北京三帆中學2015-2016學年度第一學期期中考試試卷九年級 數學班級姓名學號成績注意：（1）時間120分鐘, 滿分120分； （2）請將答案填寫在答題紙上。一、選擇題（本題共30分, 每小題3分, 下列各題均有四個選項, 其中只有一個是符合題意的）1拋物線的開口方向和頂點坐標分別是A向上, （2, 4） B向上, （-2, 4） C向下, （2, 4） D向下, （-2, 4）2已知, 如圖, 在RtABC中, C90, BC3, AC=4, 則sinB的值是AB C D3如圖, 在ABC中, D, E分別是AB, AC邊上的中點, 連接DE, 那么ADE與ABC的面積之比是A1:16 B1:9 C1:4 D1:24如圖, A, B, C三點在正方形網絡線的交點處, 則的值為A B C D5已知方程的解是那么拋物線與軸的兩個交點的坐標分別是A（0, 5）,（0, -3）B（-5, 0）,（3, 0）C（0, -5）,（0, 3）D（5, 0）,（-3, 0）6二次函數的圖象如圖所示, 將其沿x軸翻折后得到的拋物線的解析式為A BC D7某地下車庫出口處安裝了“兩段式欄桿”, 如圖1所示, 點是欄桿轉動的支點, 點是欄桿兩段的聯結點當車輛經過時, 欄桿最多只能升起到如圖2所示的位置, 其示意圖如圖3所示（欄桿寬度忽略不計）, 其中ABBC, EFBC, AEF=143, AB=AE=1.2米, 那么適合該地下車庫的車輛限高標志牌為（參考數據：sin 37 0.60, cos 37 0.80, tan 37 0.75）圖1圖2 圖1 圖2 圖3 A B C D 8為了測量被池塘隔開的A, B兩點之間的距離, 根據實際情況, 作出如圖圖形, 其中ABBE, EFBE, AF交BE于D, C在BD上有四位同學分別測量出以下四組數據： BC, ACB； CD, ACB, ADB； EF, DE, BD； DE, DC, BC能根據所測數據, 求出A, B間距離的有A1組B2組C3組D4組9若拋物線（t為實數）在的范圍內與x軸有公共點, 則t的取值范圍為A0t4 B0t4 C0t1 Dt010如圖1, 在等邊ABC中, 點E, D分別是AC, BC邊的三等分點, 點P為AB邊上的一個動點, 連接PE, PD, PC, DE設BP=x, 圖1中某條線段的長為y, 若表示y與x的函數關系的圖象大致如圖2所示, 則這條線段可能是圖1中的圖2圖1 A線段PD B線段PC C線段PE D線段DE班級姓名學號二、填空題（本題共18分, 每小題3分）11將二次函數化成的形式 12在ABC中, C90, , 則sin A 13若拋物線過原點, 則該拋物線與x軸的另一個交點坐標為 14北京紫禁城是中國古代漢族宮廷建筑之精華. 經測算發現, 太和殿, 中和殿, 保和殿這三大殿的矩形宮院ABCD（北至保和殿, 南至太和門, 西至弘義閣, 東至體仁閣）與三大殿下的工字形大臺基所在的矩形區域EFGH為相似形, 若比較宮院與臺基之間的比例關系, 可以發現接近于9:5, 取“九五至尊”之意. 根據測量數據, 三大殿臺基的寬為40丈, 請你估算三大殿宮院的寬為 丈. 15如圖, 在ABC中, AB=5, AC=4, E是AB上一點, AE=2, 在AC上取一點F, 使以A, E, F為頂點的三角形與ABC相似, 則AF的長為 16已知二次函數的圖象與x軸交于（, 0）和（, 0）, 其中, 與軸交于正半軸上一點下列結論：；其中正確結論的序號是 三、解答題（本題共30分, 每小題5分）17計算: 18已知：如圖, 在中, D是AC上一點, E是AB上一點, 且AED =C.（1）求證：AEDACB；（2）若AB=6, AD=4, AC=5, 求AE的長.19在二次函數中, 函數y與自變量x的部分對應值如下表：x01234y30-10m（1）求這個二次函數的解析式及m的值；（2）在平面直角坐標系中, 用描點法畫出這個二次函數的圖象（不用列表）；（3）當y3時, 則x的取值范圍是_.20如圖,熱氣球的探測器在點A, 從熱氣球看一棟高樓的頂部B的仰角為45, 看這棟高樓底部C的俯角為60, 熱氣球與高樓的水平距離AD為30米, 求這棟樓的高度（取1.73, 結果精確到0.1米）.21如圖, 在平面直角坐標系中, ABC的頂點坐標分別為A（2, 0）, B（3, 2）, C（5, -2）. 