高中數列解題方法及綜合學校 慈濟中學姓名 晉春 高考遞推數列分類類型1：滲透三角函數周期性數列與三角函數的結合是一類創新試題，利用三角函數的周期性體現數列的變化，利用三角不等式進行放縮是證明數列不等式的常見方法。例1（2008年湖南卷，18，滿分12分）數列an滿足a1=1，a2=2，求a3，a4,并求數列an的通項公式；本題分為兩種情況，采取非常規的遞推數列求通項的方法，利用三角函數的誘導公式尋找遞推關系，體現三角函數的周期性，進而求出該數列的通項為一分段數列。例2（2009年江西，文，21，滿分12分）數列an的通項，其前n項和為（1）求sn；（2）令，求數列bn的前n項和tn例3（2009年江西，理8，5分）數列an的通項，其前n項和為sn，則sn為（ ）a470b490c495d510類型2：an+1=an+f(n)解法思路：把原遞推公式轉化為an+1-an=f(n)，利用累加法（逐差相加法）求解例4（2008，江西，理5）在數列an中，a1=2,an+1=an+ln,則an=a2+lnnb2+(n-1) lnnc2+nlnnd1+n+lnn例5（2009，全國i，理22）在數列an中，a1=1,an+1=（1）設，求數列an的通項公式；（2）求數列an的前n項和。 類型3：an+1=f(n)an解法思路：把原遞推公式轉化為，利用累乘法（逐商相乘法）求解例6（2004，全國i，理15）已知數列an，滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，則an的通項an=_解：由已知，得an+1=a1+2a2+3a3+(n1)an1+nan，用此式減去已知式，得當n2時，an+1an=nan，即an+1=（n+1）an，又a2=a1類型4：an+1=pan+q（其中p、q均為常數，且pq(p1)0）解法思路：待定系數法，把原遞推公式轉化為an+1t=p(ant)，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解，或轉化為二隊循環數列來解（見后文），或直接用逐項迭代法求解。例7（2008年，安徽，文21）設數列an滿足a1 =a,an +1=c an +1c,nn*，其中a、c為實數，且c0求數列an的通項公式；解：方法一：因為an+11=c(an1)所以當a1時，an1是首項為a1，公比為c的等比數列所以an1=( an1)cn1即an=( an1)cn1+1當n=1時，an=1仍滿足上式數列an的通項公式為an=( a1)cn1+1 (nn*)方法二：由題設得：n2時, an1=c( an11)=c2 (an21)= cn1(an1)= (a1)c n1所以an=( a1)=c n1+1n=1時，a1=a也滿足上式所以an的通項公式為an=( a1)cn1+1 (nn*)類型4的變式：an+1=pan+f(n)解法思路：通過構造新數列bn，消去f(n)帶來的差異，例如下面的類型5 ：an+1=pan+qn（其中p、q均為常數，pq(p1)(q1)0）（或an+1=pan+rqn，其中p、q、r均為常數）解法思路：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn+1，得，引入輔助數列bn（其中），得即可轉化為類型3。或直接將原遞推式變形為），（其中），則直接轉化為等比數列例8（2006，全國i，理22，12分）設數列an的前n項的和求首項a1與通項an。例9（2009，全國ii，理19）設數列an的前n項的和（1）設，證明數列bn是等比數列；（2）求數列an的通項公式。類型6：（其中p，q均為常熟）。解法一（待定系數法）：先把原遞推公式轉化為，其中s, t滿足解法二（特征根法）：對于由遞推公式,=,=給出的數列an，方程,叫做數列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數列an的通項為，其中a、b由=,=決定（即把和n=1,2,代入，得到關于a、b的方程組）；當時，數列的通項為，其中a、b由=,=決定（即把和n=1,2，代入，得到關于a、b的方程組）。例10（2006，福建，文22）已知數列an滿足=1,=3，（）。（1）證明：數列是等比數列；（2）求數列an的通項公式；（3）若數列bn滿足（），證明bn是等差數列。解：（1），=1,=3，（），是以=2為首項，2為公比的等比數列。（2）（），an =+ + + += + +2+1=-1（）類型7 遞推公式為sn與的關系式（或sn）解法思路：這種類型一般利用=或=消去進行求解。