北京市順義區第一中學2024?2025學年高二下學期3月月考數學試卷一、單選題（本大題共10小題）1．在等差數列中，，則公差的值為（

）A． B． C． D．22．下列求導運算結果錯誤的是（

）A． B． C． D．3．已知等差數列中，，是數列的前項和，則的值為（

）A． B． C．30 D．604．函數在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．5．一輛汽車在筆直的公路上行駛，位移關于時間的函數圖象如圖所示，給出下列四個結論：①汽車在時間段內每一時刻的瞬時速度相同；②汽車在時間段內不斷加速行駛；③汽車在時間段內不斷減速行駛；④汽車在時刻的瞬時速度小于時刻的瞬時速度.其中正確結論的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．已知函數的極小值點，那么函數的極大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．57．若在上是單調遞增的，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．設等比數列的前項和為，則“對任意，都有”是“數列為遞增數列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知是無窮等比數列，其前項和為，，.若對任意正整數，都有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．已知函數，有下列說法①的遞增區間是和；②有三個零點；③不等式的解集為；④關于的不等式恒成立，則的最大值為1.其中正確的是（

）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④二、填空題（本大題共5小題）11．2和6的等差中項是.12．“藻井”又稱“綺井”“天井”是中國建筑中一種頂部裝飾手法，將建筑物頂棚向上凹進如井狀，四壁飾有藻飾花紋.藻井最上面的頂心放置明鏡或者雕刻蟠龍，所以近代“藻井”也稱為“龍井”.為了更好的傳播我國的建筑文化，北京建筑博物館制作了“藻井冰箱貼”，“藻井”是由五片圓形四周帶有“宮殿”的大小相同的強磁金屬片重疊擺放構成，每個金屬片上的宮殿個數成等比數列，冰箱貼的最下面一層為“明鏡”沒有宮殿，第二層有4個宮殿，第三層有8個宮殿，則冰箱貼的最上一層有個宮殿，一套冰箱貼中共有個宮殿.13．已知一個物體在運動過程中，其位移（單位：）與時間（單位：）之間的函數關系為，則物體在0s到1s這段時間里的平均速度為：物體在1s時的瞬時速度為.14．已知函數，的單調遞增區間為，則的極大值為15．已知數列滿足：，有下列結論：則下列關于的判斷正確的是①，使得數列為等比數列；②，，有；③，，使得；④，，當時，有；所有正確結論的序號是三、解答題（本大題共6小題）16．已知為等差數列，且，.(1)求的通項公式；(2)求的前項和及的最大值.17．已知函數.(1)求的單調區間；(2)求在上的最值.18．兩個數列，，，已知數列為等比數列且，數列的前項和為，又滿足______在①（）；②：③（）這三個條件中任選一個，補充在上面的橫線上，使數列唯一確定，并解答下列問題.(1)求數列，的通項公式；(2)記，求數列的前項和.19．已知函數.(1)求函數的極值；(2)若，討論函數的零點個數.20．已知函數，(1)求曲線在處的切線方程；(2)設函數，求函數的單調區間；(3)在（2）的條件下，若函數的圖象恒在直線的圖象的上方，求實數的最大值.21．若有窮正整數數列：，，，…，（）滿足如下兩個性質，則稱數列為數列：①（1，2，3，…，）；②對任意的，都存在正整數，使得.(1)判斷數列：1，1，2，2，4，4和數列：1，1，1，3，3，5是否為數列，說明理由；(2)已知數列：，，，…，（）是數列.（ⅰ）若，試列舉所有的數列；（ⅱ）證明：對任意的，與不能同時成立.

