命題、定理與證明第13章全等三角形華師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)思考試判斷下列句子是否正確．（1）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等；（2）三角形的內(nèi)角和是180°；（3）同位角相等；（4）平行四邊形的對(duì)角線相等；（5）菱形的對(duì)角線相互垂直．鏈接

請(qǐng)欣賞

根據(jù)已有的知識(shí)可以判斷出句子（1）、（2）、（5）是正確的，句子（3）、（4）是錯(cuò)誤的．像這樣可以判斷它是正確的或是錯(cuò)誤的句子叫做命題（proposition）．正確的命題稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題稱(chēng)為假命題．2）兩條直線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn)（）4）一個(gè)平角的度數(shù)是180度（）6）取線段AB的中點(diǎn)C；（）1）長(zhǎng)度相等的兩條線段是相等的線段嗎？（）7）畫(huà)兩條相等的線段（）1：判斷下列語(yǔ)句是不是命題？是用“√”，不是用“×表示。3）不相等的兩個(gè)角不是對(duì)頂角（）5）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角（）×√××√√√注：判斷就是命題.命題可能正確,也可能錯(cuò)誤.疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句等不是命題。命題構(gòu)成：1)在數(shù)學(xué)中，許多命題都是由題設(shè)（或條件）

和結(jié)論兩部分組成.

題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．2)命題常寫(xiě)成“如果······那么······”的形式.其中，用“如果”開(kāi)始的部分是題設(shè)，用“那么”開(kāi)始的部分是結(jié)論．例1把命題“在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊”改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，并分別指出命題的題設(shè)與結(jié)論．例題

解這個(gè)命題可以寫(xiě)成：“如果在一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.”這里的題設(shè)是“在一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等”，結(jié)論是“這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等”.鏈接思考告訴你!

數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理（axiom）．舉例：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線.2)線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短.4)平行線判定公理：同位角相等，兩直線平行.5)平行線性質(zhì)公理：兩直線平行，同位角相等.1)直線公理：3)平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.我們把這些作為不需要證明的基本事實(shí)，即作為公理．定理：

有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。舉例：2.定理：同角或等角的補(bǔ)角相等.2)余角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等.4)垂線的性質(zhì)：①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；5)平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.1)補(bǔ)角的性質(zhì)：3)對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等②垂線段最短.舉例：2.定理：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.6)平行線的判定定理：7)平行線的性質(zhì)定理：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).做一做2.

把下列命題改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，并指出它的題設(shè)和結(jié)論.（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；（2）平行四邊形的地邊相等.（3）三角形全等，對(duì)應(yīng)邊相等；（4）菱形的對(duì)角線相互垂直；（5）三個(gè)內(nèi)角都等于60°的三角形是等邊三角形.牛刀小試3.

指出下列命題中的真命題和假命題.（1）同位角相等，兩直線平行；（2）多邊形的內(nèi)角和等于180°；（3）如果兩個(gè)三角形有三個(gè)角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等（4）

兩個(gè)銳角的和等于直角；（5）

兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；練習(xí)

對(duì)于下列命題,畫(huà)出正確圖形,并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言,寫(xiě)出命題的題設(shè)和結(jié)論.(1)鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直.(2)如果兩條平行線被第三條直線所截,那么內(nèi)錯(cuò)角的平分線也互相平行.(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分.本節(jié)課你有何收獲?你還有疑問(wèn)嗎?將你的疑問(wèn)說(shuō)出來(lái)與你的同學(xué)和老師一起探討!13.2.1三角形全等的判定(SAS)（1）如果“兩邊及一角”條件中的角是兩邊的夾角，比如三角形兩邊分別為2.5cm，3.5cm，它們所夾的角為40°，你能畫(huà)出這個(gè)三角形嗎？你畫(huà)的三角形與同伴畫(huà)的一定全等嗎？3.5cm2.5cm40°ABC3.5cm2.5cm40°DEF1.畫(huà)∠MA′N(xiāo)=∠AABCMNA′2.在射線AM

，AN上分別取A′B′=AB，

A′C′=AC.B′C′3.連接B′C′，得?A′B′C′.已知△ABC是任意一個(gè)三角形，畫(huà)△A′B′C′使∠A′=∠A，A′B′=AB，A′C′=AC.畫(huà)法：邊角邊公理

有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.可以簡(jiǎn)寫(xiě)成

“邊角邊”或“SAS

”

S——邊

A——角

以2.5cm，3.5cm為三角形的兩邊，長(zhǎng)度為2.5cm的邊所對(duì)的角為40°，情況又怎樣？動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，你發(fā)現(xiàn)了什么？ABCDEF2.5cm3.5cm40°40°3.5cm2.5cm結(jié)論：兩邊及其一邊所對(duì)的角相等，兩個(gè)三角形不一定全等1.在下列圖中找出全等三角形，并把它們用符號(hào)寫(xiě)出來(lái).Ⅰ?30o8cm9cmⅥ?30o8cm8cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30o?8cm5cmⅤ30o8cm?5cmⅧ8cm5cm?30o8cm9cmⅦⅢ?30o8cm8cmⅢ練習(xí)一練一練分別找出各題中的全等三角形ABC40°

