第一節絕對值不等式 三年16考高考指數 1 理解絕對值的幾何意義 并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式 1 a b a b 2 a b a c c b 2 會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式 ax b c ax b c x a x b c 3 會用1中的不等式證明一些簡單問題 1 以選擇題的形式考查絕對值不等式 同時與不等式的性質相結合 2 以考查絕對值不等式的解法為主 兼顧考查集合的交 并 補運算 1 絕對值三角不等式定理1 如果a b是實數 則 a b 當且僅當 時 等號成立 定理2 如果a b c是實數 那么 當且僅當 時 等號成立 a b ab 0 a c a b b c a b b c 0 即時應用 1 思考 a b 與 a b a b 與 a b 及 a b 分別具有什么關系 提示 a b a b a b a b a b 2 思考 不等式 a b a b a b 中 成立的條件分別是什么 提示 不等式 a b a b a b 右側 成立的條件是ab 0 左側 成立的條件是ab 0且 a b 不等式 a b a b a b 右側 成立的條件是ab 0 左側 成立的條件是ab 0且 a b 3 判斷以下命題是否正確 請在括號內填 或 若 a b 1 則 a b 1 若a b r 則 a b 2 a a b 若 x 2 y 3 則 解析 對于命題 因為 a b a b 1 所以 a b 1 故 正確 對于命題 因為 a b a b a b a b 2a 所以 a b 2 a a b 故 正確 對于命題 因為0 x 2 y 3 所以 即故 正確 答案 2 含絕對值的不等式 x a的解集 x a x a x x a或x a x x r且x 0 r 即時應用 1 思考 x 以及 x a x b 表示的幾何意義是什么 提示 x 表示數軸上的點x到原點o的距離 x a x b 表示數軸上的點x到點a b的距離之和 差 2 不等式 2x 3 0的解集是 解析 原不等式等價于2x 3 0 答案 x x 3 不等式x x 1 x0時 x 1 0 x 1 x x 1或0 x 1 答案 x x 1或0 x 1 3 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c c ax b c ax b c或ax b c 即時應用 1 不等式 2x 1 2 x的解集為 解析 1 由 2x 1 2 x或5x 1或x或x或x 4 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法方法一 利用絕對值不等式的幾何意義求解 體現了數形結合的思想 方法二 利用 零點分段法 求解 體現了分類討論的思想 方法三 通過構造函數 利用函數的圖象求解 體現了函數與方程的思想 即時應用 1 不等式 x 1 x 2 5的解集為 2 不等式 x 3 x 1 1的解集為 解析 1 當x1時 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 5 x 2 故不等式的解集為 3 2 2 方法一 原不等式等價于 或 或 的解集為 的解集為 x 方法二 不等式 x 3 x 1 答案 1 3 2 2 絕對值三角不等式定理的應用 方法點睛 絕對值三角不等式定理的理解 1 兩端的等號成立的條件在解題時經常用到 特別是用此定理求函數的最大 小 值時 2 該定理可以推廣為 a b c a b c 也可強化為 a b a b a b 它們經常用于含絕對值的不等式的推證 提醒 當ab 0時 a b a b 當ab 0時 a b a b 例1 x a m 且 y a m 是 x y 2m x y a m r 的 a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充要條件 d 既不充分也不必要條件 解題指南 利用絕對值三角不等式 推證與 x