2025屆高二數學下學期回歸教材期末模擬試題（二）選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合，A.8 B.16 C.32 D.4【答案】A【解析】因為，由，，，法一：其子集有共8個。故選：A法二：（速解）集合有3個元素，故其子集個數為個.故選：A.2.設是可導函數，且，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】,故選：B3.如圖是某個閉合電路的一部分，每個元件正常導電的概率為，則從到這部分電源能通電的概率為（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】從A到B電路不能正常工作的概率為，所以從A到B電路能正常工作的概率為.故選：A.4.已知的展開式第3項的系數是60，則展開式所有項系數和是()A.-1B.1C.64D.【解析】的展開式第3項為，則由已知可得，解得，令，得，所有項的系數和為，故選B。5.下列命題不正確的是（）A.正十二邊形的對角線的條數是54；B.身高各不相同的六位同學，三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法；C.有5個元素的集合的子集共有32個；D.6名同學被邀請參加晚會，其中甲和乙兩位同學要么都去，要么都不去，共有32種去法.【答案】D【解析】對A：任意兩點連線的條數，再排除邊數，故正十二邊形的對角線的條數是.故A正確；對B：6個人全排列有種方法，A、C、D全排列有種方法，則A、C、D從左到右按高到矮的排列有種方法，故B正確；對C：這個集合的子集包括有含有0個元素、1個元素、2個元素、3個元素、4個元素和5個元素，所以這個集合的子集共有個，故C正確；對D：.當甲和乙兩位同學都去，則至少要去2人，則有種去法；當甲和乙兩位同學都不去，則有種去法；根據分類計數原理得：共有種去法。故D不正確6.長時間玩手機可能影響視力.據調查，某校學生大約20%的人近視，而該校大約有10%的學生每天玩手機超過1小時，這些人的近視率約為60%，現從每天玩手機不超過1小時的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率為()A.B.C.D.【解析】令“玩手機時間超過1h的學生”，“玩手機時間不超過1h的學生”，“任意調查一人，此人近視”，則，且互斥，，，依題意，，解得，故選B.7.楊輝三角形又稱賈憲三角形，因首現于南宋杰出數學家楊輝的《詳解九章算法》而得名，它的排列規律如圖所示：那么下列說法中正確的是（

）

第行的第個位置的數是B．楊輝三角前10項的所有數之和為1024C．70在楊輝三角中共出現了4次D．210在楊輝三角中共出現了6次【答案】D【詳解】對于A選項：第行的第個位置的數是，故A錯誤；對于B選項：，B不正確；由于，不妨設，令，當時，，，當時，，無正整數解，當時，，當時，當時，，而遞增，從而無解；當時，，當時，由于是第9行中最中間的數，楊輝三角中以該數為頂點的下方三角形區域中的數都大于70，所以當時，共出現3次，C不正確；類似于前，以為頂點的下方三角形區域中的數都大于,D正確.故選：BCD8.已知0為函數的極小值點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，的導函數為.若，，在上單調遞增，因為，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，符合題意.若，當時，，在上單調遞增，因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，符合題意.若，當時，，當時，，因為，所以，不符合題意.若，當時，，，易得在遞增，在上單調遞減，不符合題意.綜上，的取值范圍是.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.下列命題正確的是（）A.已知，那么6.B.在的展開式中，各項系數的和是-1;C:能被8整除．D.的展開式中的系數為30．對A：因為，所以，即，即，解得或（舍去）,故A正確;對B:令，則，即二項式的展開式中各項系數的和是.故B不正確;對C：能被8整除.所以能被8整除.故C正確;對D：設其展開式的通項公式為，令，得的的通項公式為，再，得，的展開式中，的系數為．即的展開式中，的系數為30．故D正確。10.下列結論中正確的有（

