五點(diǎn)共圓問題 與 Clifford 鏈定理 北京師范大學(xué) 張英伯，葉彩娟 2007年4月,一、引子,在世紀(jì)之交的2000年5月，當(dāng)時(shí)的國家主席江澤民視察澳門濠江中學(xué)，興致勃勃地出了一道“五點(diǎn)共圓”的幾何題。 江澤民先生隨后給數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家張景中院士打電話征詢答案，并親函濠江中學(xué)參考。與此同時(shí)，濠江中學(xué)的四位數(shù)學(xué)老師也各自獨(dú)立地作出了解答，他們的數(shù)學(xué)功底令人敬佩。,這個(gè)圖形就是五點(diǎn)共圓問題。當(dāng)時(shí)的表述是：給出一個(gè)不規(guī)則的五角星，做所得五個(gè)小三角形的外接圓，每相鄰的兩個(gè)小三角形的外接圓交于兩個(gè)點(diǎn)，其中之一是所得五邊形的頂點(diǎn)。在五邊形五頂點(diǎn)外的交點(diǎn)共有五個(gè)，證明這五點(diǎn)共圓。 2003年春天，我去德國訪問。有一天我的老板，代數(shù)學(xué)家 Claus Ringel 問我，你知道“江問題”嗎？正當(dāng)我在腦子里緊張地搜索江姓數(shù)學(xué)家的名單時(shí)，老板得意地笑了，“哎呀呀，你們的國家主席呀！”,那天Claus 剛從倫敦開會回來，他說在倫敦的會議上，數(shù)學(xué)家們聊起了江澤民先生提出的五點(diǎn)共圓問題，覺得國家主席關(guān)注幾何學(xué)非常有趣。Claus 隨手在黑板上畫出了五點(diǎn)共圓問題的推廣。 2006 年底，澳門的一個(gè)研討班邀請我去做報(bào)告，報(bào)告剛好在濠江中學(xué)舉行。濠江中學(xué)校方與我們會面時(shí)介紹了當(dāng)年江澤民主席的視察。我一下子想起三年前與 Claus 的對話，就臨時(shí)改變報(bào)告題目，憑記憶談了推廣的五點(diǎn)共圓問題。報(bào)告之后，研討班的組織者力主并多次敦促將這一問題的證明寫成文章。,回到學(xué)校，正趕上本科生準(zhǔn)備畢業(yè)論文，一個(gè)保送研究生的女孩兒希望讀代數(shù)方向的碩士，來我這里要題目，我說你試著找找五點(diǎn)共圓問題的推廣吧。 感謝今天的互聯(lián)網(wǎng)，把這個(gè)世界所有的信息擺在了每一個(gè)人的面前。 經(jīng)過一個(gè)禮拜的搜索，女孩子終于找到了一位日本數(shù)學(xué)家岡潔的傳記，在傳記的最后一頁的最后一個(gè)腳注中，提到 Clifford 定理將五點(diǎn)共圓問題推廣到了任意的正整數(shù)。,有了這個(gè)名字，事情便簡單多了。女孩馬上去搜索 Clifford 所有文章的目錄，找到了他關(guān)于這個(gè)問題的文章：On Miquels Theorem. 遺憾的是年代過于久遠(yuǎn)，我們的北京圖書館，中科院圖書文獻(xiàn)中心都沒有收藏。 再一次感謝互聯(lián)網(wǎng)，北圖很快通知我們文章在大英圖書館找到了，付錢之后就可以掃描過來。還是由于年代過于久遠(yuǎn)，大英圖書館將刊有這篇文章的雜志收在一個(gè)鄉(xiāng)間的書庫。付過的錢被退了回來，原文的掃描和復(fù)印件都不能提供，原因無可奉告。,William Kingdon Clifford（1845-79），英國的幾何代數(shù)學(xué)家，34歲辭世。 他建立了Clifford代數(shù)，這是一種交換環(huán)上的有限維結(jié)合代數(shù)，可以看作是復(fù)數(shù)域和 Hamilton四元數(shù)除環(huán)的推廣，他將這種代數(shù)應(yīng)用于運(yùn)動幾何。他還研究了非歐氏空間中的運(yùn)動，引入了平行線的定義，并對微分幾何做出貢獻(xiàn)，創(chuàng)建了Klein-Clifford 空間。 直到今天，Clifford代數(shù)仍然是數(shù)學(xué)物理、幾何、分析領(lǐng)域中的熱門話題。