二項分布及其應(yīng)用,內(nèi)容提綱,二項分布的概念及應(yīng)用條件 二項分布的性質(zhì) 二項分布的特點 二項分布的應(yīng)用,舉例：設(shè)小白鼠接受一定劑量的某種毒物染毒后死亡率為80%。若每組各用3只小白鼠（甲、乙、丙）接受該種毒物染毒，觀察各組小白鼠的存亡情況。,一、二項分布的概念及應(yīng)用條件,概率的乘法原理：幾個相互獨立的事件同時發(fā)生的概率等于各事件發(fā)生概率的乘積。 概率的加法原理：幾個互不相容的事件至少發(fā)生其一的概率等于各事件發(fā)生概率的和。,3只小白鼠存亡的排列和組合方式及其概率的計算,該例題中各種組合的概率恰好等于該二項式展開式的各項，所以將n次這種只具有兩種互相對立結(jié)果中一種的隨機實驗成功次數(shù)的概率分布稱為二項分布。,該例題中各種組合的概率恰好等于該二項式展開式的各項，所以將n次這種只具有兩種互相對立結(jié)果中一種的隨機實驗成功次數(shù)的概率分布稱為二項分布。,例. 求前例中三只小白鼠死亡2只的概率。,一、二項分布的概念及應(yīng)用條件,1、概念：若試驗 E 只有兩種相互對立的結(jié)果(A及 ),并且 ， ， 把 E 獨立地重復(fù) n 次的試驗稱為 n 重貝努里試驗（Bernoulli trial）。 n 重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù) x 所服從的分布即為二項分布（binomial distribution），記為 x B( , n ）。 例 拋硬幣（正/反），患者治療后的結(jié)局（治愈/未愈），實驗動物染毒后結(jié)局（生存/死亡），。,2、應(yīng)用條件： n次試驗相互獨立 （ n 個觀察單位相互獨立）。 每次試驗只有兩種可能結(jié)果中的某一種（適用 于二分類資料）。 每次試驗發(fā)生某一種結(jié)果的概率 固定不變 （要求各觀察單位同質(zhì)）。,一、二項分布的概念及應(yīng)用條件,設(shè)從概率為的總體中隨機抽取樣本量為n的樣本，每個樣本的事件發(fā)生數(shù)為x，則 x B(，n)。可以證明： 若用相對數(shù)表示，即樣本率的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,二、二項分布的性質(zhì) （一）均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差,率的標(biāo)準(zhǔn)誤（standard error of rate）：,（理論值）,（實際值）,（二）二項分布的累計概率 從陽性率為 的總體中隨機抽取n個觀察單位，則 （1）最多有k例陽性的概率為 （2）最少有k例陽性的概率為,(三)二項分布的圖形,x,n=10, =0.5,x,n=20, =0.5,n=30, =0.5,n=5, =0.3,n=10, =0.3,n=20, =0.3,n=50, =0.3,=0.2, n=50,=0.2, n=20,（四）二項分布的特點,1、當(dāng) 時，無論 n大小，其圖形均呈對稱分布； 2、當(dāng) ，且n小時 呈偏態(tài)分布；隨n不斷增大，逐漸趨于對稱分布；當(dāng) 時，逼近正態(tài)分布。 實際工作中，只要n足夠大，與1- 均不太小時（通常規(guī)定 且 與 時），可看作近似正態(tài)分布，即 或,二項分布的正態(tài)近似示意圖,二項分布的累計概率:,k1,k2,三、二項分布的應(yīng)用 （一）估計總體率的可信區(qū)間,1、率的抽樣誤差 (理論值) (估計值) 2、總體率的區(qū)間估計,2、總體率的區(qū)間估計,(1)查表法樣本量較小時(n50) 例3.6 某醫(yī)院皮膚科醫(yī)師用某種藥物治療20名系統(tǒng)性紅斑狼瘡患者，其中8人近期有效，求該法近期有效率的95%可信區(qū)間。 用n=20和x=8查附表7.2百分率的可信區(qū)間得該法近期有效率的95%可信區(qū)間為19%64%。 由于附表7百分率的可信區(qū)間中值只列出了x n/2的部分，當(dāng)xn/2時，應(yīng)以n -x查表，再從100中減去查得的數(shù)值即為所求可信區(qū)間。,三、二項分布的應(yīng)用,2、總體率的區(qū)間估計,（2）正態(tài)近似法 當(dāng)樣本含量足夠大，且樣本率p和 1-p均不太小，一般 np與n(1-p)均大于5時，樣本率的抽樣分布近似正態(tài)分布，即 此時, 總體率的可信區(qū)間可按下式進行估計: 其中,三、二項分布的應(yīng)用,三、二項分布的應(yīng)用 （二）假設(shè)檢驗,1、樣本率與已知總體率的比較： (1)直接計算概率法: 例1 根據(jù)以往長期的實踐，證明某常用藥的治愈率為65%。