）A．數據的方差是0.1，則有數據的方差為9.B．若隨機變量服從正態分布，，則C．若相關指數的值越接近于0，表示回歸模型的擬合效果越好D．若隨機事件滿足，，，則【答案】BD【解析】對于A，（速解）由已知得，，則對于，可得，，A錯誤；對選項B，若，則，所以，B正確.對選項C，的值越接近1，表示回歸模型的擬合效果越好，故C錯誤.對選項D，，所以，所以，所以，故D正確.選BD．11.設函數,則()A．是的極小值點 B．當時,C．當時,D．當時,【答案】AC【解析】；[類比+特殊],,或,畫出示意圖如圖,可知A正確；當時,,,B錯誤；當時,時,,C正確；當時,,此時兩者大小不確定,故D錯誤.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在的展開式中，含的項的系數是________【答案】【解析】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數是的系數是，，13.購買某種意外傷害保險，每個投保人年度向保險公司交納保險費20元，若被保險人在購買保險的一年度內出險，可獲得賠償金50萬元.已知該保險每一份保單需要賠付的概率為，某保險公司一年能銷售10萬份保單，且每份保單相互獨立，則一年度內該保險公司此項保險業務需要賠付的概率約為；一年度內盈利的期望為萬元.（參考數據：）【答案】0.63150【解析】每份保單不需要賠付的概率是，則10萬分保單不需要賠付的概率；需賠付的概率是設10萬份保單中需賠付的件數，設為，則，則需賠付的保險金為，則，則一年內的盈利的期望是（元）=150（萬元）故答案為：；14.已知函數，若函數有3個零點，則實數a的取值范圍是________．【答案】【解析】，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取得極大值，函數有3個零點，轉化為方程有3個實數根，即與有3個交點，表示斜率的直線，如圖，當直線過原點時，兩個函數有3個交點，此時，當直線與相切時，設切點，解得：，，如圖，滿足條件的的取值范圍是故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）已知甲社區有120人計劃去四川旅游，他們每人將從峨眉山與青城山中選擇一個去旅游，將這120人分為東、西兩小組，兩組的人數相等，已知東小組中去峨眉山的人數是去青城山人數的兩倍，西小組中去峨眉山的人數比去青城山的人數少10.（1）完成下面的2×2列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否由此推斷游客的選擇與所在的小組有關？去峨眉山旅游去青城山旅游合計東小組西小組合計（2）在東小組的游客中，以他們去青城山旅游的頻率為乙社區游客去青城山旅游的概率，從乙社區任選3名游客，記這3名游客中去青城山旅游的人數為X，求及X的數學期望.參考公式：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）2×2列聯表如下.去峨眉山旅游去青城山旅游合計東小組402060西小組253560合計6555120零假設游客的選擇與所在的小組無關，，所以根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為游客的選擇與所在的小組有關，此推斷犯錯誤的概率不大于.（2）在東小組的游客中，他們去青城山旅游的頻率為，所以乙社區游客去青城山旅游的概率為，所以，則，.16.（15分）已知函數（為實數，且），在區間上最大值為，最小值為.（1）若函數在區間上為減函數，求實數的取值范圍；（2）過點作函數圖象的切線，求切線方程.【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】（1），，，；當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞增，，，，，，解得：，；，；在上為減函數，在上恒成立，，又當時，，，即實數的取值范圍為.（2）由（1）得：，設切點為，則切線斜率，切線方程為：，又切線過點，，解得：或；當時，切線方程為：，即；當時，切線方程為：，即.17.（15分）某市組織宣傳小分隊進行法律法規宣傳，某宣傳小分隊記錄了前9天每天普及的人數，得到下表：時間（天）123456789每天普及的人數y8098129150203190258292310（1）從這9天的數據中任選4天的數據，以表示4天中每天普及人數不少于240人的天數，求的分布列和數學期望；（2）由于統計人員的疏忽，第5天的數據統計有誤，如果去掉第5天的數據，試用剩下的數據求出每天普及的人數y關于天數的線性回歸方程.（參考數據：，附：對于一組數據，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：）.【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】（1）每天普及人數不少于240人的天數為3天，則的所有可能取值為，，，，，故的分布列為0123.（2）設原來數據的樣本中心點為，去掉第5天的數據后樣本中心點為，，，故，，所以.18.（17分）一個袋子中有10個大小相同的球，其中紅球7個，黑球3個.每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到紅球的概率；(2)設第次都摸到紅球的概率為；第1次摸到紅球的概率為；在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為；在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為.求；(3)對于事件，當時，寫出的等量關系式，并加以證明.【解析】（1）記事件“第次摸到紅球”為，則第2次摸到紅球的事件為，于是由全概率公式，得.（2）由已知得，，，.（3）由（2）可得，即，可猜想：,證明如下：由條件概率及，得，，所以.19.（17分）英國數學家泰勒發現了如下公式：其中為自然對數底數，.以上公式稱為泰勒公式.設，根據以上信息，并結合高中所學的數學知識，解決如下問題.（1）利用泰勒公式求的近似值；（精確到小數點后兩位）（2）設，證明：；（3）設，若是的極小值點，求實數的取值范圍.【解析】（1）由泰勒公式知，①于是有；（2）由泰勒公式知，①