,在十九世紀(jì)下半葉和二十世紀(jì)初，許多歐美大數(shù)學(xué)家致力于建立歐幾里得幾何的公理化體系。希爾伯特用了三十年的時(shí)間，先后出版七稿，寫成了幾何基礎(chǔ)一書。當(dāng)幾何基礎(chǔ)引起廣泛討論的時(shí)候，許多古老的幾何問題，比如與三角形、直線和圓相關(guān)的點(diǎn)等問題被重新發(fā)現(xiàn)并研究。 1838年，Miquel證明了關(guān)于四圓共點(diǎn)的一個(gè)定理。在這個(gè)定理的基礎(chǔ)上，Clifford于1871年建立了Clifford鏈定理，這是數(shù)學(xué)史上非常著名的一個(gè)有趣而又奇妙的定理。,。,那個(gè)年代的許多歐美數(shù)學(xué)家都研究并論證過這個(gè)定理，一方面尋找它的多種證明方法，另一方面研究這些點(diǎn)圓和其它一些著名的點(diǎn)圓之間的關(guān)系，還有人積極探索它的擴(kuò)展，例如向高維情況的引伸。在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)雜志上，不斷地發(fā)表與Clifford鏈定理相關(guān)的研究成果。 我國正處于清朝末年，尚未進(jìn)入近代數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，因此對當(dāng)時(shí)的一些研究都比較陌生。 由于沒有見到Clifford的原文，本文所講的證明，是基于英國幾何學(xué)家 F. Morley于1900年發(fā)表在美國數(shù)學(xué)會 Transaction上的一篇文章“On the metric geometry of the plane n-line”。,二、Clifford 鏈定理的表述,n=3,n=2,任選平面內(nèi)兩兩相交， 且不共點(diǎn)的三條直線， 則其中每兩條為一組可以確定一個(gè)點(diǎn)，共有三個(gè)點(diǎn)， 那么這三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。,任選平面內(nèi)兩條相交直線， 則這兩條直線確定一個(gè)點(diǎn)。,n=4,n=4,任選平面內(nèi)兩兩相交， 且任意三條直線都不共點(diǎn)的四條直線， 則其中每三條為一組可以確定一個(gè)圓，共有四個(gè)這樣的圓， 則這四個(gè)圓共點(diǎn)。 此點(diǎn)被稱為 Wallace 點(diǎn)。,n=5,任取平面內(nèi)兩兩相交， 且任意三條直線都不共點(diǎn)的五條直線， 則其中每四條作為一組可確定如上所述 的一個(gè) Wallace 點(diǎn)，共有五個(gè)這樣的點(diǎn)， 那么這五個(gè)點(diǎn)共圓， 此圓被稱為 Miquel 圓 （即五點(diǎn)共圓問題）。,n=6,任取平面上兩兩相交的六條直線，且任意三條直線都不共點(diǎn)， 則其中每五條為一組可以確定一個(gè)Miquel 圓，共有六個(gè)這樣的圓， 則這六個(gè)圓共點(diǎn)。,n=7,任取平面內(nèi)兩兩相交， 且任意三條直線都不共點(diǎn)的七條直線， 則其中每六條作為一組可確定如上所述 的一個(gè)點(diǎn)，共有七個(gè)這樣的點(diǎn)， 那么這七個(gè)點(diǎn)共圓。,一般地，,任取平面內(nèi)兩兩相交，且任意三條直線都不共點(diǎn)的2n條直線，則其中每2n-1條直線可確定一個(gè)圓，共確定 2n 個(gè)圓，那么這 2n 個(gè)圓交于一點(diǎn)，稱為 2n 條直線的Clifford 點(diǎn)； 任取平面內(nèi)兩兩相交，且任意三條直線都 不共點(diǎn)的 2n+1條直線，則其中每 2n 條直線可確定一個(gè) Clifford 點(diǎn)，共確定 2n+1個(gè)點(diǎn)，那么這 2n+1 個(gè)點(diǎn)共圓，稱為 2n+1 條直線的 Clifford 圓。