y 2m的關系即得答案 規范解答 選a x y x a y a x a y a m m 2m x a m 且 y a m是 x y 2m的充分條件 取x 3 y 1 a 2 m 2 5 則有 x y 2 5 2m 但 x a 5 不滿足 x a m 2 5 故 x a m且 y a m不是 x y 2m的必要條件 反思 感悟 1 對絕對值三角不等式定理 a b a b a b 中等號成立的條件要深刻理解 特別是用此定理求函數的最值時 2 對于y x a x b 或y x a x b 型的最值求法利用絕對值三角不等式更簡潔 方便 變式訓練 1 2012 青島模擬 設a b是滿足ab 0的實數 則 a a b a b b a b a b c a b a b d a b a b 解析 選b 方法一 特殊值法 ab 0 不妨設a 1 b 1 則 a b 1 1 0 a b 1 1 2 a b 1 1 0 a b 1 1 2 a c d錯誤 故選b 方法二 由ab 0得a b異號 易知 a b a b a b a b a b a b 選項b成立 a c d均不成立 2 已知命題p a 1 且 b 2 命題q a b 3 則p是q的 a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充要條件 d 既不充分也不必要條件 解析 選a a 1且 b 2 3 a b 3 a b 3 反之不成立 如a 2 b 3適合 a b 3 但不適合 a 1且 b 2 變式備選 1 f x 3 x x 2 的最小值為 解析 3 x x 2 3 x x 2 1 f x min 1 答案 1 2 若f x x 5 x 4 則f x 的最小值為 最大值為 解析 x 5 x 4 x 5 x 4 9 f x min 9 f x max 9 答案 99 3 給出下列四個命題 若loga a2 4 loga 4a x log2x 的解集為 0 1 若 a b c a b c r 則 a b c 以上四個命題中 正確命題的序號為 解析 對于 由于a2 4 4a且loga a2 4 loga 4a 0 a 1 故 錯 對于 由x2 5x 1 0 得或 f x log2 x2 5x 1 的遞減區間為 故 錯 對于 必有x 0且log2x 0 0 x 1 故 正確 對于 a b a b c a b c 故 正確 答案 絕對值不等式的解法 方法點睛 1 含有一個絕對值的不等式的解法形如 f x a a r 型不等式的簡單解法是等價命題法 即 1 當a 0時 f x a f x a或f x a 2 當a 0時 f x a f x 0 3 當aa 對任意x f x 有意義 2 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 1 零點分段討論法含有兩個或兩個以上絕對值號的不等式 可用零點分段討論法脫去絕對值號 將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式 組 一般步驟是 令每個絕對值符號的代數式為零 并求出相應的根 將這些根按從小到大排序并把實數集分為若干個區間 由所分區間去掉絕對值符號組成若干個不等式組 解這些不等式組 求出解集 取各個不等式組的解集的并集求得原不等式的解集 2 利用 x a 的幾何意義由于 x a x b 與 x a x b 分別表示數軸上與x對應的點到與a b對應的點的距離之和與距離之差 因此對形如 x a x b c c 0 或 x a x b c c 0 的不等式 利用絕對值的幾何意義求解更直觀 3 數形結合法通過構造函數 利用函數的圖象求解 體現函數與方程的思想 正確求出函數的零點并畫出函數圖象 有時需要考查函數的單調性 是解題關鍵 提醒 在利用分類討論解決含多個絕對值的不等式時 應做到分類不重 不漏 在某個區間上解不等式后 不要忘了與前提條件求交集 例2 解下列不等式 1 5 4x 9 2 2012 冀州模擬 x x a 2a2 常數a 0 3 2011 廣東高考改編 x 1 x 3 0 