2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 689 中國 高考數(shù)學(xué)母題 (第 195 號 ) 函數(shù)零點(diǎn)問題的類型解法 函數(shù)的零點(diǎn) 是 函數(shù) 研究 的 重要課題 ,也是高考的熱點(diǎn)問題 ,高考中的 函數(shù) 零點(diǎn) 問題有兩類 :求 函數(shù)的零點(diǎn) 個(gè)數(shù)和已知 函數(shù)的零點(diǎn) 個(gè)數(shù) ,求 參數(shù) 的取值范圍 ;解決 函數(shù) 零點(diǎn) 問題 的主要方法有 :圖像法 和 轉(zhuǎn)化 法 . 母題結(jié)構(gòu) :( )(零點(diǎn) 定理 ):若函數(shù) f(x)在 a,b上連續(xù) ,且 f(a)f(b)0),討論 h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) . 解析 :( )設(shè) 曲線 y=f(x)與 x 軸 相切于點(diǎn) (),則 f(0,f (0 1=0,3a=0 1,a=( )當(dāng) x (1,+ )時(shí) ,h(x)=f(x),g(x) g(x)=只需討論 f(x)在 (0,1)內(nèi) 的零點(diǎn) ;由 f(x)=x3+1 f(0)=41,f(1)=a+45;由 f (x)=3x2+a f (0)=a,f (1)=3+a; 當(dāng) a 0 或 a ,f(x)在 (0,1)內(nèi)單調(diào) 當(dāng) a 0 時(shí) ,f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) =0 h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) =0;當(dāng) a ,f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) =1 h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) =1; 當(dāng) 即 ,方程 f(x)=0 在 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . 2.(2013 年 山東 高考試題 )設(shè)函數(shù) f(x)=c(e=2071828 為自然對數(shù)的底數(shù) ,c R).( )求 f(x)的單調(diào)區(qū)間 ,最大值 ; ( )討論關(guān)于 x 的方程 |f(x)根的個(gè)數(shù) . 子題類型 :(2016 年 高考 全國乙 試題 )已知函數(shù) f(x)=(ex+a(. 690 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 ( )討論 f(x)的單調(diào)性 ; ( )若 f(x)有兩個(gè)零點(diǎn) ,求 a 的取值范圍 . 解析 :( )由 f (x)=(a); 當(dāng) a 0 時(shí) ,f(x)在 (- ,1)上遞減 ,在 (1,+ )上遞增 ;當(dāng) a=f(x)在 (- , + )上遞增 ; 當(dāng) f(1)=-e,f(2)=a,取 f(x)有兩個(gè)零點(diǎn) ; 當(dāng) f(x)有 三 個(gè)零點(diǎn) ; 當(dāng) ,f(x)在 x=取得極小值 f(極大值 ;( )當(dāng) a=1時(shí) ,f(x)=線 l:y=y f(x)沒有公共點(diǎn) (x= 上沒有實(shí)數(shù)解 ; 當(dāng) k=1 時(shí) ,方程在 R 上沒有實(shí)數(shù)解 ; 當(dāng) k1 時(shí) ,方程 (x=11k = g(x)=g (x)=(x+ 1)g(x)在 (- ,遞減 ,在 () 上遞增 g(x) ) ,所以 ,11( )求 f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值 ; ( )證明 :若 f(x)存在零點(diǎn) ,則 f(x)在區(qū)間 (1, e 上僅有一個(gè)零點(diǎn) . 2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 691 8.(2011 年天津 高考 試 題 )已知 函數(shù) f(x)=4x R,其中 t R. ( )當(dāng) t=1 時(shí) ,求曲線 y=f(x)在點(diǎn) (0,f(0)處的切線方程 ; ( )當(dāng) t 0 時(shí) ,求 f(x)的單 調(diào)區(qū)間 ; ( )證明 :對任意的 t (0,+ ),f(x)在區(qū)間 (0,1)內(nèi)均存在零點(diǎn) . 