,三、直線方程,用平面幾何的方法歸納地證明 Clifford 定理幾乎是不可能的，我們已經(jīng)看到 n=7 的情況圖形有多么復(fù)雜，實(shí)際上五點(diǎn)共圓問題已經(jīng)夠復(fù)雜了。那么用平面解析幾何呢？用復(fù)平面呢？這樣就可以充分借助現(xiàn)代數(shù)學(xué)的工具。讓我們來試一試。 現(xiàn)在考慮復(fù)平面 C, 建立原點(diǎn)，實(shí)軸和虛軸。,用 分別表示兩個(gè)確定的復(fù)數(shù)，其中 的模為1，也就是說， 在單位圓上。其次，用 分別表示兩個(gè)復(fù)變量，其中 的模為1，也就是說 在單位圓上運(yùn)動。,考察公式 當(dāng) 在單位圓周上運(yùn)動時(shí)， 跑過原點(diǎn) 0 和點(diǎn) 連線的垂直平分線。,事實(shí)上， 而 因?yàn)?和 的模都是1，故 另一方面，當(dāng) 趨近于 時(shí)， 的模趨近于無窮大；并且 是 的連續(xù)函數(shù)。所以我們得到了一條直線。,從上述分析可以看出，直線與 的幅角的取值無關(guān)。我們不妨取 事實(shí)上，利用單位圓周上的點(diǎn) t 作參數(shù)，根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的分式線性函數(shù)理論， 表示一條直線。,四、特征常數(shù),如果我們有兩條直線： ， 則 . 兩式相減，得到兩條直 線的交點(diǎn)： . 再設(shè) . 稱 為n=2時(shí)的特征常數(shù)。,如果我們有三條直線： 令 上面的式子中，求和號表示對數(shù)組 (1 2 3) 進(jìn)行輪換，分別取 (1 2 3), (2 3 1) , (3 1 2). 叫做 n=3 時(shí)的特征常數(shù)。,建立一個(gè)圓方程，圓心在 ，半徑為 ： 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 所以我們的圓經(jīng)過三條直線中每兩條的交點(diǎn)，這就是三點(diǎn)共圓。,定義 4.1. 關(guān)于 n 條直線 的特征常數(shù) 定義為： 其中求和號表示對 (12- - -n) 進(jìn)行輪換。 引理4.2.,證明： 引理證畢。,特征常數(shù)有如下的共軛性質(zhì)。取定正整數(shù) n，令 將 的復(fù)共軛記作 ，令 ，則 引理4.3.,引理4.4. 設(shè) 是 n 個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式，記 的共軛元為 。 如果 n 個(gè)變元均取模為 1 的復(fù)數(shù)，則 證明：設(shè) ， 則 引理證畢。,五、n=4 和 n=5 時(shí)的證明,設(shè)我們有四條直線 根據(jù)第四節(jié)的討論，三條直線確定的圓方程為： 或 其中 是一個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式。根據(jù)引理4.2, 去掉四條直線中的第 條后的圓方程是：,根據(jù)引理4.3,方程 是自共軛的，即它的共軛方程 與自身相等， 我們有： 即 在單位圓上。又因?yàn)?的任意性，方程等價(jià)于： 其中 是 n= 4 時(shí)的特征常數(shù)。消去 , 即 是四條直線的 Clifford 點(diǎn)。,當(dāng) n=5 時(shí)，我們有五條直線： 去掉其中的任意一條，所得到的四條直線確定一個(gè) Cliford 點(diǎn)。 根據(jù)引理4.2，我們可以從n=5 時(shí)的特征常數(shù)得到 n=4 時(shí)的特征常數(shù)，比如去掉第 條直線，得方程：,因?yàn)?是一個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式， 分別導(dǎo)出了兩個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式 和 上述方程變?yōu)椋?