由于好奇心驅使他循聲向兩個小孩走去 想搞清楚兩個小孩到底在干什么 只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形 趣聞調查組報告 總統 證法 勾股定理的 于是這位中年人不再散步 立即回家 潛心探討小男孩給他留下的難題 他經過反復的思考與演算 終于弄清楚了其中的道理 并給出了簡潔的證明方法 1876年4月1日 他在 新英格蘭教育日志 上發表了他對勾股定理的這一證法 1881年 這位中年人 伽菲爾德就任美國第二十任總統 后來 人們為了紀念他對勾股定理直觀 簡捷 易懂 明了的證明 就把這一證法稱為 總統 證法 美國總統證法 生活中勾股定理的應用 例題 飛機在空中水平飛行 某一時刻剛好飛到一個男孩子頭頂上方4000m處 過了20s 飛機距離這個男孩子頭頂5000m 飛機每小時飛行多少千米 4km 20秒后 5km A B C 拓展練習 1 如圖是某沿江地區交通平面圖 為了加快經濟發展 該地區擬修建一條連接M O Q三城市的沿江高速 已知沿江高速的建設成本是100萬元 km 該沿江高速的造價預計是多少 M P N O Q 30km 40km 50km 120km 2 如圖 一個25m長的梯子AB 斜靠在一豎直的墻AO上 這時的AO距離為24m 如果梯子的頂端A沿墻下滑4m 那么梯子底端B也外移4m嗎 A B O C D 3 如圖 受臺風麥莎影響 一棵高18米的大樹斷裂 樹的頂部落在離樹根底部6m處 這棵樹折斷后有多高 通過