試題試題試題試題2023—2024學年度高二開年聯考數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考場號?座位號?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題日的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間為120分鐘，滿分150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，集合，，則（

）．A． B．C． D．2．若復數z滿足，則z的虛部為（

）．A． B． C． D．3．下列函數中，表示同一函數的是（

）A． B．C． D．4．若是拋物線位于第一象限的點，是拋物線的焦點，，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．5．已知等差數列的公差和首項都不為0，且成等比數列，則（

）A．1 B．2 C．3 D．56．如圖，在四面體中，點E，F分別是，的中點，點G是線段上靠近點E的一個三等分點，令，，，則（）A． B．C． D．7．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為，則密碼被破譯的概率為（

）A． B． C． D．8．已知為雙曲線：的一個焦點，C上的A，B兩點關于原點對稱，且，，則C的離心率是（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知，且，則（

）A． B．C． D．10．已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列，以下說法正確的是（

）A．B．當時，C．當時，不是數列中的項D．若是數列中的項，則的值可能為711．在正方體中，點P滿足，則（

）A．若，則AP與BD所成角為 B．若，則C．平面 D．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．函數的值域為．13．已知數列滿足，則，.14．二面角為，,是棱上的兩點，，分別在半平面，內，，，且，，則的長為．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．某學校高一名學生參加數學考試，成績均在分到分之間，學生成績的頻率分布直方圖如下圖：

(1)估計這名學生分數的中位數與平均數；(精確到)(2)某老師抽取了名學生的分數：，已知這個分數的平均數，標準差，若剔除其中的和兩個分數，求剩余個分數的平均數與標準差．(參考公式：)16．已知點，點在圓上運動.(1)求過點且與圓相切的直線方程；(2)已知，求的最值.17．如圖，在棱長為4的正方體中，點是的中點.