例11.（2009，湖北，理，19）已知數列an的前項和sn= -+2（為正整數），令=，求證數列bn是等差數列，并求數列an的通項公式解：在sn= +2中，令n=1，可得s1 = -+1=，當時，sn-1= +2，=snsn-1=+2=+，即=+1又=，=+1，即當時，-=1又=2=1數列bn是首項和公差均為1的等差數列，于是=n=,=.例12 （2008，全國ii，理，20）設數列an的前n項和為sn，已知=,=sn+（）,（）設=-，求數列bn的通項公式；（）若（），求的取值范圍。解（）依題意-=+，即=2+，由此得-=2（-），因此，所求通項公式為 =-=（-3），（）。 （）由（）知=+（-3），（），于是當時，=- =+（a-3）-（a-3） =2+(a-3) =4+(a-3) =,當時,09。又=+3綜上，所求的的取值范圍是。類型8 an+1=pan+an+b(p1,a0)解法思路：這種類型一般利用待定系數法構造等比數列， 即令，與已知遞推式比較，解出，從而轉化為是公比p為的等比數列。例13.（2006山東，文，22）已知數列an中，=，點在直線上，其中（）令，求證數列bn是等比數列；（）求數列an的通項。所以bn是以為首項，以為公比的等比數列類型9 （p0, 0）解法思路：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為，再利用待定系數法求解。例14（2005，江西，理，21）已知數列an的各項都是正數，且滿足：求數列的an通項公式例15（2006，山東，理，22）已知，點在函數的圖像上，其中證明數列是等比數列類型10 解法思路：這種類型一般是等式兩邊取倒數后換元轉化為。例17（2006，江西，理，22，本大題滿分14分）已知數列滿足： 求數列的通項公式；解：將條件變為：為一個等比例數，其首項為從而據此得類型11 解法思路：如果數列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數，且phqr,r0, ），那么，可作特征方程，當特征方程有且僅有一根時，則是等差數列；當特征議程有兩價目相異的根x1、x2時，則是等比數列。例19(2009年,江西,理,22)各項均為正數的數列,且對滿足的正整數都有m,n,p,q都有(1)當時,求通項；(2)證明:對任意a,存在與a有關的常數,使得對于每個正整數n,都有解：（1）由得將代入上式化簡得所以故數列為等比數列，從而，即可驗證，滿足題設條件。（2）由題設的值僅與有關，記為則考察函數，則在定義域上有故對，注意到，解上式得取，即有類型12 數列中的數學歸納法數學歸納法是數學證明中的常用方法，適用于猜想證明和數列不等式的證明，在直接求解或者利用放縮法證明存在困難時，常可使用數學歸納法進行證明。例21（2008，天津，理，22）在數列中，數列的前n項和sn滿足為的等比中項，（）求的值；（）求數列的通項公式；解：（）由題設有解得，由題設又有，解得。（）由題設，及，進一步可得，猜想先證當時，等式成立,當時用數學歸納法證明如下：（1）當 n=2時，即等式成立。（2）假設當n=k時等式成立，即由題設 的兩邊分別減去的兩邊，整理得，從而這就是說，當時等式也成立，根據（1）和（2）可知，等式對任何的成立。綜上所述，等式對任何的都成立。再用數學歸納法證明，本題首先進行猜想，然后利用數學歸納法證明，先猜想再證明是求數列通項的常用手段，數學歸納法也是證明數列不等式的常用方法。 數列經典綜合題等差數列與等比數列綜合題例1 等比數列的前n 項和為，已知,成等差數列（1）求的公比q；（2）求3，求 解：（）依題意有 由于 ，故 又，從而 （）由已知可得 故 從而 例2 在正項數列中,令.（）若是首項為25,公差為2的等差數列,求；（）若（為正常數）對正整數恒成立,求證為等差數列；（）解：由題意得,所以=（）證:令,則=1所以=（1）,=（2）,（2）（1）,得=,化簡得（3）（4）,（4）（3）得 在（3）中令,得,從而為等差數列 例3 已知是公比為q的等比數列，且成等差數列.（1）求q的值；（2）設數列的前項和為，試判斷是否成等差數列？說明理由. 解：（1）依題意，得2am+2 = am+1 + am2a1qm+1 = a1qm + a1qm 1在等比數列an中，a10，q0，2q2 = q +1，解得q = 1或. （2）若q = 1， sm + sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，sm + 2 = (m+2) a1 a10，2sm+2s m + sm+1 若q =，sm + 1 =sm + sm+1 = =2 sm+2 = s m + sm+1 故當q = 1時，sm , sm+2 , sm+1不成等差數列；當q =時，sm , sm+2 , sm+1成等差數列. 