40°

DEF(1)DCAB(2)△ABC≌△EFD根據(jù)“SAS”△ADC≌△CBA(SAS)BCDEA如圖，已知AB＝AC，AD＝AE。求證：∠B＝∠CCEABAD證明：在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠B＝∠C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）FEDCBA如圖，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC與△FED全等嗎？為什么？解：全等。∵BD=EC（已知）∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED

在△ABC與△FED中∴△ABC≌△FED（SAS）AC∥FD嗎？為什么？∴∠1＝∠2（）∴∠3＝∠4（）∴AC∥FD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行4321

小明的設(shè)計(jì)方案：先在池塘旁取一個(gè)能直接到達(dá)A和B處的點(diǎn)C，連結(jié)AC并延長(zhǎng)至D點(diǎn)，使AC=DC，連結(jié)BC并延長(zhǎng)至E點(diǎn)，使BC=EC，連結(jié)CD，用米尺測(cè)出DE的長(zhǎng)，這個(gè)長(zhǎng)度就等于A，B兩點(diǎn)的距離。請(qǐng)你說(shuō)明理由。AC=DC

∠ACB=∠DCEBC=EC△ACB≌△DCE(SAS)AB=DEECBAD如圖線段AB是一個(gè)池塘的長(zhǎng)度，現(xiàn)在想測(cè)量這個(gè)池塘的長(zhǎng)度，在水上測(cè)量不方便，你有什么好的方法較方便地把池塘的長(zhǎng)度測(cè)量出來(lái)嗎？想想看。1、今天我們學(xué)習(xí)哪種方法判定兩三角形全等？答：邊角邊（SAS）2、通過(guò)這節(jié)課，判定三角形全等的條件有哪些？答：SSS、SAS、ASA、AAS3、在這四種說(shuō)明三角形全等的條件中，你發(fā)現(xiàn)了什么？答：至少有一個(gè)條件：邊相等“邊邊角”不能判定兩個(gè)三角形全等CABDO2.在下列推理中填寫(xiě)需要補(bǔ)充的條件，使結(jié)論成立：(1)如圖，在△AOB和△DOC中AO=DO(已知)______=________()BO=CO(已知)∴△AOB≌△DOC（）∠AOB∠DOC對(duì)頂角相等SAS(2).如圖，在△AEC和△ADB中，____=____(已知)∠A=∠A(公共角)_____=____(已知)∴△AEC≌△ADB（）AEBDCAEADACABSAS例1已知:如圖,AC=AD,∠CAB=∠DAB.

求證:△ACB≌△ADB.ABCD證明:△ACB≌△ADB這兩個(gè)條件夠嗎?例1已知:如圖,AC=AD,∠CAB=∠DAB.

求證:△ACB≌△ADB.ABCD它既是△ACB的一條邊,看看線段AB又是△ADB的一條邊△ACB和△ADB的公共邊例1已知:如圖,AC=AD,∠CAB=∠DAB.

求證:△ACB≌△ADB.ABCD證明:在△ACB和△ADB中

AC=AD∠CAB=∠DABAB=AB(公共邊）∴△ACB≌△ADB（SAS）證明三角形全等的步驟：1.寫(xiě)出在哪兩個(gè)三角形中證明全等。（注意把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上）.2.按邊、角、邊的順序列出三個(gè)條件，用大括號(hào)合在一起.3.寫(xiě)出結(jié)論.每步要有推理的依據(jù).3.已知：如圖，AB=AC，AD=AE.

求證：△ABE≌△ACD.證明:在△ABE和△ACD中，AB=AC，AD=AE，∠A=∠A（公共角），∴△ABE≌△ACD（SAS）.BEACD1.若AB=AC，則添加什么條件可得△ABD≌△ACD?△ABD≌△ACDAD=ADAB=ACABDC∠BAD=∠CADSAS

練習(xí)二2.已知如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE與CD交于點(diǎn)O，△ABE≌△ACDSASAB=AC∠A=∠AAD=AE要證△ABE≌△ACD需添加什么條件?BEAACDO2.已知如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE與CD交于點(diǎn)O，SASOB=OC∠BOD=∠COEOD=OE要證△BOD≌△COE需添加什么條件?BEAACDO△BOD≌△COE3.如圖，要證△ACB≌△ADB，至少選用哪些條件可ABCD△ACB≌△ADBSAS證得△ACB≌△ADBAB=AB∠CAB=∠DABAC=AD3.如圖，要證△ACB≌△ADB，至少選用哪些條件可ABCD△ACB≌△ADBSAS證得△ACB≌△ADBAB=AB∠CBA=∠DBABC=BD課堂小結(jié)1.邊角邊公理：有兩邊和它們的______對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）夾角2.邊角邊公理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程所用到的數(shù)學(xué)方法（包括畫(huà)圖、猜想、分析、歸納等.)3.邊角邊公理的應(yīng)用中所用到的數(shù)學(xué)方法:

證明線段（或角相等）證明線段（或角）所在的兩個(gè)三角形全等.轉(zhuǎn)化1.證明兩個(gè)三角形全等所需的條件應(yīng)按對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊順序書(shū)寫(xiě).2.公理中所出現(xiàn)的邊與角必須在所證明的兩個(gè)三角形中.

