精算師歷年真題摘選附帶答案2024選擇題

1.已知某保險產品的賠付額X服從參數為λ=3的指數分布，若設定免賠額為2，則每次賠付的期望賠付額為（）

A.$\frac{1}{3}e^{-6}$

B.$\frac{1}{3}e^{-3}$

C.$\frac{1}{3}e^{-2}$

D.$\frac{1}{3}$

答案：C

解析：指數分布的概率密度函數為$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0$，分布函數為$F(x)=1-e^{-\lambdax},x\gt0$。設賠付額為$Y$，當$X\leq2$時，$Y=0$；當$X\gt2$時，$Y=X-2$。

$E(Y)=\int_{2}^{\infty}(x-2)\lambdae^{-\lambdax}dx$，令$t=x-2$，則$x=t+2$，$dx=dt$，積分變為$\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambda(t+2)}dt=e^{-2\lambda}\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt$。

對于指數分布，$\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt=\frac{1}{\lambda}$，已知$\lambda=3$，所以$E(Y)=\frac{1}{3}e^{-2\times3}=\frac{1}{3}e^{-6}$。

2.設隨機變量$X$服從正態分布$N(2,4)$，則$P(X\gt4)$等于（）

A.$1-\varPhi(1)$

B.$\varPhi(1)$

C.$1-\varPhi(2)$

D.$\varPhi(2)$

答案：A

解析：若$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，則$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)$。已知$X\simN(2,4)$，則$\mu=2$，$\sigma=2$。

$P(X\gt4)=1-P(X\leq4)=1-P(\frac{X-2}{2}\leq\frac{4-2}{2})=1-P(Z\leq1)=1-\varPhi(1)$。

3.以下關于生存函數$S(x)$的性質，錯誤的是（）

A.$S(0)=1$

B.$S(\infty)=0$

C.$S(x)$是單調遞增函數

D.$S(x)$是右連續函數

答案：C

解析：生存函數$S(x)=P(T\gtx)$，表示個體存活到年齡$x$的概率。$S(0)$表示個體剛出生就存活的概率，顯然為1；$S(\infty)$表示個體存活到無窮大年齡的概率，為0；$S(x)$是單調遞減函數，因為隨著年齡$x$的增加，存活到該年齡的概率會越來越小；且$S(x)$是右連續函數。

4.在雙因素方差分析中，設因素A有$r$個水平，因素B有$s$個水平，每個水平組合下有$n$個觀測值。則誤差平方和的自由度為（）

A.$rs(n-1)$

B.$(r-1)(s-1)$

C.$r+s-2$

D.$rsn-1$

答案：A

解析：在雙因素方差分析中，總自由度為$N-1=rsn-1$，因素A的自由度為$r-1$，因素B的自由度為$s-1$，交互作用的自由度為$(r-1)(s-1)$。誤差平方和的自由度為總自由度減去因素A、因素B和交互作用的自由度，即$rsn-1-(r-1)-(s-1)-(r-1)(s-1)=rs(n-1)$。

5.已知某種壽險產品，在被保險人死亡年末賠付1單位保額，利率為$i$，生存函數為$S(x)$，則$(x)$的保額為1的終身壽險的躉繳純保費為（）

A.$\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}_{k|}q_{x}$

B.$\sum_{k=0}^{\infty}v^{k}_{k}p_{x}$

C.$\sum_{k=1}^{\infty}v^{k}_{k}q_{x}$

D.$\sum_{k=1}^{\infty}v^{k}_{k}p_{x}$

答案：A

解析：終身壽險躉繳純保費是在考慮利率和死亡概率的情況下，為了在被保險人死亡時支付1單位保額，在投保時應繳納的純保費。

$_{k|}q_{x}=P(x\ltT\leqx+k+1)$表示$(x)$在未來第$k$年末到第$k+1$年末之間死亡的概率，$v=\frac{1}{1+i}$是貼現因子。所以$(x)$的保額為1的終身壽險的躉繳純保費為$\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}_{k|}q_{x}$。

6.設隨機變量$X$和$Y$的聯合概率密度函數為$f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+2y)},x\gt0,y\gt0\\0,其他\end{cases}$，則$X$和$Y$的協方差$Cov(X,Y)$為（）

A.0

B.1

C.-1

D.2

答案：A

解析：首先求邊緣概率密度函數，$f_X(x)=\int_{0}^{\infty}2e^{-(x+2y)}dy=e^{-x},x\gt0$；$f_Y(y)=\int_{0}^{\infty}2e^{-(x+2y)}dx=2e^{-2y},y\gt0$。

因為$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，所以$X$和$Y$相互獨立。而相互獨立的隨機變量的協方差為0，即$Cov(X,Y)=0$。