例4 已知數列an的首項（a是常數），（）（）是否可能是等差數列.若可能，求出的通項公式；若不可能，說明理由；（）設，（），為數列的前n項和，且是等比數列，求實數a、b滿足的條件 解：（） 若是等差數列，則但由，得a=0,矛盾.不可能是等差數列 () (n2) 當a1時, 從第2項起是以2為公比的等比數列n2時,是等比數列, (n2)是常數 a-1時, b-2a-2=0 當a=-1時，（n3）,得（n2） 是等比數列 b0綜上, 是等比數列,實數a、b所滿足的條件為 例5 設數列an的前n項和為sn，且滿足sn=2-an，n=1，2，3，.()求數列an的通項公式；()若數列bn滿足b1=1，且bn+1=bn+an，求數列bn的通項公式；()設cn=n(3-bn)，求數列cn的前n項和tn.解：()n=1時，a1+s1=a1+a1=2a1=1 sn=2-an即an+sn=2 an+1+sn+1=2兩式相減：an+1-an+sn+1-sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=anan0 (nn*)所以，數列an為首項a1=1，公比為的等比數列.an=(nn*)()bn+1=bn+an(n=1，2，3，)bn+1-bn=()n-1 得b2-b1=1b3-b2=b4-b3=()2bn-bn-1=()n-2(n=2，3，) 將這n-1個等式相加，得bn-b1=1+又b1=1，bn=3-2()n-1(n=1，2，3，)()cn=n(3-bn)=2n()n-1 tn=2()0+2()+3()2+(n-1)()n-2+n()n-1 而 tn=2()+2()2+3()3+(n-1) -得：tn=8-(8+4n)(n=1，2，3，) 例6 已知數列中，且對時有（）設數列滿足，證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；（）記，求數列的前n項和（） 證明：由條件，得，則即，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數列 ，所以兩邊同除以，可得于是為以首項，為公差的等差數列所以（），令，則而 ，令tn，則2tn，得tn，tn例7 設數列滿足且（）求的值，使得數列為等比數列；（）求數列和的通項公式；（）令數列和的前項和分別為和，求極限的值（）令，其中為常數，若為等比數列，則存在使得又所以由此得由及已知遞推式可求得，把它們代入上式后得方程組 消去解得 下面驗證當時，數列為等比數列 ，從而是公比為的等比數列同理可知是公比為的等比數列，于是為所求（）由（）的結果得，解得，（）令數列的通項公式為，它是公比為的等比數列，令其前項和為； 令數列的通項公式為，它是公比為的等比數列，令其前項和為 由第（）問得， 由于數列的公比，則 ，由于，則，于是，所以例8 數列的各項均為正數，為其前項和，對于任意，總有成等差數列.()求數列的通項公式；()設數列的前項和為 ，且，求證:對任意實數（是常數，2.71828）和任意正整數，總有 2；() 正數數列中，.求數列中的最大項. （）解：由已知：對于，總有 成立 （n 2） -得均為正數， （n 2） 數列是公差為1的等差數列 又n=1時， 解得=1.() （）證明：對任意實數和任意正整數n，總有. ()解：由已知 ， 易得 猜想 n2 時，是遞減數列. 令當在內為單調遞減函數.由.n2 時, 是遞減數列.即是遞減數列.又 , 數列中的最大項為. 例9 設是公差不為零的等差數列，為其前項和，滿足。（1）求數列的通項公式及前項和； （2）試求所有的正整數，使得為數列中的項。 解：（1）設公差為，則，由性質得，因為，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,設， 則=, 所以為8的約數（方法二）因為為數列中的項，故為整數，又由（1）知：為奇數，所以經檢驗，符合題意的正整數只有。 例10 已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列。（1） 若，是否存在，有說明理由； （2） 找出所有數列和，使對一切,并說明理由；（3） 若試確定所有的，使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項，請證明。