以原點O為位似中心, 在y軸的右側將ABC放大為原來的兩倍得到.（1）畫出；（2）分別寫出B, C兩點的對應點, 的坐標.22已知：關于x的函數的圖象與x軸有且只有一個公共點, 求實數a的值 四、解答題（本題共20分, 每小題5分）23如圖, 在等邊ABC中, D, E, F分別為邊AB, BC, CA上的點, 且滿足DEF=60.（1）求證：； （2）若DEBC且DE=EF, 求的值. 班級姓名學號24如圖, 在RtABC中, C=90, , 點D在BC邊上, DC= AC = 6.（1）求AB的值；（2）求tan BAD的值25學校要圍一個矩形花圃, 其一邊利用足夠長的墻, 另三邊用籬笆圍成, 由于園藝需要, 還要用一段籬笆將花圃分隔為兩個小矩形部分（如圖所示）, 總共36米的籬笆恰好用完（不考慮損耗）設矩形垂直于墻面的一邊AB的長為x米（要求ABAD）, 矩形花圃ABCD 的面積為S平方米（1）求S與之間的函數關系式, 并直接寫出自變量的取值范圍；（2）要想使矩形花圃ABCD的面積最大, AB邊的長應為多少米？26定義：直線y=ax+b(a0)稱作拋物線y=ax2+bx(a0)的關聯直線. 根據定義回答以下問題：（1）已知拋物線y=ax2+bx(a0)的關聯直線為y=x+2, 則該拋物線的頂點坐標為_；（2）求證：拋物線y=ax2+bx與其關聯直線一定有公共點；（3）當a=1時, 請寫出拋物線y=ax2+bx與其關聯直線所共有的特征（寫出一條即可）.五、解答題（本題共22分, 第27題7分, 第28題7分, 第 29題8分）27已知：拋物線：與拋物線關于y軸對稱, 拋物線與x軸分別交于點A（-3, 0）, B（m, 0）, 頂點為M（1）求b和m的值；（2）求拋物線的解析式；（3）在x軸, y軸上分別有點P（t, 0）, Q（0, -2t）, 其中t0, 當線段PQ與拋物線有且只有一個公共點時，求t的取值范圍.28在RtABC中, ACB=90, A=30, D為AB的中點, 點E在線段AC上, 點F在直線BC上, EDF=90.（1）如圖1, 若點E與點A重合, 點F在BC的延長線上, 則此時=_；（2）若點E在線段AC上運動, 點F在線段BC上隨之運動（如圖2）, 請猜想在此過程中的值是否發生改變. 若不變, 請求出的值；若改變, 請說明理由.（3）在（2）的條件下, 在線段EC上取一點G, 在線段CB的延長線上取一點H, 其中, 請問k為何值時, 恒有GDH=90. 請在圖3中補全圖形, 直接寫出符合題意的k值, 并以此為條件, 證明GDH=90. 圖1 圖2 圖329如圖1, 在平面直角坐標系中, 有一張矩形紙片OABC, 已知O（0, 0）, A（4, 0）, C（0, m）, 其中m為常數且m2, 點P是OA邊上的動點（與點O, A不重合） 現將PAB沿PB翻折, 得到PDB；再在OC邊上選取適當的點E, 將POE沿PE翻折, 得到PFE, 并使直線PD, PF重合（1）設P（x, 0）, E（0, y）, 求y關于x的函數關系式, 并求y的最大值（用含m的代數式表示）；（2）當m=3時, 若翻折后點D落在BC邊上（如圖2）, 求過E, P, B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）的情況下, 在該拋物線上是否存在點Q, 使PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若存在, 求出點Q的坐標；若不存在, 說明理由 圖1 圖2北京三帆中學2015-2016學年度第一學期期中考試九年級數學參考答案及評分標準 2015.11一、選擇題（本題共30分，每小題3分）題號12345678910答案CDCABDACBA二、填空題（本題共18分，每小題3分）題號111213141516答案（4,0）72或閱卷說明：15題只寫對1個，給2分；兩個都寫對，但有其他錯誤答案，給2分.16題少寫1個，給2分；選錯誤答案，給0分.三、解答題（本題共30分，每小題5分）17.解：4分5分18.