參考答案1．【答案】C【詳解】在等差數列中，.故選：C2．【答案】D【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：D.3．【答案】B【詳解】由題意可得.故選：B4．【答案】A【詳解】因為函數，所以，所以，，所以在點處的切線方程為，即.故選：A.5．【答案】C【詳解】根據題意，①在時間段內，位移是一條斜率大于零的直線，則汽車在該時間段內勻速行駛，汽車在時間段內每一時刻的瞬時速度相同，故①正確；②在時間段內，位移是一條斜率越來越大的曲線，則汽車在該時間段內不斷加速行駛，故②正確；③在時間段內，位移是一條斜率越來越小的曲線，則汽車在該時間段內不斷減速行駛，故③正確；④汽車在時刻的瞬時速度為0，在時間段內，位移不變，則汽車在該時間段內靜止不動故時刻的瞬時速度為0，故④不正確．故選：C．6．【答案】D【詳解】由，因為是函數的極小值點，所以，即則當或時，，所以在上遞增，則當時，，所以在上遞減，即在時有極大值,故選：D.7．【答案】C【詳解】因為在上是單調遞增的，所以上恒成立，所以上，因為，所以，，則的取值范圍是.故選：C.8．【答案】D【詳解】充分性：當時，，所以為遞增數列；當，若時，假設，則數列，則，所以充分性不成立；必要性：假設，則數列為，取，則，，，但，所以必要性不成立，故選：D9．【答案】B【詳解】設的公比為，因為，所以，所以，所以，所以，因為對任意正整數恒成立，所以對任意正整數恒成立；當是偶數時，對任意正整數恒成立，則，因為在上單調遞增，所以，所以，當是奇數時，對任意正整數恒成立，則，因為在上單調遞增，所以時，，所以，綜上所述，的取值范圍是，故選：B10．【答案】D【詳解】對于①，當時，，令；當時，，令，所以的遞增區間是和，故①正確；對于②，當時，；當時，；當時，，又在上為遞減函數，在為遞增函數，做出函數圖象如下：所以函數有兩個零點，故②錯誤；對于③，，結合圖象可得不等式的解集為，故③正確；對于④，當時，不等式恒成立等價于即恒成立，令，，令可得，所以當時，，為遞減函數；當時，，為遞增函數，所以，即，當時，不等式恒成立，當時，，當時，由簡單復合函數的單調性可得；當時，，此時即可；綜上的最大值為1，故④正確；故選：D11．【答案】4【詳解】2和6的等差中項為.故答案為：412．【答案】3260【詳解】由題意可得公比，設等比數列為，則冰箱貼的最上一層有個宮殿；一套冰箱貼中共有.故答案為：32；60.13．【答案】12【詳解】根據平均速度的定義，平均速度，其中是位移的變化量，是時間的變化量.已知位移，當時，；當時，.則位移的變化量，時間的變化量.所以平均速度.瞬時速度是位移函數對時間的導數，先對位移函數求導，可得.那么物體在1s時的瞬時速度，就是時導函數的值，即.故答案為：；.14．【答案】【詳解】定義域為，因，則，得；得或，則在，上單調遞減，在上單調遞增，則的極大值為.故答案為：；15．【答案】①③④【詳解】判斷①，若數列為等比數列，則（為公比）.已知，若，則，即.若為常數，那么也必須為常數，設，則，即.若，為常數，代入得，化簡得，即，，.當時，，，，此時數列是常數列，也是等比數列（公比為），所以，使得數列為等比數列，①正確.判斷②，當時，.根據均值不等式，有，當且僅當，即時取等號.所以，，因為，.當時，，即，所以②錯誤.判斷③，當時，，根據均值不等式，當且僅當，即時取等號.又.當時，，；當時，，.所以數列從某一項開始單調遞減且有下界，所以，使得，③正確.判斷④，由,當且僅當時，等號成立，.所以，所以.對于，，當時，，即，④正確.所有正確結論的序號是①③④.故答案為：①③④.16．【答案】(1)(2)；最大值為【詳解】（1）設數列的公差為，則，，解得，則數列的通項公式為.（2），，因二次函數在處取最大值，故的最大值為.17．【答案】(1)的單調遞增區間為和,單調遞減區間為;(2)最大值為,最小值為0.【詳解】（1）對求導可得：，令,則,解得或；時，則，解得或，所以在上單調遞增；當時，則,即,所以在上單調遞減；因此，的單調遞增區間為和,單調遞減區間為.（2）由（1）可知和為函數的極值點;,,,,所以在上的最大值為,最小值為0.18．【答案】(1)；(2)，【詳解】（1）設數列的公比為，則，得，則；選①：時，，又因滿足上式，故，當時，，則，又滿足上述，故.選②：已知，無法確定數列.選③：可知數列是以為首項，為公差的等差數列，則（2），則，19．【答案】(1)極大值為，極小值為(2)答案見解析【詳解】（1），，令，所以當時，，為單調遞減函數；當時，，為單調遞增函數；當時，，為單調遞增函數，所以的極大值為，極小值為.（2）的零點個數即為與的交點個數，由，可得，，時；時；時，結合（1）畫出圖象如下：所以，當時，函數無零點；當或，函數有一個零點；當或時，函數有兩個零點；當時，函數有三個零點.20．【答案】(1)(2)答案見解析(3)2【詳解】（1）已知函數，則，將代入可得將代入可得，所以切點為,切線斜率,則切線方程為，整理得；（2）已知，其定義域為.，令，，當，即時，恒成立(因為二次函數開口向上)，則恒成立，所以在上單調遞增；當，即時，由，根據求根公式可得，；則在和上,單調遞增；在上，,,單調遞減；綜上，當時，的單調遞增區間為，無減區間；當時，的單調遞增區間為和,單調遞減區間為.（3）由題意知在上恒成立，即在上恒成立，等價于在上恒成立，令，則恒成立，對進行求導，，令，對其求導得，所以在上單調遞增；又，所以當時，，即,所以在上單調遞增，因為在上單調遞增，所以，所以,即實數的最大值為2.21．【答案】(1)數列，數列不是；(2)（ⅰ）答案見解析；（ⅱ）證明見解析.【詳解】（1）對于數列A，，，，即數列A滿足性質①，又，，，，，即數列A滿足性質②，所以數列A是T數列；對于數列B，，，且對任意的正整數，有，即數列B不滿足性質②，所以數列B不是T數列.（2）（ⅰ）對任意的，由性質①，，由性質②，，當時，，而為正整數，則，當時，，而為正整數，則，由（1）知，符合題意，或，此時，滿足性質②，符合題意；當時，，為正整數，若，則或或，當時，