4 2011 江蘇高考 x 2x 1 3 5 2011 江西高考改編 x 10 x 2 8 解題指南 1 2 根據 x a及 x 0 型不等式的解法 去掉絕對值號求解 3 先移項 然后兩邊平方 轉化為一元二次不等式求解 4 把含有絕對值的放在一側 不含絕對值的放在另一側 利用公式去掉絕對值后再求解 5 根據絕對值不等式的解法 采用零點分段討論即得 規范解答 1 5 4x 9 5 4x 9或5 4x14 x 原不等式的解集為 x x 2 原不等式 或 a 0 解得a x 2a或x a 原不等式解集為 x x 2a 3 由 x 1 x 3 0得 x 1 x 3 兩邊平方得x2 2x 1 x2 6x 9 即8x 8 解得x 1 所以原不等式的解集為 x x 1 4 原不等式等價于 2x 1 3 x x 3 2x 1 3 x 解得 2 x 原不等式的解集為 x 2 x 5 當x 10時 原不等式變為 x 10 x 2 8 即 12 8 不符合要求 當 10 x 2時 原不等式變為 x 10 x 2 8 即2x 0 解得0 x 2 當x 2時 原不等式變為 x 10 x 2 8 即12 8 恒成立 x 2 綜上所述 原不等式的解集為 x x 0 互動探究 把本例中 5 題改為 x 2 x 3 7如何求解 解析 方法一 x 2 x 3 原不等式可化為 或或 解上述不等式組得所求不等式的解集為 x x3 方法二 根據絕對值的幾何意義 x 2 x 3 表示數軸上的點到2和 3的距離之和 而數軸上 4和3對應的點到2和 3對應的點的距離之和為7 如圖 故 x x3 方法三 分別畫出函數y1 x 2 x 3 和y2 7的圖象 如圖 其中y1 令2x 1 7得x 3 令 2x 1 7得x 4 所以 滿足 x 2 x 3 7的解集為 x x 3或x 4 反思 感悟 1 解絕對值不等式的基本方法有 1 利用絕對值的定義 通過分類討論轉化為解不含絕對值符號的普通不等式 2 當不等式兩端均為正時 可通過兩邊平方的方法 轉化為解不含絕對值符號的普通不等式 3 利用絕對值的幾何意義 數形結合求解 2 幾種絕對值不等式的等價形式解絕對值不等式的思路是轉化為等價的不含絕對值符號的不等式 組 根據式子的特點可用下列公式進行轉化 1 f x g x f x g x 或f x g x 2 f x g x g x f x g x 3 f x g x f x 2 g x 2 變式備選 解下列不等式 1 1 x 2 3 2 x2 9 x 3 3 2012 濰坊模擬 x 1 2x 1 2 解題指南 1 利用公式法或平方法轉化為不含絕對值的不等式 2 利用絕對值的定義或 f x a a 0 a f x a去掉絕對值符號或利用數形結合思想求解 3 不等式的左邊含有兩個絕對值符號 要同時去掉這兩個絕對值符號 可以采用 零點分段法 解析 1 方法一 原不等式等價于不等式組 即 解得 1 x 1或3 x 5 所以原不等式的解集為 x 1 x 1或3 x 5 方法二 原不等式可轉化為 或 由 得3 x 5 由 得 1 x 1 所以原不等式的解集是 x 1 x 1或3 x 5 方法三 原不等式的解集就是1 x 2 2 9的解集 即 解得 1 x 1或3 x 5 原不等式的解集是 x 1 x 1或3 x 5 2 方法一 原不等式等價于 或 不等式組 等價于解得 x 3或3 x 4 不等式組 等價于解得 2 x 3 原不等式的解集是 x 2 x 4或x 3 方法二 原不等式等價于即 原不等式的解集是 x 2 x 4或x 3 方法三 設y1 x2 9 y2 x 3 x 3 由 x2 9 x 3 解得x1 4 x2 3 x3 2 在同一坐標系下作出y1 y2的圖象 從圖中可看出使y1 y2的x的范圍是x 3或2 x 4 原不等式的解集為 x x 3或2 x 4 3 由題意x 1時 x 1 0 x 時 2x 1 0 分類討論如下 當x 時 原不等式等價于 得 當時 原不等式等價于 得 當x 1時 原不等式等價于 得x無解 由 得原不等式的解集為 含絕對值不等式的恒成立問題 方法點睛 1 