(1)求證：；(2)求二面角的大小.18．已知數列、滿足，，，.(1)證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；(2)記數列的前項和為，求，并證明：.19．已知，，是橢圓上的三點，其中、兩點關于原點對稱，直線和的斜率滿足.(1)求橢圓的標準方程；(2)點是橢圓長軸上的不同于左右頂點的任意一點，過點作斜率不為0的直線，與橢圓的兩個交點分別為、，若為定值，則稱點為“穩定點”，問：是否存在這樣的穩定點？若有，試求出所有的“穩定點”，并說明理由；若沒有，也請說明理由.參考答案1．D【分析】先化簡集合，，再由子集的概念可判斷A；由集合的運算判斷BCD【詳解】因為，或，所以不是的子集，故A錯誤；，故B錯誤；或，故C錯誤；，故D正確；故選：D2．C【分析】化簡方程求出復數的代數形式，結合復數虛部的定義確定其虛部.【詳解】因為，所以，所以復數的虛部為，故選：C.3．C【分析】從函數的定義域和對應法則兩個方面是否都相同考查函數即得.【詳解】對于A項，，與的對應法則不同，故不是同一函數，A項錯誤；對于B項，的定義域為的定義域為，故兩函數定義域不同，故與不是同一函數，B項錯誤；對于C項，與的定義域相同，對應法則也相同，C項正確；對于項，，與的對應法則不同，故不是同一函數，D項錯誤.故選:C.4．C【分析】由拋物線的定義可求得，結合拋物線方程即可求得，運用兩點斜率公式計算即可.【詳解】由題知，，拋物線的準線方程為，設，由拋物線的定義知，，即，所以，所以，又因為M位于第一象限，所以，所以，所以.故選：C.5．C【分析】設出數列的首項和公差，通過題設條件求得和的數量關系，再將用前項和公式展開，整體代入即得.【詳解】設等差數列的首項為，公差為，由成等比數列得,即：，解得：，.故選：C.6．A【分析】連接，利用空間向量運算的幾何表示求解.【詳解】連接，.故選：A.7．B【分析】密碼被破譯分三種情況：甲破譯出密碼乙未破譯，乙破譯出密碼甲未破譯，甲乙都破譯出密碼，根據相互獨立事件的概率和公式可求解出答案.【詳解】設“甲獨立地破譯一份密碼”為事件A，“乙獨立地破譯一份密碼”為事件B，則，，，，設“密碼被破譯”為事件C，則，故選：B.【點睛】本題以實際問題為背景考查相互獨立事件的概念及其發生的概率的計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.8．D【分析】利用雙曲線的定義求出，結合余弦定理可求離心率.【詳解】不妨設分別為雙曲線的左右焦點，連接，因為A，B兩點關于原點對稱，所以為平行四邊形，所以，因為，，所以.因為，所以；在中，由余弦定理可得，因為，所以，即.故選：D9．ABD【分析】AB選項，兩邊平方得到，再結合得到，，得到AB正確；先求出的平方，結合角的范圍求出的值.【詳解】AB選項，兩邊平方得，，即，所以，B正確，因為，所以，故，所以，A正確；CD選項，，因為，，所以，故，C錯誤，D正確.故選：ABD10．ABD【分析】求出通項判斷A；求出公差、通項判斷BC；探討數列與的下標關系判斷D.【詳解】對于A，由題意得，A正確；對于B，新數列的首項為2，公差為2，故，B正確；對于C，由B選項知，令，則，即是數列的第8項，C錯誤；對于D，插入個數，則，則等差數列中的項在新的等差數列中對應的下標是以1為首項，為公差的等差數列，于是，而是數列的項，令，當時，，D正確.故選：ABD11．BCD【分析】與BD所成角為與所成角，為，A錯誤，建系得到，B正確，故面面，C正確，，D正確，得到答案.【詳解】對選項A：時P與重合，與BD所成角為與所成角，為等邊三角形，則AP與BD所成角為，錯誤；對選項B：如圖建立空間直角坐標系，令，，，，，，，正確；對選項C：，平面，平面，故平面，同理可得平面，，故面面，平面，平面，正確；對選項D：，，，正確．故選：BCD12．##【分析】分別求出各段函數的值域再求并集即可【詳解】當時，在上單調遞減，所以；當時，在上單調遞減，所以；所以函數的值域為，故答案為：13．【分析】在遞推式中對依次賦值，即得；注意到遞推式的特征，因，可將其兩邊取倒數，推得等差數列，求其通項即得.【詳解】因為，所以，故；由可知，兩邊取倒數得：故數列是以1為首項，1為公差的等差數列，則.故答案為：；.14．【分析】將分解為，再求模即可.【詳解】由題意，∵二面角為，，，∴與夾角為，∴與夾角為，，∴，即的長為.故答案為：.15．(1)中位數為，平均數為(2)平均數為，標準差為【分析】（1）根據頻率分布直方圖估計中位數和平均數的方法直接求解即可；（2）根據已知數據可求得剩余個分數的平均數，結合可求得，進而得到剩余個分數的標準差.【詳解】（1），，中位數位于之間，設中位數為，則，解得：，即中位數為；平均數為.（2）剩余個分數的平均值為；，，剩余個分數的標準差為.16．(1)或(2)最大值為88，最小值為72【分析】（1）按過點的直線斜率存在與否分類討論，利用點到直線距離公式即可求得過點且與圓相切的直線方程；（2）利用兩點間距離公式將化簡，利用點縱坐標的取值范圍即可求得的最值.【詳解】（1）當過點的直線斜率存在時，設切線的方程為，即，則圓心到切線的距離為，解得，所以切線方程為，即，當過點的直線斜率不存在時，切線方程為，此時直線與圓相切.綜上，切線方程為或.（2）設點坐標為，則，所以.因為，所以，即的最大值為88，最小值為72.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正方體的性質，先證平面，得，再由證明平面，進而即得；（2）依題意建系，求得相關點坐標，分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求得.【詳解】（1）因為，且平面，所以平面.又平面，所以又因為正方形,則平面，所以平面.因為平面，所以.（2）

如圖，以點為原點，以向量所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則..設平面的一個法向量為，則，令，則，故平面的法向量可取為.由（1）可知，平面，所以平面的法向量可取，設二面角的大小為由圖可知為鈍角，則，因，則，即二面角的大小為.18．(1)證明見解析，(2)，證明見解析【分析】（1）由已知等式變形可得出，利用等差中項法可證得結論成立，確定數列的首項和公差，可求得數列的通項公式，進而可求得數列的通項公式；（2）利用錯位相減法可求得，分析數列的單調性，即可證得結論成立.【詳解】（1）因為，，則，等式兩邊同時乘以可得，即，所以，數列是等差數列.且，，等差數列公差為，所以，，故.（2）數列的前項和為，且，則，所以，，兩式相減可得，所以.又，即為單調