7.已知某風險過程的理賠次數$N$服從參數為$\lambda$的泊松分布，每次理賠額$X_i$獨立同分布，且$E(X_i)=\mu$，則該風險過程的總理賠額$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的期望為（）

A.$\lambda\mu$

B.$\frac{\lambda}{\mu}$

C.$\lambda+\mu$

D.$\lambda\mu^2$

答案：A

解析：根據復合泊松分布的期望公式，若$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$，其中$N$服從參數為$\lambda$的泊松分布，$X_i$獨立同分布且$E(X_i)=\mu$，則$E(S)=E(N)E(X_i)$。因為$E(N)=\lambda$，所以$E(S)=\lambda\mu$。

8.在人壽保險中，假設死亡率服從均勻分布假設（UDD），已知$q_x=0.1$，則$_{0.5}q_x$等于（）

A.0.05

B.0.1

C.0.15

D.0.2

答案：A

解析：在均勻分布假設下，$_{t}q_{x}=tq_{x}$。已知$q_x=0.1$，$t=0.5$，所以$_{0.5}q_x=0.5\times0.1=0.05$。

9.設$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的一個樣本，總體$X$的均值為$\mu$，方差為$\sigma^{2}$，則樣本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$的方差為（）

A.$\frac{\sigma^{2}}{n}$

B.$\sigma^{2}$

C.$n\sigma^{2}$

D.$\frac{\sigma^{2}}{n^2}$

答案：A

解析：$D(\overline{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i)$，因為$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，所以$D(X_i)=\sigma^{2}$，則$D(\overline{X})=\frac{1}{n^2}\timesn\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}$。

10.已知某年金在每年年初支付1單位，共支付$n$年，利率為$i$，則該年金的現值為（）

A.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}$

B.$a_{\overline{n}|i}$

C.$(1+i)a_{\overline{n}|i}$

D.$\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$

答案：A

解析：期初年金現值用$\ddot{a}_{\overline{n}|i}$表示，它與期末年金現值$a_{\overline{n}|i}$的關系為$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=(1+i)a_{\overline{n}|i}$，$a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$，所以該年初支付的年金現值為$\ddot{a}_{\overline{n}|i}$。

11.若隨機變量$X$服從參數為$n=5,p=0.3$的二項分布，則$P(X=2)$為（）

A.$C_{5}^{2}(0.3)^{2}(0.7)^{3}$

B.$C_{5}^{2}(0.3)^{3}(0.7)^{2}$

C.$(0.3)^{2}(0.7)^{3}$

D.$(0.3)^{3}(0.7)^{2}$

答案：A

解析：二項分布的概率質量函數為$P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$，已知$n=5$，$p=0.3$，$k=2$，則$P(X=2)=C_{5}^{2}(0.3)^{2}(0.7)^{3}$。

12.在保險費率厘定中，以下不屬于純保費法的步驟的是（）

A.確定已賺保費

B.計算經驗損失

C.考慮費用和利潤附加

D.計算相對費率

答案：D

解析：純保費法的步驟包括確定已賺保費、計算經驗損失、考慮費用和利潤附加等。計算相對費率是損失率法的內容，不是純保費法的步驟。

13.設$X$是一個隨機變量，其概率密度函數為$f(x)=\begin{cases}2x,0\ltx\lt1\\0,其他\end{cases}$，則$E(X^2)$為（）

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{1}{3}$

C.$\frac{2}{3}$

D.$\frac{3}{4}$

答案：B

解析：根據期望的計算公式$E(g(X))=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx$，這里$g(x)=x^2$，$f(x)=\begin{cases}2x,0\ltx\lt1\\0,其他\end{cases}$，則$E(X^2)=\int_{0}^{1}x^2\times2xdx=\int_{0}^{1}2x^3dx=\frac{1}{2}x^4|_{0}^{1}=\frac{1}{2}$。

14.已知$(x)$的完全平均余命為$\stackrel{\circ}{e}_{x}$，則$\stackrel{\circ}{e}_{x}$與$e_{x}$（簡算平均余命）的關系是（）

A.$\stackrel{\circ}{e}_{x}\geqe_{x}$

B.$\stackrel{\circ}{e}_{x}\leqe_{x}$

C.$\stackrel{\circ}{e}_{x}=e_{x}$

D.無法確定

答案：A

解析：完全平均余命$\stackrel{\circ}{e}_{x}$考慮了死亡時間在年內的連續性，簡算平均余命$e_{x}$是基于整數年齡的假設，所以$\stackrel{\circ}{e}_{x}\geqe_{x}$。