含絕對值的函數問題的解法研究含有絕對值的函數問題時 根據絕對值的定義 分類討論去掉絕對值符號 轉化為分段函數 然后利用數形結合解決 是常用的思想方法 2 恒成立問題的解決方法 1 f x m恒成立 須有 f x max m 2 f x m恒成立 須有 f x min m 3 不等式的解集為r 即不等式恒成立 4 不等式的解集為 即不等式無解 例3 2012 潮州模擬 已知函數f x x x a 2 1 當a 1時 解不等式f x x 2 2 當x 0 1 時 恒成立 求實數a的取值范圍 解題指南 1 把a 1代入f x 中 用零點分段討論法解含有兩個絕對值的不等式 2 先把問題等價轉化為在x 0 1 上恒成立 再利用單調性與最值求解 規范解答 1 當a 1時 f x x 2 即x x 1 2 x 2 當x 2時 由 x x 1 2 x 2 0 x 2 又x 2 所以x 當1 x 2時 由 x x 1 2 2 x 2 x 2 又1 x 2 所以1 x 2 當x 1時 由 x 1 x 2 2 x x r 又x 1 所以x 1 綜上 由 知原不等式的解集為 x x 2 2 當x 0 1 時 f x 即x x a 2 恒成立 也即在x 0 1 上恒成立 而在 0 1 上為增函數 故g x max g 1 h x 當且僅當 即時 等號成立 故a 反思 感悟 關于不等式成立問題 1 恒成立問題若f x a在區間d上恒成立 則f x 在區間d上的最小值大于a 若f x b在區間d上恒成立 則f x 在區間d上的最大值小于b 2 能成立問題若f x a在區間d上能成立 則f x 在區間d上的最大值大于a 若f x a在區間d上恰成立 等價于f x a的解集為d 若不等式f x b在區間d上恰成立 等價于f x b的解集為d 變式訓練 2012 惠州模擬 已知函數f x 2x 1 2x 3 1 求不等式f x 6的解集 2 若關于x的不等式f x a恒成立 求實數a的取值范圍 解析 1 原不等式等價于或或 解得或或 即不等式的解集為 x 1 x 2 2 2x 1 2x 3 2x 1 2x 3 4 a 4 變式備選 1 2012 鄭州模擬 已知函數f x x a 1 若不等式f x m的解集為 x 1 x 5 求實數a m的值 2 當a 2時 解關于x的不等式f x t f x 2t t 0 解析 1 由 x a m得a m x a m 所以解得 2 當a 2時 f x x 2 所以f x t f x 2t 等價于 x 2 2t x 2 t 當t 0時 不等式 恒成立 即x r 當t 0時 不等式 等價于或或解得x 2 2t或或x 即 綜上 當t 0時 原不等式的解集為r 當t 0時 原不等式的解集為 2 2012 洛陽模擬 已知f x x 1 解不等式 2 若f x f x 1 a2 a 1對任意實數x恒成立 求實數a的取值范圍 解析 1 等價于 或 綜上 原不等式的解集為 x x 2或 2 f x f x 1 x x 1 由三角不等式得 x x 1 x x 1 1 即f x f x 1 的最小值為1 a2 a 1 1 a2 a 2 0 即 a 2 a 1 0 解得 2 a 1 滿分指導 含有參數的絕對值不等式的規范解答 典例 12分 2011 新課標全國卷 設函數f x x a 3x 其中a 0 1 當a 1時 求不等式f x 3x 2的解集 2 若不等式f x 0的解集為 x x 1 求a的值 解題指南 第 1 問 將a 1代入函數解析式 利用解絕對值不等式的公式求解 第 2 問f x 0 x a 3x 0 然后分x a和x a兩種情況去掉絕對值號 轉化為解不等式組的問題 將兩段解集取并集得f x 0的解集 最后利用待定系數法求得a的值 規范解答 1 當a 1時 f x 3x 2可化為 x 1 2 2分由此可得x 3或x 1 故不等式f x 3x 2的解集為 x x 3或x 1 4分 2 由f x 0得 x a 3x 0 此不等式化為不等式組或 即或 8分因為a 0 所以不等式組的解集為 x x 10分由題設可得 1 故a 2 12分 閱卷人點撥 通過高考中的閱卷數據分析與