解：（1）由，得， 整理后，可得，、，為整數， 不存在、，使等式成立。 （2）若，即， （*）（）若則。 當為非零常數列，為恒等于1的常數列，滿足要求。 （）若，（*）式等號左邊取極限得，（*）式等號右邊的極限只有當時，才能等于1。此時等號左邊是常數，矛盾。綜上所述，只有當為非零常數列，為恒等于1的常數列，滿足要求。（3） 設.，. 取 由二項展開式可得正整數m1、m2，使得（4-1）2s+2=4m1+1, 故當且僅當p=3s,sn時，命題成立. 2、 點列綜合題例11 設曲線上的點為過p0作曲線c的切線與x軸交于q1，過q1作平行于y軸的直線與曲線c交于，然后再過p1作曲線c的切線交x軸于q2，過q2作平行于y軸的直線與曲線c交于，依此類推，作出以下各點：p0，q1，p1，q2，p2，q3，pn，qn+1，已知，設（1）求出過點p0的切線方程；（2）設求的表達式；（3）設求解：（1） 過點p0的切線段為即 （2） 過點pn的切線方程為 將的坐標代入方程得： 故數列是首項為的等比數列 （3） 例12 已知點滿足：，且已知 （1）求過點的直線的方程； （2）判斷點與直線的位置關系，并證明你的結論；（3）求點的極限位置。解：（1）由，得： 顯然直線的方程為 （2）由，得： 點，猜想點在直線上，以下用數學歸納法證明： 當n2時，點 假設當時，點，即 當時， 點 綜上，點 （3）由，得： 數列是以為首項，公差為1的等差數列 即點的極限位置為點p（0，1）例13 如圖，是曲線上的個點，點在軸的正半軸上，是正三角形(是坐標原點) .() 寫出；()求出點的橫坐標關于的表達式；()設，若對任意正整數，當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍. 解：() .()依題意，則yxoa0p1p2p3a1a2a3， 3分在正三角形中，有 .， ， 同理可得 . -并變形得， ， . 數列是以為首項，公差為的等差數列. ， 7分，. ()解法1 ：， .當時，上式恒為負值，當時，數列是遞減數列. 的最大值為. 若對任意正整數，當時，不等式恒成立，則不等式在時恒成立，即不等式在時恒成立. 設，則且，解之，得 或，即的取值范圍是.例14 abc中，|ab|=|ac|=1，p1為ab邊上的一點，從p1向bc作垂線，垂足是q1；從q1向ca作垂線，垂足是r1；從r1向ab作垂線，垂足是p2，再由p2開始重復上述作法，依次得q2，r2，p3；q3，r3，p4 （1）令bpn為xn，尋求bpn與（即）之間的關系。 （2）點列是否一定趨向于某一個定點p0？說明理由； （3）若，則是否存在正整數m，使點p0與pm之間的距離小于0.001？若存在，求m的最小值。解：（1）由|ab|=|ac|=1， 從而abc為邊長為1的正三角形 則，于是 同樣 又 即 （2）由（1）可得： 的等比數列 當 點pn趨向點p0，其中p0在ab上，且bp0 （3） 由 當的最小值為4 例15 已知曲線從點向曲線引斜率為的切線，切點為（1）求數列的通項公式；（2）證明：.解：（1）設直線：，聯立得，則，（舍去） ，即，（2）證明： 由于，可令函數，則，令，得，給定區間，則有，則函數在上單調遞減，即在恒成立，又，則有，即. 例16 數軸上有一列點p1，p2，p3，pn，已知當時，點pn是把線段pn 1 pn+1作n等分的分點中最靠近pn+1的點，設線段p1p2，p2p3，pn pn + 1的長度分別為a1，a2，a3，an，其中a1 = 1（1）寫出a2，a3和an（，）的表達式；（2）證明a1 + a2 + a3 +an 2，），在這些點中是否存在兩個點同時在函數的圖像上，如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由.解：(1) 由已知，令n = 2，p1p2 = p2p3，所以a2 = 1，令n = 3，p2p3 = 2p3p4，所以，同理，所以(2) 因為所以而n = 1時，易知a1 = 1 2時，n2 3n + 1 0，所以對于函數bn有b2 b3 b4 bn 所以式不能成立，所以，不可能有兩個點同時在函數圖像上例17 在直角坐標系中，有一點列p1(a1，b1)，p2(a2，b2)，pn(an，bn)，對每一個正整數n，點pn在給定的函數ylog3(2x)的圖像上.而在遞增數列an中，an與an+1是關于x的方程4x28nx4n210（nn*）的兩個根（）求點pn的縱坐標bn的表達式；（）記cn3，nn*.