第七章立體幾何與空間向量 第6節空間直角坐標系及空間向量 1 了解空間直角坐標系 會用空間直角坐標表示點的位置 2 會簡單應用空間兩點間的距離公式 3 了解空間向量的概念 了解空間向量的基本定理及其意義 掌握空間向量的正交分解及其坐標表示 4 掌握空間向量的線性運算及其坐標表示 5 掌握空間向量的數量積及其坐標表示 能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直 要點梳理 1 空間直角坐標系及空間兩點間的距離 1 空間直角坐標系 2 空間中點m的坐標 空間中點m的坐標常用有序實數組 x y z 來表示 記作m x y z 其中x叫做點m的 y叫做點m的 z叫做點m的 建立了空間直角坐標系后 空間中的點m和有序實數組 x y z 可建立一一對應的關系 質疑探究 在空間直角坐標系中 在x軸上的點的坐標怎么記 在y軸上的點的坐標怎么記 在z軸上的點的坐標怎么記 橫坐標 縱坐標 豎坐標 2 空間向量的有關概念及空間向量的線性運算 1 空間向量的有關概念 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 3 空間向量的有關定理 唯一 垂直 4 向量的坐標運算 基礎自測 1 已知點a 3 0 4 點a關于原點的對稱點為b 則 ab 等于 a 12b 9c 25d 10 答案 d 答案 a 3 已知向量a 4 2 4 b 6 3 2 則 a b a b 的值為 解析 a b 10 5 2 a b 2 1 6 a b a b 20 5 12 13 答案 13 4 同時垂直于a 2 2 1 和b 4 5 3 的單位向量是 答案 2 拓展提高用已知向量來表示未知向量 一定要結合圖形 以圖形為指導是解題的關鍵 要正確理解向量加法 減法與數乘運算的幾何意義 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量 我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則 在立體幾何中要靈活應用三角形法則 向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立 考向二共線 共面向量定理及應用例2 2015 上饒調研 已知e f g h分別是空間四邊形abcd的邊ab bc cd da的中點 拓展提高空間共線向量定理 共面向量定理的應用 活學活用2如圖 在三棱柱abc a1b1c1中 d為bc邊上的中點 求證 a1b 平面ac1d 拓展提高 1 當題目條件有垂直關系時 常轉化為數量積為零進行應用 2 當異面直線所成的角為 時 常利用它們所在的向量轉化為向量的夾角 來進行計算 3 通過數量積可以求向量的模 活學活用3已知空間四邊形oabc中 m為bc的中點 n為ac的中點 p為oa的中點 q為ob的中點 若ab oc 求證 pm qn 易錯警示13兩向量平行與兩向量同向混淆致誤典例已知向量a 1 2 3 b x x2 y 2 y 并且a b同向 則x y的值分別為 易錯分析 根據兩向量平行的充要條件得出x y之值后 得出兩個向量的坐標 驗證其方向是否相同 答案 1 3 防范措施 1 如果認為 同向 就是 平行 那么將得出兩組解導致錯誤 2 兩向量平行和兩向量同向不是等價的 同向是平行的一種情況 兩向量同向能推出兩向量平行 但反過來不成立 也就是說 兩向量同向 是 兩向量平行 的充分不必要條件 成功破障與向量a 6 7 6 方向相同的單位向量是 思維升華 方法與技巧 1 利用向量的線性運算和空間向量基本定理表示向量是向量應用的基礎 2 利用共線向量定理 共面向量定理可以證明一些平行 共面問題 利用數量積運算可以解決一些距離 夾角問題 3 利用向量解立體幾何題的一般方法 把線段或角度轉化為向量表示 用已知向量表示未知向量 然后通過向量的運算或證明去解決問題 失誤與防范 1 向量的數量積滿足交換律 分配律 但不滿足結合律 即a b b