福建省部分學(xué)校2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期半期考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是（

）A．1，1 B．1， C．， D．，3．下列結(jié)論正確的是（

）A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐B．繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐C．有兩個(gè)面是四邊形且相互平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺(tái)D．棱臺(tái)的所有側(cè)棱所在直線必交于一點(diǎn)4．是在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖，其中，則的面積是（

）A． B．4 C．8 D．5．在中，若，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定的6．設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組的成員為了測(cè)量某直線型河流的寬度，在該河流的一側(cè)岸邊選定A，B兩處，在該河流的另一側(cè)岸邊選定處，測(cè)得米，，則該河流的寬度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米8．在正四棱臺(tái)中，，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則的最小值是（

）A．6 B． C．8 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．10．用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面是四邊形，則這個(gè)幾何體可能是（

）A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐11．對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義：；.若平面向量滿足，且和都在集合中，則的值可能是（

）A．1 B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．一個(gè)棱臺(tái)至少有個(gè)面．13．在中，分別在邊上，且，若，則，線段與交于點(diǎn)，則．14．如圖，在扇形中，半徑，，在半徑上，在半徑上，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知復(fù)數(shù)，．(1)若是純虛數(shù)，求的值；(2)若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍．16．如圖，這是某建筑大樓的直觀圖，它是由一個(gè)半球和一個(gè)圓柱組合而成的.已知該幾何體的下半部分圓柱的軸截面（過(guò)圓柱上?下底面圓的圓心連線的平面）是邊長(zhǎng)為6的正方形.(1)求該幾何體的表面積；(2)求該幾何體的體積.17．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且，．(1)求的值；(2)若，，求的面積．18．如圖.在正四棱臺(tái)中，分別在棱上，且.

(1)證明：平面.(2)證明：直線交于同一點(diǎn).19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．(1)①證明：．②證明存在點(diǎn)，使得，并求出的坐標(biāo)．(2)若點(diǎn)在四邊形的四條邊上運(yùn)動(dòng)，且將四邊形分成周長(zhǎng)相等的兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

參考答案1．【答案】B【分析】利用向量加減運(yùn)算法則計(jì)算即可得答案.【詳解】易知.故選B.2．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是1,1.故選A.3．【答案】D【分析】根據(jù)正四棱錐的定義即可判斷A；舉反例即可判斷BC；根據(jù)棱臺(tái)特點(diǎn)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：底面是正方形的棱錐且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心才是正四棱錐，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，所形成的幾何體是兩個(gè)同底的圓錐，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長(zhǎng)線不能相交于一點(diǎn)，不是棱臺(tái)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，由棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故D正確.故選D.4．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法作出的圖象再求解即可.【詳解】由題意，作出的圖象可得，且，故.故選C.5．【答案】C【分析】利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理計(jì)算判斷即得.【詳解】在中，由正弦定理及，得，令，由余弦定理得，所以角為鈍角，是鈍角三角形.故選C.6．【答案】D【分析】利用線面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A：，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則直線可能相交，可能平行，也可能是異面直線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由線面平行的性質(zhì)知命題正確，故D正確.故選D.7．【答案】A【分析】利用正弦定理求出，再求出邊上的高即可.【詳解】在中，由，得，，由正弦定理得，即，則邊上的高為，所以該河流的寬度是米.故選A.8．【答案】B【分析】把四邊形，展開(kāi)至同一個(gè)平面，求出長(zhǎng)即可得解.【詳解】把四邊形，展開(kāi)至同一個(gè)平面，連接，，，過(guò)點(diǎn)作，則，又，則，在中，，，則，此時(shí)線段中點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即線段與相交，所以的最小值就是展開(kāi)圖中的長(zhǎng)，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，所以的最小值為.故選B.

9．【答案】BD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法可得，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)椋裕蔄C錯(cuò)誤，BD正確.故選BD.10．【答案】BCD【分析】根據(jù)各幾何體的特征及截面的可能情況逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐，截面不可能是四邊形，則A不滿足條件；對(duì)于B：圓柱的軸截面是四邊形，則滿足條件；對(duì)于C：用平行于一個(gè)側(cè)面的平面去截三棱柱，截面是四邊形，則滿足條件；

對(duì)于：如圖，在三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，所以，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以截面是四邊形，則滿足條件．故選BCD.11．【答案】AB【分析】由題意可得，，從而得，，分和分別求解即可.【詳解】因?yàn)椋O(shè)向量和的夾角為，則，由，得，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，，又，則，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，則，此時(shí)，，所以或．故選AB.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】對(duì)于新概念題，理解定義是關(guān)鍵，解答本題的關(guān)鍵是理解和的運(yùn)算法則及基本不等式的應(yīng)用.12．【答案】5【分析】根據(jù)面數(shù)最少的棱臺(tái)是三棱臺(tái)，即可求解.【詳解】由題意，面數(shù)最少的棱臺(tái)是三棱臺(tái)，其中三棱臺(tái)有個(gè)面．13．【答案】9【分析】根據(jù)線性運(yùn)算用表示出，對(duì)比已知即可得；設(shè)，用表示出，記，根據(jù)平面向量基本定理列方程組即可求得，然后得解.【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕瑒t，故．因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以可設(shè)．因?yàn)椋裕裕驗(yàn)槿c(diǎn)共線，所以可設(shè)，所以，則，解得，則．14．【答案】【詳解】設(shè)，則，由，得，顯然，連接，由，，得，，因此的周長(zhǎng)，顯然，當(dāng)，即時(shí)，，而時(shí)，，所以的周長(zhǎng)的取值范圍是.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由實(shí)部為且虛部不為列式求解；（2）由實(shí)部小于0與虛部大于得到不等式組，求出的取值范圍．【詳解】（1）是純虛數(shù)，故，解得.（2），因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，故的取值范圍為.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知半球的半徑，圓柱的底面圓半徑，高.結(jié)合球的表面積公式與圓的面積公式，矩形的面積公式可求該幾何體的表面積；（2）利用球的體積公式與圓柱的體積公式可求幾何體的體積.【詳解】（1）由題意可知半球的半徑，圓柱的底面圓半徑，高.由球的表面積公式可得半球的曲面面積，由圓的面積公式可得圓柱底面圓的面積，由圓柱的側(cè)面積公式可得圓柱的側(cè)面積，故該幾何體的表面積；（2）由球的體積公式可得半球的體積.由圓柱的體積公式可得圓柱的體積.故該幾何體的體積.17．【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得；（2）由（1）的結(jié)論求出c，再利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，所以，而，即，又，所以；（2）由（1）知，，由余弦定理，得，整理得，而，解得，所以的面積.18．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）連接，交于，連接，利用面面平行的性質(zhì)，線面平行的判定推理即得；（2）結(jié)合（1）中信息，利用平面的基本事實(shí)推理即得.【詳解】（1）在正四棱臺(tái)中，連接，交于，連接，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫嫫矫妫裕郑瑒t，所以四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面；

（2）連接，依題意，，則，且，所以四邊形是梯形，交于一點(diǎn)，令交點(diǎn)為，則，而平面，平面，所以平面，平面，又平面平面，所以，即直線交于同一點(diǎn).19．【答案】(1)①證明見(jiàn)詳解；②證明見(jiàn)詳解，(2)【分析】（1）①分別求出，，，，利用向量夾角公式可得；②由條件知點(diǎn)為四邊形外接圓的圓心，由，,可得，，所以四邊形外接圓的圓心為的中點(diǎn)，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）