證明3；解：（）解方程4x28nx4n210，得x1n，x2n，an是遞增數列，ann，an+1n，即ann( nn*)，又因為pn(an，bn)在函數ylog3(2x)的圖像上，所以bnlog3(2n1).（）因為cn3，nn*，所以cn2n1設dn，即dn， 所以dn， 由得dn，則所以dn11133，例18 已知點列b1(1,y1)、b2(2,y2)、bn(n,yn)（nn）順次為一次函數圖像上的點，點列a1(x1,0)、a2(x2,0)、an(xn,0)（nn）順次為x軸正半軸上的點，其中x1=a（0a1），對于任意nn，點an、bn、an+1構成一個頂角的頂點為bn的等腰三角形。求數列yn的通項公式，并證明yn是等差數列；證明xn+2-xn為常數，并求出數列xn的通項公式；在上述等腰三角形anbnan+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由。解：（1）(nn),yn+1-yn=,yn為等差數列 （2）因為與為等腰三角形.所以，兩式相減得 。注：判斷得2分，證明得1分x1,x3,x5,x2n-1及x2,x4,x6 ，x2n都是公差為2的等差數列， （3）要使anbnan+1為直角三形，則 |anan+1|=2=2()xn+1-xn=2() 當n為奇數時，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,xn+1-xn=2(1-a). 2(1-a)=2() a=(n為奇數，0a1) (*) 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n5，則(*)無解； 當偶數時，xn+1=n+a，xn=n-a，xn+1-xn=2a. 2a=2()a=(n為偶數，0a1) (*)，取n=2，得a=,若n4，則(*)無解. 綜上可知，存在直角三形，此時a的值為、. 三、數列與向量交匯的綜合題例19 =, =,（1）求證：為等差數列； (2) 若,問是否存在, 對于任意（），不等式成立.解（1） 為等差數列 （2） 例20 在直角坐標平面中，已知點，其中n是正整數，對平面上任一點a0，記a1為a0關于點p1的對稱點，a2為a1關于點p2的對稱點，an為an1關于點pn的對稱點. （1）求向量的坐標； （2）對任意偶數n，用n表示向量的坐標.（1）設對稱故 （2）同理可得：故 例21 已知數列的首項，前項和為，且、（n 2）分別是直線上的點a、b、c的橫坐標，設， 判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論； 設，證明：解：由題意得 （n2），又，數列是以為首項，以2為公比的等比數列。 則（）由及得， 則 四、數列與函數交匯的綜合題例22 已知函數（）。（）若且，則稱為的實不動點，求的實不動點；（ii）在數列中，（），求數列的通項公式。解：（）由及得或（舍去），所以或，即的實不動點為或；（ii）由條件得，從而有，由此及知：數列是首項為，公比為的等比數列，故有（）。例23 二次函數 （1）求并求的解析式； （2）若求數列并求 （3）若求符合最小自然數n.解：（1） 又（2）（3） 例24 已知函數，點，是函數圖像上的兩個點，且線段的中點的橫坐標為求證：點的縱坐標是定值；若數列的通項公式為，求數列的前m項的和；解：由題可知：，所以，點的縱坐標是定值，問題得證由可知：對任意自然數，恒成立由于，故可考慮利用倒寫求和的方法即由于：所以，所以，例25 設f1(x)=，定義fn+1 (x)= f1fn(x)，an =（nn*）.(1) 求數列an的通項公式；(2) 若，qn=（nn*），試比較9t2n與qn的大小，并說明理由.解：（1）f1(0)=2，a1=，fn+1(0)= f1fn(0)=, an+1= -= -an. 數列an是首項為,公比為-的等比數列，an=()n-1. （2）t2 n = a1+2a 2+3a 3+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n，t2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+(-)(2n-1)a2 n1+2na2 n= a 2+2a 3+(2n1)a2 nna2 n.兩式相減，得t2 n= a1+a2+a 3+a2 n+na2 n. t2n =+n(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1.t2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-). 