9.(2015 年 江 蘇 高考試題 )已知函數(shù) f(x)=x3+b(a,b R).( )試討論 f(x)的單調(diào)性 ;( )若 b=數(shù) c 是與 a 無關(guān)的常數(shù) ),當(dāng)函數(shù) f(x)有 3 個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí) ,a 的取值范圍恰好是 (- , (1,23) (23,+ ),求 c 的值 . 10.(2011 年福建高考 試 題 )已知 a,b 為常數(shù) ,且 a 0,函數(shù) f(x)=b+f(e)=2(e=是自然對數(shù)的底數(shù) ). ( )求實(shí)數(shù) ( )求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間 ; ( )當(dāng) a=1時(shí) ,是否同時(shí)存在實(shí)數(shù) (f(1(11 m=121202 ,則 h (x)=22 h(x)在 2,+ )內(nèi)遞增 h(x) h(2)= ) 函數(shù) f(x)在 1-m,各恰有一個(gè)零點(diǎn) ,即方程f(x)=0 在 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . ( )f(x)在 (- ,21)上 遞增 ,在 (21,+ )上 遞減 x)=f(21)=c;( )令 g(x)=f(x)-| 當(dāng) x 1 時(shí) , g(x)=g (x)=g(x)在 1,+ )上 單調(diào)遞 增 ;若 g(1)=21e+c0,即 c方程 在 (0,1)上 有一個(gè)根 ;若 g(1)=21e+c 0,即 c 方程 在 (0,1)上 沒有根 ;綜上 ,當(dāng) c有兩個(gè)根 ;當(dāng) c=有一個(gè)根 ;當(dāng)c0,g(1)= a(),x)=2a)a) h(x)=3x)x (),則 h (x)=1x) x)=h(2e)=25a 的取值范圍 是 (- ,2) (25,+) . ( )由 f(0) 1 |a|+a 1; 當(dāng) a 0 時(shí) ,|a|+a 1 0 1;當(dāng) a0 時(shí) ,|a|+a 1 aa (- ,21; ( )由 f(x)=(+|a( 當(dāng) x a 時(shí) ,f(x)=x,其對稱軸 x=f(x)在 (- ,a)內(nèi)單調(diào)遞減 ; ( )由 f(x)+ x+ 2x+24x;令 g(x)=x+24x(x0),則 g (x)=11x( g(x)在 (0,2)內(nèi)單調(diào)遞減 ,在 (2,+ )內(nèi)單調(diào)遞增 x)=g(2)=3; 當(dāng) 2,即 a=2時(shí) ,f(x)+x=2; 當(dāng) 23,即 a 2 時(shí) ,f(x)+ ( )f(x)存在 極小值 f( k )=2 ),無 極 大 值 ;( )由 f(x)存在零點(diǎn) f( k )=2 ) 0 k e; 當(dāng)k=f(x)在區(qū)間 (1, e 上單調(diào)遞減 ,且 f( e )=0 x= e 是 f(x)在區(qū)間 (1, e 上的唯一零點(diǎn) ; 當(dāng) kf(x)在區(qū)間 (1, e 上單調(diào)遞減 ,且 f(1)=21e )=2時(shí) ,f(x)在 (- , (2t,+ )上 單調(diào)遞增 ,在 (t)上 單調(diào)遞減 ;( ) 當(dāng)2t 1,即 t 2 時(shí) ,f(x)在 (0,1)單調(diào)遞減 ,且 f(0)=,f(1)=t+30;若 t (1,2),則 f(0)0 f(x)在區(qū)間 (0,1)內(nèi) 有一個(gè) 零點(diǎn) . ( )由 f (x)=3x(x+32a);當(dāng) a=0 時(shí) ,f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增 ;當(dāng) ,f(x)在 (- , (0,+ )內(nèi)單調(diào)遞增 ,在 ()內(nèi)單調(diào)遞減 ; ( )當(dāng) a=0時(shí) ,f(x)有 1個(gè)零點(diǎn) ;當(dāng) f(,且2743a+47 ,f(x)有 3 個(gè)零點(diǎn) f(0)0 由a 的取值范圍恰好是 (- , (1,23) (23,+ ) c 的可能組為 ,23;驗(yàn)證知 ,當(dāng) c=3時(shí) ,不合 題 意 .故 c=1. ( )由 f(e)=2 b=2;( ) 當(dāng) a0時(shí) ,f(x)在 (0,1)上 單調(diào)遞 減 ,在 (1,+) 上單調(diào)遞 增 ; 當(dāng) a