現(xiàn)在某種新藥的臨床試驗中，隨機觀察了10名用該新藥的患者，治愈8人。問該新藥的療效是否比傳統(tǒng)的常用藥好？,（1）建立假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)。 H0： = 0，即新藥治愈率與傳統(tǒng)藥物相同 H1： 0，即新藥治愈率高于傳統(tǒng)藥物 = 0.05 （2）根據(jù)二項分布的分布規(guī)律，計算 P 值。,H0成立時，隨機抽查的10人中治愈人數(shù)x 的分布,(3) 做出推斷結(jié)論。本例P 0.05，按=0. 05的檢驗水準(zhǔn)不拒絕H0，尚不能認(rèn)為新藥療效較傳統(tǒng)藥物療效好。,例2 據(jù)以往經(jīng)驗，新生兒染色體異常率一般為1，某醫(yī)生觀察了當(dāng)?shù)?00名新生兒，發(fā)現(xiàn)有1例染色體異常，問該地新生兒染色體異常率是否低于一般？,H0成立時, 400名新生兒中染色體異常例數(shù)的概率分布,（1）建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) H0： = 0，即該地新生兒染色體異常率不低于一般 H1： 0.05，按 =0.05檢驗水準(zhǔn)不拒絕H0，尚 不能認(rèn)為該地新生兒染色體異常率低于一般。,1、樣本率與已知總體率的比較：,(2) 正態(tài)近似法: 當(dāng) n0 和 n(1-0) 均大于5時, 可用正態(tài)近似法, 按下式計算檢驗統(tǒng)計量u值。 或,例3 據(jù)報道，某常規(guī)療法對某種疾病的治愈率為65%。現(xiàn)某醫(yī)生用中西醫(yī)結(jié)合療法治療了100例該病患者，治愈了80人。問該中西醫(yī)結(jié)合療法的療效是否比常規(guī)療法好？,當(dāng)H0成立時, 100例患者中治愈人數(shù)的概率分布,（1）建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) H0： = 0，即該種中西醫(yī)結(jié)合療法療效與常規(guī)療法相同 H1： 0，即該種中西醫(yī)結(jié)合療法療效好于常規(guī)療法 = 0.05 （2） 計算檢驗統(tǒng)計量 。 本例, 0 =0.65，n=100， x=80 。 （3） 確定P值，做出推斷結(jié)論。 查表得, 0.0005P0.001, 按 = 0.05 水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，認(rèn)為中西醫(yī)結(jié)合療法的療效好于常規(guī)療法。,例4 經(jīng)長期臨床觀察, 發(fā)現(xiàn)胃潰瘍患者發(fā)生胃出血癥狀的占20%。現(xiàn)某醫(yī)院觀察了304例65歲以上的老年胃潰瘍患者，有96例發(fā)生胃出血癥狀，占31.58%。問老年胃潰瘍患者是否較一般患者更易發(fā)生胃出血？,（1）建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) H0： = 0，即老年胃潰瘍患者胃出血發(fā)生率與一般患者相同 H1： 0，即老年胃潰瘍患者胃出血發(fā)生率高于一般患者 = 0.05 （2） 計算檢驗統(tǒng)計量 。 （3） 確定P值 , 做出推斷結(jié)論。查表得, P0.0005, 按 = 0.05水準(zhǔn)拒絕H0, 接受H1, 認(rèn)為老年胃潰瘍患者較一般患者更易發(fā)生胃出血。,小貼士：注意事項,以上各例均為單側(cè)檢驗, 若需進行雙側(cè)檢驗, 則P值為從H0規(guī)定的總體中抽到現(xiàn)有樣本以及更極端（即概率小于等于現(xiàn)有樣本概率）情形的累計概率。,例2* 據(jù)以往經(jīng)驗，新生兒染色體異常率一般為1。為了解某地新生兒染色體異常率，某醫(yī)生觀察了當(dāng)?shù)?00名新生兒,發(fā)現(xiàn)有1例染色體異常，問該地新生兒染色體異常率是否與一般人群相同？,（1）建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) H0: =0，即該地新生兒染色體異常率與一般人群相同 H1: 0，即該地新生兒染色體異常率與一般人群不同 = 0.05,若H0成立, 由400名新生兒中染色體異常的人數(shù)服從B(0.01,400), 現(xiàn)有樣本為x=1： 比現(xiàn)有樣本更極端（即p0.07253)的情形包括x=0,x=7,x=8, x=400。