廣東工業大學試卷用紙，共 21 頁，第 1 頁數值計算引論學 院 機電工程學院 專 業 機械設計制造及其自動化年級班別 2014 級（6）班 學 號 3114000271 學生姓名 劉就杰 2016年 11 月廣東工業大學試卷用紙，共 21 頁，第 2 頁一 編寫雅可比迭代法求解線性方程組的程序，要求附有算例（20 分）。（可能的算例包括基本的驗證性算例、方程系數隨機生成的一般算例、用于算法對比的比較性算例等，對各算例的結果進行分析。）雅可比迭代法的 matlab 程序如下function x=Jacobi(A,b,x0,tol)%雅可比迭代法解線性方程組%A為 系數矩陣，b 為右端項， x0為初始向量，tol 為誤差精度sprintf(USAGE:Jacobi(A,b,x0,tol)D=diag(diag(A);%diag(x) 返回由向量 x 的元素構成的對角矩陣U=triu(A,1);%triu(A)提取矩 陣 A 的上三角部分生成上三角矩陣L=tril(A,-1);%tril(A)提取矩陣 A 的下三角部分生成下三角矩陣B=-D(L+U);%B為迭代矩陣dl=Db;x=B*x0+dl;n=1;while norm(x-x0)=tolx0=x;x=B*x0+dl;n=n+1;endn %n為迭代次數高斯-賽德爾迭代法的 matlab 程序如下：function x=Guass_seidel(A,b,x0,tol)%高斯-賽德爾迭代法解線性方程組%A為 系數矩陣，b 為右端項， x0為初始向量，tol 為誤差精度sprintf(USAGE:Guass_seidel(A,b,x0,tol)D=diag(diag(A);%diag(x) 返回由向量 x 的元素構成的對角矩陣U=triu(A,1);%triu(A)提取矩 陣 A 的上三角部分生成上三角矩陣L=tril(A,-1);%tril(A)提取矩陣 A 的下三角部分生成下三角矩陣G=-(D+L)U;%G為迭代矩陣dl=(D+L)b;x=G*x0+dl;n=1;while norm(x-x0)=tolx0=x;x=G*x0+dl;廣東工業大學試卷用紙，共 21 頁，第 3 頁n=n+1;endn %n為迭代次數調用編好的程序求解方程組： 12341234 5018xxA=5 -1 -1 -1 ;-1 10 -1 -1;-1 -1 5 -1;-1 -1 -1 10;b=-4;12;8;34;x0=0;0;0;0;tol=1e-6;x=Jacobi(A,b,x0,tol)x=Guass_seidel(A,b,x0,tol) 實驗結果如下：ans =USAGE:Jacobi(A,b,x0,tol)n =20x =1.00002.00003.00004.0000ans =USAGE:Guass_seidel(A,b,x0,t)n =12x =1.00002.00003.00004.0000 取相同的初始值 達到同樣的精度 10-6，雅可比迭代需要迭代 20次，而高斯-賽德爾(0),x迭代法只需 12次。實驗總結：通過這次實驗，對雅可比迭代法以及高斯-賽德 爾迭代法求解線性方程組的基本原理有了進一步的理解，同時了解了雅可比和高斯-賽德爾迭代法的優點，即雅可比和高斯- 賽德爾在求解線性方程組的過程中具有更快的收斂速度，而高斯-賽德爾 比雅可比的收斂速度更快（即取相同的廣東工業大學試卷用紙，共 21 頁，第 4 頁初始值，達到同樣精度所需的迭代次數較少）。二 編寫分段二次拉格朗日插值的程序，要求附有算例（20 分）。（對 在節點 0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0 上進行插值，求 x=0.7 處的值，繪出被插值函數與插值函數的圖形，予以對比。）建立如下拉格朗日插值函數：function y=lagrange(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end在 matlab 中用拉格朗日插 值求 0.7 處的值 exp(0.7)ans =2.013752707470477 lagrange(x,y,0.7)ans =2.013751960394443廣東工業大學試卷用紙，共 21 頁，第 5 頁繪出被插值函數與插值函數的圖形x=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0;y=exp(x);x0=-5:0.001:5;y0=lagrange(x,y,x0);y1=exp(x0);plot(x0,y0,r)hold onplot(x0,y1,g)廣東工業大學試卷用紙，共 21 頁，第 6 頁紅線為插值函數，綠線是被插值函數，由圖像可以知道，在區間（-2，2）是較好擬合的，當超出這個范圍后就會偏差越來越大。三 編寫復化辛普森積分的程序，要求附有算例（20 分）。（對定積分 ,計算精度達到 ）廣東工業大學試卷用紙，共 21 頁，第 7 頁復化辛普森積分的程序function S=bianfuhuasimpson(fx,a,b,eps,M)% 變步長復合 simpson 求積公式% fx - 求積函數（函數文件）% a, b - 求積區間% eps - 計算精度% M-最大允許輸出劃分數n=1;h=(b-a)/n;T1=h*(feval(fx,a)-feval(fx,b)/2;Hn=h*feval(fx,(a+b)/2);S1=(T1+2*Hn)/3;n=2*n; % 最好與倒數第三行保持一致（變步長）while n=MT2=(T1+Hn)/2;Hn=0;h=(b-a)/n;for j=1:nx(j)=a+(j-1/2)*h;y(j)=feval(fx,x(j);Hn=Hn+y(j);endHn=h*Hn;S2=(T2+2*Hn)/3;fprintf( n=%2d S2=%-12.9f S2-S1=%-12.9fn,n,S2,abs(S2-S1);if abs(S2-S1)epsbreak;else T1=T2;S1=S2;n=2*n;endendS=S2;程序執行情況廣東工業大學試卷用紙，共 21 頁，第 8 頁對定積分 ,計算精度達到廣東工業大學試卷用紙，共 21 頁，第 9 頁四 編寫歐拉法、隱式歐拉法求常微分方程初值問題的程序，要求附有算例（20 分）。（對初值問題 采用不同步長（h=0.1, 0.01, 0.001,0.0001),運行兩種算法的程序，并將結果繪制成圖形，進行比較、分析。若要解的精度達到 ，應采取什么措施？）程序：%Euler 法F=x2+x-y;a=0;b=0.5;h=0.1;n=(b-a)/h;X=a:h:b;Y=zeros(1,n+1);Y(1)=0;for i=2:n+1x=X(i-1);y=Y(i-1);Y(i)=Y(i-1)+eval(F)*h;end%隱式 Euler 法 廣東工業大學試卷用紙，共 21 頁，第 10 頁Y1=zeros(1,n+1);Y1(1)=0;for i=2:n+1x=X(i);y=Y1(i-1);Y1(i)=(y+x*h2+h*x)/(h+1);end%準確解temp=;f=dsolve(Dy=x2+x-y,y(0)=0,x);df=zeros(1,n+1);for i=1:n+1temp=subs(f,x,X(i);df(i)=double(vpa(temp);enddisp( 步長 Eul