第第頁2025年中考數學總復習《等腰直角三角形存在性之八線六點模型》專項測試卷（附答案）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________跟蹤練習1.如圖,∠AOB=30°,點M,N在射線OA上(都不與點O重合)，且MN=3,點P在射線OB上,若△MPN為等腰直角三角形，則OP的長為.2.已知拋物線L1(1)求拋物線L?的表達式；(2)平移拋物線L?得到新拋物線L?，使得新拋物線L?經過原點O，且與x軸的正半軸交于點C，記新拋物線L?的頂點為P,若△OCP是等腰直角三角形，求出點P的坐標.3.如圖1,已知拋物線L:y=x(1)求拋物線L的解析式；(2)若動點P在直線OE下方的拋物線上,連接PE,PO,當△OPE的面積最大時，求出點P坐標；(3)將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得到拋物線的頂點落在△OAE內(包括△OAE的邊界)，求h的取值范圍；(4)如圖2，F是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P,使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形?若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.參考答案跟蹤練習1.6或3思路探尋分三種情況討論：①如圖1，當∠MNP=90°,PN=MN=3時;②如圖2,當∠NPM=90°,PM=PN時;③如圖3,當∠NMP=90°,PM=MN=3時.解析：若△MPN為等腰直角三角形，則分三種情況討論：①如圖1,當∠MNP=90°,PN=MN=3時,∵∠AOB=30°,∴OP=2PN=6.②如圖2,當∠NPM=90°,PM=PN時,過點P作PH⊥MN于點H,則PH=1③如圖3,當∠NMP=90°,PM=MN=3時,∵∠AOB=30°,∴OP=2PM=6.綜上所述，OP的長為6或3.2.解析:(1)把A(-5,0),B(-1,0)分別代入y=?得{?25?5b+c=0,?1?b+c=0,解得∴拋物線L?的表達式為y=?(2)如圖,過點P作PQ⊥x軸于點Q,∵將拋物線L?平移得到新拋物線L?，∴兩拋物線形狀相同.設新拋物線L?的頂點為P(h，k)，則新拋物線L?的表達式為y=?∵△OCP是等腰直角三角形,PQ⊥x軸,∴PQ=OQ,即|h|=|k|,又新拋物線L?經過原點O，∴0=?0??2+k,∴∣?∣=?當h=0時，新拋物線L?的頂點是原點，O,C,P重合,不能構成△OCP,故舍去.當h=1時,k=1,此時P(1,1).當h=-1時,k=1,此時P(-1,1).∴當△OCP是等腰直角三角形時，點P的坐標為(1,1)或(-1,1).3.解析:(1)∵拋物線L:y=x∴{1+b+c=0,c=3,解得∴拋物線L的解析式為y=(2)如圖1,過點P作PG∥y軸,交OE于點G，設P∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,∴∠AOB=45°,∴△∠AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3,∴E(3,3),∴直線OE的解析式為y=x，∴G(m,m),∴PG=m?∴===?=?∵?∴當m=52時，△OPE的面積最大，此時點P坐標為(3)如圖2,由.y=x得拋物線L向上平移h個單位長度后頂點為(2,-1+h).設直線x=2交OE于點M,交AE于點N,∵直線OE的解析式為y=x，∴M(2,2),∵平移后拋物線的頂點在△OAE內(包括△OAE的邊界),∴2≤-1+h≤3,解得3≤h≤4.(4)存在.點P的坐標是5?521?亙3+521?提示：方法一：設P(m,m2-4m+3),分四種情況：①當P在對稱軸的左邊，且在x軸下方時，如圖3,過P作MN⊥y軸,交y軸于M,交l于N,∴∠OMP=∠PNF=90°,∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP=PF,∠OPF=90°,∴∠OPM+∠NPF=∠PFN+∠NPF=90°,∴∠OPM=∠PFN,∴△OMP≌△PNF,∴OM=PN,∵Pmm2?4m+3,∴?m2+4m?3=2?m,解得②如圖3，當P在對稱軸的左邊，且在x軸上方時，同理得，2?m=解得m=3+52∴點P的坐標為3?③當P在對稱軸的右邊，且在x軸下方時，如圖4,過P作MN⊥x軸于M,過F作FN⊥MN于N,同理得△OMP≌△PNF,∴PN=OM,∴?解得m=3+52或∴點P的坐標為3+④當P在對稱軸的右邊，且在x軸上方時，如圖5，同理得m解得m=5+52或m=5?52(舍),∴點P的坐標為5+521+52.方法二:如圖6,作直線DE:y=x-2,E(1,-1)是D(2,0)繞O點順時針旋轉45°并且O