故,P 0.05，按 =0.05檢驗水準(zhǔn)不拒絕H0，尚不能認(rèn)為該地新生兒染色體異常率與一般人群不同。,例3* 據(jù)報道，某常規(guī)療法對某種疾病的治愈率為65%。現(xiàn)某醫(yī)生為了解一種中西醫(yī)結(jié)合療法的療效，用該中西醫(yī)結(jié)合療法治療了100例該病患者，治愈了80人。問該中西醫(yī)結(jié)合療法的療效是否與常規(guī)療法相同？,建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)： H0: = 0，即中西醫(yī)結(jié)合療法與常規(guī)療法療效相同 H1: 0，即中西醫(yī)結(jié)合療法與常規(guī)療法療效不同 = 0.05,若H0成立時, 100人中治愈人數(shù) xB(0.65,100)，其中p(80)=0.00044，比其更極端的情形包括x80和x49。 按正態(tài)近似法對應(yīng)的概率分別為P(u3.14)和P(u -3.14)。 故P=(u1)+1-(u2)=2(u1)=0.00168。 P0.05，故按=0.05水準(zhǔn)拒絕H0, 接受H1，認(rèn)為中西醫(yī)結(jié)合療法與常規(guī)療法不同。,（1）建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) H0： = 0，即該種中西醫(yī)結(jié)合療法療效與常規(guī)療法相同 H1： 0，即該種中西醫(yī)結(jié)合療法療效好于常規(guī)療法 = 0.05 （2） 計算檢驗統(tǒng)計量 。 本例, 0 =0.65，n=100， x=80 。 （3） 確定P值，做出推斷結(jié)論。 查表得, 0.001P0.002, 按 = 0.05 水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，認(rèn)為中西醫(yī)結(jié)合療法的療效好于常規(guī)療法。,2、兩樣本率的比較,兩個樣本率進行比較的目的是推斷兩個樣本各自代表的兩總體率是否相等，當(dāng)兩個樣本含量較大且樣本率均滿足正態(tài)近似條件(即n150,n250且n1p1, n1(1-p1), n2p2, n2(1-p2)均大于5) 時，可用u檢驗: 其中，p1, p2 分別為兩樣本率, pc為兩樣本的合并率:,2、兩樣本率的比較,例5 為研究高血壓病的遺傳度, 某醫(yī)師進行了高血壓子代患病率調(diào)查。其中父母雙親有一方患高血壓者調(diào)查了205人，其中高血壓患者101人；父母雙親均患高血壓者調(diào)查了153人，其中高血壓患者112人。問雙親中只有一方患高血壓與雙親均患高血壓的子代中，高血壓患病率是否相同？,（1）建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) H0：1 = 2，即兩組人群中子代患病率相同 H1： 1 2，即兩組人群中子代患病率不同 = 0.05 （2）計算檢驗統(tǒng)計量 。 本例, p1=101/205=0.49268, p2=112/153=0.73203, pc =(101+112）/（205+153)=0.59497 。 （3） 確定P值, 做出推斷結(jié)論。 查表得P0.0005，按 = 0.05水準(zhǔn)拒絕H0， 接受H1，認(rèn)為兩組子代患病率不同，父母雙親均患病者子代高血壓患病率高于單親患病者。,例6.3 某研究者在某地區(qū)隨機抽取10歲兒童100人，20歲青年120人，檢查發(fā)現(xiàn)10歲兒童中有70人患齲齒，20歲青年中有60人患齲齒，問該地區(qū)10歲兒童與20歲青年患齲齒率是否相等？,2、兩樣本率的比較,（1）建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) H0：1 = 2，即兩組人群齲患率相同 H1： 1 2，即兩組人群齲患率不同 = 0.05 (2) 計算檢驗統(tǒng)計量 。 本例, p1=70/100=0.70, p2=60/120=0.50, pc =(70+60）/（100+120)=0.5909 。 (3) 確定P值, 做出推斷結(jié)論。 查表得P0.01，按 = 0.05水準(zhǔn)