湖南省長沙市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期5月階段考試試卷時量：120分鐘滿分：150分命題：高一數(shù)學(xué)備課組審定：高一數(shù)學(xué)備課組注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，若的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A. B.5 C. D.10【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)運算法則和模長的性質(zhì)計算即可.【詳解】.故選：B2.在以下調(diào)查中，適合用普查的是（）A.調(diào)查一批小包裝餅干的衛(wèi)生是否達(dá)標(biāo)B.調(diào)查一批袋裝牛奶的質(zhì)量C.調(diào)查一批繩索的抗拉強度是否達(dá)到要求D.調(diào)查一個班級的學(xué)生每天完成家庭作業(yè)所需要的時間【答案】D【解析】【分析】根據(jù)普查的適用前提，結(jié)合各項描述確定適用普查的對象.【詳解】普查適用總體數(shù)量較少以及破壞性不大的情況，顯然A、B、C的調(diào)查對象不適用，對于D，一個班級的學(xué)生人數(shù)相對較少，適用普查方式.故選：D.3.已知不等式成立的充分條件是，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意知，根據(jù)子集關(guān)系列式解得參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意得，所以，且等號不能同時成立，解得.故選：D.4.已知菱形的邊長為2，，G是菱形ABCD內(nèi)一點，若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)，先求出，再由推理得到是中線的一個三等分點，從而將用的線性組合表示，再代入所求式，即可求得【詳解】如圖，由,因，則，又因菱形，則；由可得，,取的中點為，則有,即,故.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函數(shù)圖象的對稱性得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，，所以.故選：B6.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABCD的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（）A.117m B.120m C.127m D.135m【答案】A【解析】【分析】分別取的中點，連接過點作交于點，作交于點，連接,證明平面，推得題中兩個二面角的平面角，依次求出，即得該五面體的所有棱長之和.【詳解】如圖，分別取的中點，連接過點作交于點，作交于點，連接.因該五面體兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形，則易得，即四點共面，因，，故，依題意，是平面內(nèi)兩條相交直線，故平面，因平面，則因，且,平面，則平面.因平面，平面，則，即即平面與平面ABCD的夾角，同理即平面與平面ABCD的夾角.依題意，，易證由平面，平面EFMN，則，故則,，，由等腰梯形的性質(zhì)，.于是，該五面體的所有棱長之和為.故選：A.7.已知函數(shù)，則關(guān)于方程的根個數(shù)不可能是（）A0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】C【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點的個數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：將原問題轉(zhuǎn)化為直線（過定點）與函數(shù)的圖象交點的個數(shù)，由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點；當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點；當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點；所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個交點．故選：C．8.如圖，一塊三角形鐵片ABC，已知，，，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個小洞，記為點D，，.如果過點D作一條直線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，并沿直線EF裁掉，則剩下的四邊形EFCB面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，運用面積相等得到，利用基本不等式求出的最小值，即可求得四邊形EFCB面積的最大值.【詳解】設(shè)，，，則，化簡得：，由基本不等式，，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即此時，即的面積最小值為，而，因,故當(dāng)面積的最小時，剩下的四邊形面積最大，最大值為.故選：C.【點睛】思路點睛：本題主要考查三角形面積公式和基本不等式的應(yīng)用，屬于較難題.解題思路在于根據(jù)題設(shè)條件，選設(shè)未知數(shù)，并利用圖形特征，利用等面積建立未知量之間的關(guān)系式，結(jié)合所求利用基本不等式即可求得.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知空間兩條異面直線所成的角等于60°，過點與所成的角均為的直線有且只有一條，則的值可以等于（）A.30° B.45° C.75° D.90°【答案】AD【解析】【分析】過點作，求得直線與所成角的范圍為或，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】過點作，從兩對角的角平分線開始，直線與所成角的范圍為或，而均為的直線有且僅有一條，根據(jù)對稱性，可得或.故選：AD.10.已知（），若方程在區(qū)間上恰有3個實根，則的取值可能是（）A. B.1 C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出的值，再由給定范圍求出，進(jìn)而建立不等式求解即得.【詳解】由，得，解得或，當(dāng)時，，則的可能取值為，，，，…，由在上恰有3個實根，得，解得，所以的取值范圍是，的取值可能是1，.故選：BC11.已知函數(shù)與相交于A，B兩點，與相交于C，D兩點，若A，B，C，D四點的橫坐標(biāo)分別為，，，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，分別代入，即可判斷A,B，根據(jù)，關(guān)于直線的對稱，因此可知對稱，對稱，即可根據(jù)對稱性判斷CD.