根據(jù)引理4.3，第二個(gè)方程是自共軛的，保證了 t 在單位圓上。,從方程組中消去 ，并用 t 代替 ，或考察以 和 （以 t 代之）為未知數(shù)的線性方程組，Cramer 法則給出 x 和 t 應(yīng)該滿足的關(guān)系： 或 這就是五條直線的 Clifford 圓。,六、Clifford 鏈定理,定理6.1. 2p 條直線的 Clifford 點(diǎn)由下述行列式給出： 而 2p+1 條直線的 Clifford 圓由下述方程確定：,證明： 設(shè) p=1 在2x1 時(shí)得到兩條直線的交點(diǎn)： 設(shè) P=2 ， 是一個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式。在 2x2-1 時(shí)得到三條直線的 Clifford 圓滿足的方程： 在2x2 的情況得到四條直線的 Clifford 點(diǎn)滿足的方程 設(shè)p=3, 是兩個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式。在2x3-1 時(shí)得到五條直線的 Clifford 圓方程：,現(xiàn)在設(shè) 2p-1條直線的 Clifford 圓滿足的方程是： 其中 是 p-1個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式。則該假設(shè)當(dāng) p=2，p=3 時(shí)都是正確的。我們來計(jì)算 2p 條直線的情況。,根據(jù)引理4.2, 關(guān)于 2p-1 條直線的特征常數(shù)可以用關(guān)于 2p 條直線的特征常數(shù)去掉某條直線，例如第 條表示出來：,由于 的任意性，考察下述 p 個(gè)方程： 其中第 1+i 與第 p-i+1 個(gè)方程是共軛的。為方便起見，我們僅驗(yàn)證第 2 與第 p 個(gè)方程的共軛性。,記 是關(guān)于模為 1 的復(fù)數(shù) 的初等對稱多項(xiàng)式。則 根據(jù)引理 4.3, 第二個(gè)方程的共軛方程為 將兩端同乘以 ，根據(jù)引理 4.4 得：,將第 p 個(gè)方程的兩端同乘以 ，并顛倒次序，我們有方程： 易見這兩個(gè)方程共軛， 故 ， 在單位圓上。 在關(guān)于 2p 的 p 個(gè)方程中消去 ，即得所求公式，定理的第一部分證畢。,我們來考察 2p+1 的情況。根據(jù)引理 4.2, 2p 條直線的特征常數(shù)可以通過 2p+1 條直線的特征常數(shù)表示出來。故 2p 條直線的 Clifford 點(diǎn)滿足的方程誘導(dǎo)出下述 p 個(gè)方程：,關(guān)于 p-1 個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式 與 誘導(dǎo)出 p 個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式 原方程變?yōu)椋?運(yùn)用引理 4.3，與 2p 的情況類似可驗(yàn)，方程組中的第 i+1 個(gè)方程與第 p-i+1 個(gè)方程是共軛的， t 在單位圓上。 在關(guān)于 2p+1 的 p 個(gè)方程中消去 ，即得所求公式。定理的第二部分證畢。 Clifford 定理的正確性從數(shù)學(xué)歸納法得到。,當(dāng)然，特征常數(shù) a 需要滿足一定的條件，使得直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)。下面列出的第二篇參考文獻(xiàn)就專門討論了這個(gè)問題。 我教過多年的線性代數(shù)，從來沒有想到用矩陣、行列式和對稱多項(xiàng)式能夠如此巧妙地解決這樣復(fù)雜的平面幾何問題。偉大的數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