15.在風險理論中，調節系數$R$滿足的方程是（）

A.$M(R)=1$

B.$M(R)=0$

C.$M'(R)=1$

D.$M'(R)=0$

答案：A

解析：在風險理論中，調節系數$R$是矩母函數$M(R)=E(e^{RX})$滿足方程$M(R)=1$的正根，其中$X$通常表示理賠額或總理賠額等隨機變量。

16.設隨機變量$X$和$Y$的相關系數為$\rho_{XY}=0.5$，$D(X)=1$，$D(Y)=4$，則$Cov(X,Y)$為（）

A.1

B.2

C.0.5

D.4

答案：A

解析：相關系數$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，已知$\rho_{XY}=0.5$，$D(X)=1$，$D(Y)=4$，則$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}=0.5\times\sqrt{1\times4}=1$。

17.對于定期壽險，隨著保險期限的增加，其躉繳純保費（）

A.增加

B.減少

C.不變

D.不確定

答案：A

解析：定期壽險的躉繳純保費是基于被保險人在保險期限內死亡的概率和利率計算的。隨著保險期限的增加，被保險人在保險期限內死亡的概率增大，所以躉繳純保費會增加。

18.已知某風險的損失分布函數為$F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\1-e^{-0.1x},x\geq0\end{cases}$，則該風險的損失密度函數為（）

A.$f(x)=0.1e^{-0.1x},x\geq0$

B.$f(x)=e^{-0.1x},x\geq0$

C.$f(x)=0.1e^{-x},x\geq0$

D.$f(x)=e^{-x},x\geq0$

答案：A

解析：分布函數$F(x)$的導數就是概率密度函數$f(x)$，對$F(x)=1-e^{-0.1x},x\geq0$求導，$f(x)=F^\prime(x)=0.1e^{-0.1x},x\geq0$。

19.在多元線性回歸模型$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p+\epsilon$中，$\epsilon$表示（）

A.隨機誤差項

B.回歸系數

C.自變量

D.因變量

答案：A

解析：在多元線性回歸模型中，$\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_p$是回歸系數，$X_1,X_2,\cdots,X_p$是自變量，$Y$是因變量，$\epsilon$是隨機誤差項，它反映了除自變量對因變量的線性影響之外的其他因素對因變量的影響。

20.已知某年金在每年年末支付1單位，共支付5年，利率為5%，則該年金的終值為（）

A.$s_{\overline{5}|5\%}$

B.$\ddot{s}_{\overline{5}|5\%}$

C.$a_{\overline{5}|5\%}$

D.$\ddot{a}_{\overline{5}|5\%}$

答案：A

解析：期末年金終值用$s_{\overline{n}|i}$表示，本題中每年年末支付1單位，共支付5年，利率為5%，所以年金終值為$s_{\overline{5}|5\%}$；$\ddot{s}_{\overline{n}|i}$是期初年金終值；$a_{\overline{n}|i}$是期末年金現值；$\ddot{a}_{\overline{n}|i}$是期初年金現值。

21.設隨機變量$X$服從參數為$\lambda$的泊松分布，已知$E(X^2)=6$，則$\lambda$為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：B

解析：對于泊松分布，$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$，又因為$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，已知$E(X^2)=6$，則$\lambda=E(X^2)-[E(X)]^2=6-\lambda^2$，即$\lambda^2+\lambda-6=0$，解方程得$\lambda=2$或$\lambda=-3$（舍去），所以$\lambda=2$。

22.在人壽保險中，自然保費與年齡的關系是（）

A.自然保費隨年齡增加而增加

B.自然保費隨年齡增加而減少

C.自然保費不隨年齡變化

D.自然保費與年齡關系不確定

答案：A

解析：自然保費是根據被保險人當年的死亡率計算的保費。隨著年齡的增加，死亡率上升，所以自然保費隨年齡增加而增加。

23.已知某風險的損失服從正態分布$N(100,25)$，則該風險損失大于110的概率為（）

A.$1-\varPhi(2)$

B.$\varPhi(2)$

C.$1-\varPhi(0.4)$

D.$\varPhi(0.4)$

答案：A

解析：設損失為$X$，$X\simN(100,25)$，則$\mu=100$，$\sigma=5$。$P(X\gt110)=1-P(X\leq110)=1-P(\frac{X-100}{5}\leq\frac{110-100}{5})=1-P(Z\leq2)=1-\varPhi(2)$。

24.在風險評估中，以下哪個指標可以衡量風險的分散程度（）

A.均值

B.方差

C.中位數

D.眾數

答案：B

解析：均值反映了數據的平均水平；方差是用來衡量一組數據離散程度的統計量，方差越大，說明數據越分散，風險的分散程度越大；中位數是將數據排序后位于中間位置的數值；眾數是數據中出現次數最多的數值。