【詳解】由題意可知是方程的一個根，則，將代入得，所以也是方程的一個根，所以，故，故A正確，由題意可知是方程的一個根，則，則，所以也是方程的一個根，所以，故，故B正確，設(shè)點在函數(shù)上，則滿足，即點關(guān)于直線的對稱點為，將代入得，即可，因此可知在函數(shù)上，即關(guān)于直線的對稱，又關(guān)于直線的對稱，因此可知對稱，對稱，故和，所以，，故D正確，由于，故C錯誤，故選：ABD第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數(shù)據(jù)1，2，4，5，m的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差為____________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的概念，進(jìn)行計算即可．【詳解】數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4，∴，解得；∴這組數(shù)據(jù)的方差為．故答案為：．13.已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，該正四棱臺的體積為時，側(cè)棱與底面所成的角為____________.【答案】【解析】【分析】由條件，結(jié)合棱臺體積公式可求棱臺的高，由線面角的定義確定側(cè)棱與底面所成的角，再根據(jù)棱臺的結(jié)構(gòu)特點解三角形，求角的大小.【詳解】如圖，作正四棱臺，由已知，設(shè)分別為底面的中心，則，平面，所以正四棱臺的高為，因為正四棱臺的體積為，所以，所以，作，則平面，，所以為側(cè)棱與底面所成的角的平面角，所以，又，所以，即側(cè)棱與底面所成的角為.故答案為：.14.設(shè)集合，（，）且A中任意兩數(shù)之和不能被5整除，則n的最大值為____________.【答案】16【解析】【分析】先根據(jù)中的數(shù)除以的余數(shù)將集合進(jìn)行分組，然后根據(jù)整除的知識求得正確答案.【詳解】根據(jù)除以5余數(shù)，可將A集合分為5組：，則，，則，，則，，則，，則，A中的任何兩個數(shù)之和不能被5整除，故和，和中不能同時取數(shù)，且中最多取一個，∴最多的取法是取和中的一個元素，，故n的最大值為16.故答案為：【點睛】兩數(shù)之和能被整除，則兩數(shù)分別除以的余數(shù)之和能被整除.本題的分析方法是先求得中所有數(shù)除以的余數(shù)，從而進(jìn)行分組，分組之后根據(jù)和能被整除的知識來求得正確答案.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱，某市為了了解人們對“一帶一路”的認(rèn)知程度，對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分.現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組，第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人.（1）求x；（2）求抽取的x人的年齡的第80百分位數(shù)（保留小數(shù)）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出第一組頻率，由此能求出．（2）利用百分位數(shù)的計算公式求解即可．【小問1詳解】根據(jù)題中頻率分布直方圖得第一組的頻率為，所以，所以；【小問2詳解】設(shè)第80百分位數(shù)，而，所以所求分位數(shù)在區(qū)間，則，所以16.已知在平面直角坐標(biāo)系，向量.（1）求與垂直的單位向量的坐標(biāo)；（2）若向量，且與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)單位向量為，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的幾何意義建立方程組，解之即可求解；（2）根據(jù)數(shù)量積、模的坐標(biāo)表示求出，當(dāng)與反向共線時解得，由與的夾角為鈍角得，解之即可求解.小問1詳解】設(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或，所以或.【小問2詳解】因為，所以.當(dāng)與反向共線時，，解得.若與的夾角為鈍角，則，即，即，解得且所以的取值范圍是.17.已知等式（1）若x、y均為正整數(shù)，求x、y的值；（2）設(shè)，，、分別是等式中的x取（）時y所對應(yīng)的值，試比較p、q的大小，說明理由.【答案】（1）或（2），理由見解析【解析】【分析】（1）將條件等式寫成的形式，再根據(jù)都是正整數(shù)，確定其值即得；（2）將表示成，設(shè)整體元，，用表示，再運用作差法比較大小即得.【小問1詳解】由得：，即，∵x，y為正整數(shù)，∴可知y只能為1或2，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，即x，y的值為：或；【小問2詳解】，理由如下：由題設(shè)條件可知，，∵，∴，設(shè)，，∵，∴，即，∵，，即，，即，由∵，，即，∴.18.如圖1，設(shè)半圓的半徑為2，點、三等分半圓，點、分別是、的中點，將此半圓以為母線卷成一個圓錐（如圖2）．在圖2中完成下列各題：（1）求在圓錐中的線段的長；（2）求四面體的體積；（3）求三棱錐與三棱錐公共部分的體積．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先求出圓錐的底面圓半徑，再利用正弦定理求出，進(jìn)而可得出答案；（2）根據(jù)求解即可；（3）連接交于點，連接并延長交于點，則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐，再確定點的位置即可得解.【小問1詳解】在圖中，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則，解得，因為在圖1中，點、三等分半圓，所以在圖中，點、為圓錐的底面圓周的三等分點，所以為等邊三角形，所以，所以，又因為點、分別是、的中點，所以；【小問2詳解】，圓錐的高，所以，所以，即四面體的體積為；【小問3詳解】連接交于點，連接并延長交于點，則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐，因為點、分別是、的中點，所以為的中點，且，所以，所以三棱錐與三棱錐公共部分的體積為．【點睛】方法點睛：求空間幾何體體積的方法如下：（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進(jìn)行求解．19.函數(shù).（1）若的定義域為，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時，為定義域為的奇函數(shù)，且時，，①求的解析式②若關(guān)于x的方程恒有兩個不同的實數(shù)根，求t的取值范圍.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）由函數(shù)定義域為，推得恒成立，只需求的值域即得.（2）①先求出時的的解析式，再利用函數(shù)奇偶性求得時的解析式，結(jié)合，即得分段函數(shù)的解析式；②結(jié)合的解析式，將方程等價轉(zhuǎn)化成，再利用在上的單調(diào)性，并化簡得到，最后利用雙勾函數(shù)的值域求得的取值范圍.【小問1詳解】因的定義域為，故恒成立，即恒成立，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，則，即，故，即.【小問2詳解】①因，則當(dāng)時，；若，則，，又因