(1)證明：在AED和ACB中，A=A，AED =CAEDACB2分(2)解：AEDACB3分AB=6，AD= 4，AC=5即AE的值為5分19. (1)解：拋物線過點（1,0），（3,0）可設拋物線解析式為過點(0,3)a=12分當x=4時，m=33分拋物線的解析式為，m的值為3(2)在平面直角坐標系中畫出函數圖象（不用列表）4分(3) x的取值范圍是0x45分20.解：由題意，ADBC于D，即BDA=CDA=90BDA=90，BAD=45，AD=30BD=ADtanBAD=30tan45=30（米）2分CDA=90，CAD=60，AD=30CD=ADtanCAD=30tan60=51.9（米）3分BC=BD+CD81.9（米）4分答：這棟樓的高度約為81.9米. 5分說明：BD和CD求對任一個即給2分.21.(1) 畫出ABC 3分 (2)B（6,4），C（10，-4）5分說明：畫圖中，每個頂點1分，如果忘記連線，在原有基礎扣1分.B和C坐標各1分.22.解：y=0，即當a=0時，x=0，符合題意1分當a0時，由題意=03分 4分解得5分綜上，a的值為0或.四、解答題（本題共20分，每小題5分）23.(1)證明：等邊ABCB=C=60又DEF=60DEF=B DEC是DBE的外角DEC=B+BDE即DEF+FEC=B+BDEDEF=BBDE=CEF 1分又B=CBDECEF 2分3分(2)解：BDECEF又DE=EF，即BD=CE 4分DEBC即DEB=90，B=60即. 5分24.解：(1)C=90，AC = 6， 1分 AB = AC/sin B=10 . 2分(2)過點B作BEAD交AD的延長線于點E.C=90，AC = 6，AB =10又CD=6BD=BC-CD=23分C=90，DC= AC = 6，tanADC=AC/AD=1，AD=ADC=45BDE=ADC=45又BD=2，BEAD即E=90BE=DE=BDcos45=AE=4分tanBAD=. 5分法二：過點D作DHAB于點H（用三角函數或面積法求DH）25. 解：(1) 由題，AB=x，BC=36-3xS=ABBC=x(36-3x)=-3x2+36x1分(0x9)2分（2）3分 069 x=6時，S取得最大值1084分 答：要想使矩形花圃ABCD的面積最大，AB邊的長應為6米.5分26.(1)（-1，-1）.1分(2)證明：拋物線y=ax2+bx與y=ax+b相交ax2+bx=ax+bax2+(b-a)x-b=02分3分拋物線y=ax2+bx與其關聯直線一定有公共點.4分(3) 拋物線y=x2+bx與其關聯直線恒過點（1，1+b）拋物線y=x2+bx與其關聯直線恒過點（-b，0）拋物線y=x2+bx與其關聯直線恒有一個交點在x軸上當x-b/2時，拋物線y=x2+bx與其關聯直線均是從左到右呈上升趨勢（寫出一個即可）5分五、解答題（本題共22分，第27題7分，第28題7分，第 29題8分）27.解：(1) 拋物線過點 A（-3,0） 1分：令，則解得 2分(2)：M(-2, -2) 點M關于y軸的對稱點N(2,-2)3分：4分(3)由題意，點A(-3,0)與D，點B(-1,0)與C關于y軸對稱，D(3,0), C(1, 0)P（t, 0）, Q（0, -2t）PQ：y=2x-2t當PQ過點C時，即P與C重合時，t=1當PQ過點D時，即P與D重合時，t=35分當直線PQ與拋物線有且僅有一個公共點時，即方程中=0，得t=13/46分綜上，由圖得，當1t3或t=13/4時，PQ與拋物線有且僅有一個公共點.7分28.(1)=；1分(2)猜想：在此過程中，的值不變. 解：過點D作DMAB交BC的延長線于點M.MDA=MDB=90，即1+3=90又EDF=2+3=901=2ACB=MDB=90A=90-B，M=90-BA=MADEMDF3分D為AB中點DA=DB在此過程中，的值不變，恒為.4分法二：過點D作DMAC于M，DNBC于N.(3)k=.5分證明：由（2）得四邊形CEDF中，ACB=EDF=90，4+6=360-ACB-EDF=180又5+6=1804=5EGDFHD6分EDG=FDHEDF=EDG+FDG=90FDH+FDG=90即GDH=90 7分 29.解：(1) 由題，AB=OC=m，OA=4，EOP=PAB=90，P(x，0)，E(0，y)，OP=x，OE=y，AP=4-x翻折EPO+APB=90又EP