25.已知$(x)$的生存函數為$S(x)=\frac{100-x}{100},0\leqx\leq100$，則$q_{30}$為（）

A.0.01

B.0.02

C.0.03

D.0.04

答案：A

解析：$q_{x}=\frac{S(x)-S(x+1)}{S(x)}$，已知$S(x)=\frac{100-x}{100}$，則$S(30)=\frac{100-30}{100}=0.7$，$S(31)=\frac{100-31}{100}=0.69$，$q_{30}=\frac{0.7-0.69}{0.7}=\frac{0.01}{0.7}\approx0.01$。

26.設隨機變量$X$和$Y$相互獨立，且$X\simN(1,4)$，$Y\simN(2,9)$，則$X+Y$服從（）

A.$N(3,13)$

B.$N(3,5)$

C.$N(1,13)$

D.$N(2,5)$

答案：A

解析：若$X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})$，$Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})$，且$X$和$Y$相互獨立，則$X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})$。已知$X\simN(1,4)$，$Y\simN(2,9)$，所以$X+Y\simN(1+2,4+9)=N(3,13)$。

27.在保險費率厘定中，以下哪種方法考慮了不同風險類別的風險特征（）

A.分類費率法

B.統一費率法

C.經驗費率法

D.追溯費率法

答案：A

解析：分類費率法是根據風險的不同特征將風險劃分為不同的類別，然后對每個類別確定不同的費率，考慮了不同風險類別的風險特征；統一費率法對所有被保險人采用相同的費率，不考慮個體差異；經驗費率法是根據被保險人過去的損失經驗來調整費率；追溯費率法是在保險期限結束后，根據實際損失情況來確定最終的保險費率。

28.已知某年金的現值為1000，利率為6%，每年年末支付100，支付期數為（）

A.$n=\frac{\ln(1-\frac{1000\times0.06}{100})}{\ln(1+0.06)}$

B.$n=\frac{\ln(\frac{1000\times0.06}{100})}{\ln(1+0.06)}$

C.$n=\frac{\ln(1+\frac{1000\times0.06}{100})}{\ln(1+0.06)}$

D.$n=\frac{\ln(\frac{100}{1000\times0.06})}{\ln(1+0.06)}$

答案：A

解析：期末年金現值公式為$a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$，已知$a_{\overline{n}|i}=1000$，$i=0.06$，$P=100$，則$1000=\frac{1-(1+0.06)^{-n}}{0.06}\times100$，化簡得$1-(1+0.06)^{-n}=\frac{1000\times0.06}{100}$，進一步得到$(1+0.06)^{-n}=1-\frac{1000\times0.06}{100}$，兩邊取對數可得$-n\ln(1+0.06)=\ln(1-\frac{1000\times0.06}{100})$，所以$n=\frac{\ln(1-\frac{1000\times0.06}{100})}{\ln(1+0.06)}$。

29.設隨機變量$X$服從參數為$n=10,p=0.2$的二項分布，則$E(X)$和$D(X)$分別為（）

A.$E(X)=2,D(X)=1.6$

B.$E(X)=2,D(X)=2$

C.$E(X)=1.6,D(X)=2$

D.$E(X)=1.6,D(X)=1.6$

答案：A

解析：對于二項分布$X\simB(n,p)$，$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。已知$n=10$，$p=0.2$，則$E(X)=10\times0.2=2$，$D(X)=10\times0.2\times(1-0.2)=1.6$。

30.在生存分析中，危險率函數$\mu(x)$與生存函數$S(x)$的關系是（）

A.$\mu(x)=-\frac{S^\prime(x)}{S(x)}$

B.$\mu(x)=\frac{S^\prime(x)}{S(x)}$

C.$\mu(x)=-S^\prime(x)$

D.$\mu(x)=S^\prime(x)$

答案：A

解析：危險率函數$\mu(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{P(x\ltT\leqx+h|T\gtx)}{h}$，通過推導可得$\mu(x)=-\frac{S^\prime(x)}{S(x)}$。

31.已知某風險過程的理賠次數$N$服從參數為$\lambda=3$的泊松分布，每次理賠額$X_i$都為2，則該風險過程的總理賠額$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的方差為（）

A.6

B.12

C.18

D.24

答案：B

解析：因為$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$，$N$服從參數為$\lambda$的泊松分布，$X_i$為常數$c$，則$E(S)=\lambdac$，$D(S)=\lambdac^{2}$。已知$\lambda=3$，$c=2$，所以$D(S)=3\times2^{2}=12$。

32.在多元線性回歸中，若要檢驗某個自變量$X_j$對因變量$Y$是否有顯著影響，應采用（）

A.$F$檢驗