9t2n=1-.又qn=1-， 當n=1時，22 n= 4,(2n+1)2=9,9t2 nq n； 當n=2時，22 n=16,(2n+1)2=25,9t2 nqn； 當n3時，9t2 nq n. 例26 已知函數，數列滿足 （i）求數列的通項公式； （ii）設x軸、直線與函數的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求； （iii）在集合，且中，是否存在正整數n，使得不等式對一切恒成立？若存在，則這樣的正整數n共有多少個？并求出滿足條件的最小的正整數n；若不存在，請說明理由。 （iv）請構造一個與有關的數列，使得存在，并求出這個極限值。解：（i） 將這n個式子相加，得 （ii）為一直角梯形（時為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長分別為，高為1 （iii）設滿足條件的正整數n存在，則 又 均滿足條件 它們構成首項為2010，公差為2的等差數列。 設共有m個滿足條件的正整數n，則，解得 中滿足條件的正整數n存在，共有495個， （iv）設，即 則顯然，其極限存在，并且例27 函數的定義域為r，且 （）求證：； （）若上的最小值為，試求f(x)的解析式； （）在（）的條件下記試比較與 的大小并證明你的結論解：（）f(x)定義域為r， （）由（）知f(x)在0，1上為增函數， （） 例28 已知函數時，的值域為，當時，的值域為，依次類推，一般地，當時，的值域為，其中k、m為常數，且 （1）若k=1，求數列的通項公式； （2）項m=2，問是否存在常數，使得數列滿足若存在，求k的值；若不存在，請說明理由；（3）若，設數列的前n項和分別為sn，tn，求來源:學&科&網 。解：（1）因為所以其值域為于是又 （2）因為所以8分法一：假設存在常數，使得數列，得符合。法二：假設存在常數k0，使得數列滿足當k=1不符合。9分當，來源:z+xx+k.com則當 （3）因為所以的值域為于是則又則有來xxk.com進而有18分例29 已知函數，為函數的導函數（）若數列滿足：，（），求數列的通項；（）若數列滿足：，（）.當時，數列是否為等差數列？若是，請求出數列的通項；若不是，請說明理由；.當時， 求證：解：（）， ，即 ， 數列是首項為，公比為的等比數列，即 （）（），當時，假設，則由數學歸納法，得出數列為常數數列，是等差數列，其通項為 （）， 當時，假設，則 由數學歸納法，得出數列 又，即 ， 例30 已知,其中,設,.(i) 寫出;(ii) 證明:對任意的,恒有.【解析】(i)由已知推得,從而有(ii) 證法1:當時, 當x0時, ,所以在0,1上為增函數因函數為偶函數所以在-1,0上為減函數所以對任意的因此結論成立.證法2: 當時, 當x0時, ,所以在0,1上為增函數因函數為偶函數所以在-1,0上為減函數所以對任意的又因所以因此結論成立.證法3: 當時, 當x0時, ,所以在0,1上為增函數因函數為偶函數所以在-1,0上為減函數所以對任意的由對上式兩邊求導得因此結論成立.五、數列與不等式交匯的綜合題例31 已知數列滿足.(1)若數列是以常數首項,公差也為的等差數列,求a1的值;(2)若,求證：對任意都成立；(3)若,求證：對任意都成立.解 (1)由得：即，求得（2）由知，兩邊同除以，得（3） ，將代入，得； 而， 由知，命題成立.例32 設數列的前項和為，。（1）求證：數列為等差數列，并分別求出、的表達式；（2）設數列的前n項和為，求證：；（3）是否存在自然數n,使得？若存在，求出n的值；若不存在,請說明理由。又易知單調遞增，故，得(3)由得=13分由，得n=1005,即存在滿足條件的自然數n=1005. 例33 已知數列中，當時，其前項和滿足，（1） 求的表達式及的值；（2） 求數列的通項公式；（3） 設，求證：當且時，。解：（1）所以是等差數列。則。（2）當時，綜上，。（3）令，當時，有 等價于求證。當時，令，則在遞增。