7.4.2 利用MATLAB 計算隨機變量的期望和方差 一、用MATLAB計算離散型隨機 變量的數學期望 通常，對取值較少的離散型隨機變量，可用如下程 序進行計算： 對于有無窮多個取值的隨機變量，其期望的計算 公式為： 可用如下程序進行計算： 案例7.63 一批產品中有一、二、三等品、等外品及廢品5種 ，相應的概率分別為0.7、0.1、0.1、0.06及0.04,若其產值分 別為6元、5.4元、5元、4元及0元.求產值的平均值 解：將產品產值用隨機變量 表示，則 的分布為 ： 產值的平均值為 的數學期望。在MATLAB中，輸入： 再擊回車鍵，顯示： 6 5.4 5 4 0 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04 即產品產值的平均值為5.48. 案例7.64已知隨機變量 的分布列如下： 計算 解： 在MATLAB中，輸入： 再擊回車鍵，顯示： 若 是連續型隨機變量，數學期望的計算公式為： 程序如下： 二、用MATLAB計算連續型隨機變量的數學期望 案例7.65 用MATLAB計算案例7.47中商品的期望銷售量，已 知其概率密度為： 計算 . 解： 在MATLAB中，輸入: 擊回車鍵，顯示 若 是隨機變量 的函數，則當 為離散 型隨機變量且有分布律 時，隨機變量 的數學期望為： 其MATLAB計算程序為： 當 為連續型隨機變量且有概率密度 時 ，隨機變量 的數學期望為： 其MATLAB計算程序為： 三、用MATLAB計算隨機變量函數的數學期望 案例7.66 利用MATLAB軟件重新解答案例7.50 解： 由原題已知收益Y的期望 在MATLAB命令窗口輸入： EY=1/20*(int(4*x-y),x,20,y)+int(3*y,x,y,40) 結果顯示:1/10*y2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y) 將其化簡，輸入命令: simplify(1/10*y2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y) 結果顯示: -1/10*y2-40+7*y 再對Y在區間20,40上求最大值，在命令窗口入 結果顯示: 3.5000e+001 即當組織35噸貨源時，收益最大。 (注： simplify（f）是對函數f化簡； fminbnd(f,a,b)是對函數f在區間a,b上求 極小值。要求函數的極大值時只需將f變為 -f) 四、用MATLAB計算方差 計算方差的常用公式為： 若離散型隨機變量有分布律 其MATLAB計算程序為 若是連續型隨機變量且密度函數為 ，則方差的 MATLAB計算程序為 案例7.67 利用MATLAB軟件重新解答案例7.56 解： 兩公司的股票價格都是離散型隨機變量.先計算甲公 司股票的方差，在MATLAB命令窗口輸入： 運行結果顯示： 類似的程序我們可得乙公司股票的方差為： 相比之下，甲公司股票方差小得多，故購買甲公 司股票風險較小。 案例7.68 用MATLAB軟件重新解答案例7.57 解： 已知銷售量為上均勻分布，即密度函數為 ： 在MATLAB命令窗口輸入： 運行后結果顯示： 1/3/(b-a)*(b3-a3)-1/4/(b-a)2*(b2-a2)2 將其化簡，在命令窗口中輸入： simplify(1/3/(b-a)*(b3-a3)-1/4/(b-a)2*(b2- a2)2) 結果顯示： 1/12*a2-1/6*b*a+1/12*b2 這與前面的結論是一致的 五、常見分布的期望與方差 分布類型名稱 函數名稱 函數調用格式 二項分布 Binostat E,D= Binostat(N,P) 幾何分布 Geostat E,D= Geostat(P) 超幾何分布 Hygestat E,D= Hygestat(M,K,N) 泊松分布 Poisstat E,D= Poisstat( ) 連續均勻分布 Unifstat E,D= Unifstat(N) 指數分布 Expstat E,D= Expstat(MU) 正態分布 Normstat E,D= Normstat(MU,SIGMA) 分布 Tstat E,D= Tstat(V) 分布 Chi2stat E,D= Chi2stat(V) 分布 fstat E,D= fstat(V1,V2) 案例7.69 求二項分布參數 的期望方差。 解： 程序如下： 結果顯示：E= 20 D= 16 案例7.70求正態分布參數 的期望方差 。 解： 程序如下： 結果顯示：E= 6 D= 0.0625 案例7.47假定國際市場上對我國某種商品的年需求量 是一個隨機變量 （單位：噸），它服從區間 上的均勻分布，計算我國該種商品在國際市場上的年 期望銷售量. 案例7.50假定國際市場每年對我國某種商品的需求量 是一個隨機變量X（單位：噸），它服從20,40上的 均勻分布，已知該商品每售出1噸，可獲利3萬美元的 外匯，但若銷售不出去，則每噸要損失各種費用1萬美 元，那么如何組織貨源，才可使收益最大？ 案例7.57 計算案例7.47中我國商品在國際市場上的銷 售量的方差. 返回 返回 返回 案例7.56一種股票的未來價格是一隨機變量，一 個要買股票的人可以通過比較兩種股票未來價格 的期望和方差來決定購買何種股票，由未來價格 的期望值（即期望價格）可以判定未來收益，而 由方差可以判定投資的風險.方差大則意味投資 風險