又，所以即例34 已知數列各項均不為0，其前項和為，且對任意都有（為大于1的常數），記(1) 求；(2) 試比較與的大小（）；(3) 求證：，（）解：(1) ，得，即在中令，可得是首項為，公比為的等比數列，(2) 由(1)可得，而，且，（）例35 數列：滿足() 設，求證是等比數列；() 求數列的通項公式; （）設,數列的前項和為,求證: 解：()由得，即， 是以為公比的等比數列 () 又即 ，故（）又例36 給定正整數和正數，對于滿足條件的所有無窮等差數列，試求的最大值，并求出取最大值時的首項和公差解：設公差為，則又，當且僅當時，等號成立當數列首項，公差時，的最大值為例37 已知數列an滿足a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nn*），若數列是等比數列. （）求數列an的通項公式； （）求證：當k為奇數時，； （）求證： 得=2或=3 當=2時，可得為首項是 ，公比為3的等比數列，則 當=3時，為首項是，公比為2的等比數列， 得， （注：也可由利用待定系數或同除2n+1得通項公式）（）當k為奇數時， （）由（）知k為奇數時， 當n為偶數時， 當n為奇數時，= 例 38 如圖，把正分成有限個全等的小正三角形，且在每個小三角形的頂點上都放置一個非零實數，使得任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數的乘積相等設點a為第一行，bc為第n行，記點a上的數為，第i行中第j個數為若（1）求；（2）試求第n行中第m個數的表達式（用n、m表示）；（3）記，求證：.解：（1）（2） （3）當時，所以當時，則又所以例39 已知，且，數列的前項和為，它滿足條件.數列中，.（1）求數列的前項和；（2）若對一切都有，求的取值范圍.解：（1） ，當時，.當2時，=， 此時=，=+設+，6分（2）由可得當時，由，可得 對一切都成立，此時的解為.當時，由 可得對一切都成立，此時的解為.由，可知對一切，都有的的取值范圍是或.例40 已知正項數列中，點在拋物線上；數列中，點在過點，以方向向量為的直線上。（）求數列的通項公式；（）若，問是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說明理由；（）對任意正整數，不等式成立，求正數的取值范圍。解：（）將點代入中得（）（）由例41 已知等比數列的前項和為（）求數列的通項公式；（）設數列滿足，為數列 的前項和，試比較 與 的大小，并證明你的結論解：（）由得:時，是等比數列，得 （）由和得10分當或時有，所以當時有那么同理可得：當時有，所以當時有綜上：當時有；當時有例42 已知數列中，其前項和滿足.令.（）求數列的通項公式；（）若，求證：（）；（）令（），求同時滿足下列兩個條件的所有的值：對于任意正整數，都有；對于任意的，均存在，使得時，.解：（）由題意知即檢驗知、時，結論也成立，故.（）由于故.（）（）當時，由（）知：，即條件滿足；又，.取等于不超過的最大整數，則當時，.9（）當時，.由（）知存在，當時，故存在，當時，不滿足條件. （）當時，.取，若存在，當時，則.矛盾. 故不存在，當時，.不滿足條件.綜上所述：只有時滿足條件，故.例43 已知數列滿足（1）求；（2）已知存在實數，使為公差為的等差數列，求的值；（3）記，數列的前項和為，求證：.解：（1），由數列的遞推公式得，（2）=數列為公差是的等差數列.由題意，令，得（3）由（2）知，所以此時=， =例44 已知數列,（）求數列的通項公式（）當時,求證:（）若函數滿足： 求證：解： (1) ,兩邊加得: , 是以2為公比, 為首項的等比數列.由兩邊減得: 是以為公比, 為首項的等比數列.-得: 所以,所求通項為5分(2) 當為偶數時,當為奇數時,又為偶數由(1)知, （3）證明：又 例45 設不等式組所表示的平面區域為dn，記dn內的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數的點）的個數為f(n)(nn*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表達式； （2）設bn=2nf(n)，sn為bn的前n項和，求sn； （3）記，若對于一切正整數n，總有tnm成立，求實數m的取值范圍.解：（1）f(1)=3， f(2)=6 當x=1時，y=2n，可取格點2n個；當x=2時,y=n，可取格點n個 f(n)=3n （2）由題意知:bn=3n2n sn=321+622+923+3(n1)2n1+3n2n 2sn=322+623+3(n1)2n+3n2n+1sn=321+322+323+32n3n2n+1 =3（2+22+2n）3n2n+1 =3 =3(2n+12)3nn+1sn=(33n)2n+16sn=6+(3n3)2n+1 （3） t1t4tn 故tn的最大值是t2=t3= m。例46 (2009陜西卷理) 已知數列滿足， .猜想數列的單調