3.公理中涉及的角必須是兩邊的夾角.用公理證明兩個(gè)三角形全等需注意ABCDEF思考題：有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否全等。再見(jiàn)祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步13.2.2三角形全等的判定(ASA,AAS)復(fù)習(xí):在括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)適當(dāng)?shù)睦碛?/p>

1、已知AB=DC,AC=DB,那么∠A與∠D相等嗎？∵AB=DC()AC=DB()BC=CB()∴△ABC≌△DCB()∴∠A=∠DABCD已知已知公共邊SSS（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）解：在△ABC和△DCB中

2、已知AC=AD,BC=BD,那么AB是∠DAC的平分線.證明:∵AC=AD()BC=BD()AB=AB()∴△ABC≌△ABD()∴∠1=∠2全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等ABCD12（）已知已知公共邊SSS∴AB是∠DAC的平分線一、議一議

小明踢球時(shí)不慎把一塊三角形玻璃打碎為兩塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來(lái)一樣的三角形玻璃呢?如果可以,帶哪塊去合適呢?為什么?

我們知道:如果給出一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng)度,那么因此得到的三角形都是全等.如果已知一個(gè)三角形的兩角及一邊,那么有幾種可能的情況呢?

每種情況下得到的三角形都全等嗎?1、角.邊.角;

2、角.角.邊做一做1、角.邊.角;

若三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和80°它們所夾的邊為2cm,你能畫(huà)出這個(gè)三角形嗎?2cm60°80°

你畫(huà)的三角形與同伴畫(huà)的一定全等嗎?60°80°2、角.角.邊若三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和45°，且45°所對(duì)的邊為3cm，你能畫(huà)出這個(gè)三角形嗎?60°45°60°45°分析：這里的條件與1中的條件有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？你能將它轉(zhuǎn)化為1中的條件嗎？75°

兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”

兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”練一練1、如圖，已知AB=DE，∠A=∠D，,∠B=∠E，則△ABC≌△DEF的理由是：2、如圖，已知AB=DE,∠A=∠D，,∠C=∠F，則△ABC≌△DEF的理由是：ABCDEF角邊角（ASA）角角邊（AAS）3、如圖，在△ABC中,∠B=∠C，AD是∠BAC的角平分線，那么AB=AC嗎？為什么？12ABCD12ABCD證明:∵AD是∠BAC的角平分線∴∠1＝∠2（角平分線定義）在△ABD與△ACD中∠1=∠2（已證）∠B=∠C（已知）

AD=AD（公共邊）∴△ABD≌△ACD（ASA）∴AB=AC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）(1)圖中的兩個(gè)三角形全等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.全等,因?yàn)閮山呛推渲幸唤堑膶?duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.ABCD練一練:(已知)(已知)(公共邊)如圖，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD嗎？為什么？AD與BC呢？ABCD1234思考題證明：∵AB∥CD，AD∥BC（已知）∴∠1＝∠2∠3＝∠4

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴在△ABC與△CDA中∠1＝∠2

（已證）AC=AC

(公共邊)∠3＝∠4

（已證）∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB=CDBC=AD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）利用“角邊角”可知,帶B塊去，可以配到一個(gè)與原來(lái)全等的三角形玻璃。AB議一議完成下列推理過(guò)程：在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB∵BC=CB∴△ABC≌△DCB（）ASAABCDO1234

（）

公共邊∠2=∠1想一想：

如圖，O是AB的中點(diǎn)，∠A=∠B，△AOC與△BOD全等嗎？為什么？ABCDO我的思考過(guò)程如下：兩角與夾邊對(duì)應(yīng)相等，∴△AOC≌△BOD課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們經(jīng)歷了對(duì)符合兩角一邊的條件的所有三角形進(jìn)行畫(huà)圖驗(yàn)證，探索出三角形全等的另兩個(gè)定理，它們分別是：

1）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）；2）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）。再加上前面學(xué)的（SSS），證明兩個(gè)三角形全等共有三個(gè)定理，我們要學(xué)會(huì)根據(jù)題目給出的條件選用合適的定理來(lái)證明兩個(gè)三角形全等。三角形全等的判定公理2：∵∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F∴ΔABC≌DEF（ASA）ABCDEFABCDEF三角形全等的判定公理3：∵∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF∴ΔABC≌DEF

（AAS）補(bǔ)充練習(xí)：DCBA1、在△ABC中，AB=AC，AD是邊BC上的中線，證明：∠BAD=∠CAD證明：∵AD是BC邊上的中線∴BD＝CD（三角形中線的定義）在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS)∴∠BAD=∠CAB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）ABCDE12

2.如圖，已知∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等嗎？為什么？解：△ABC和△ADE全等。∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC即∠BAC＝∠DAE

在△ABC和△ADC

中∴△ABC≌△ADE（AAS）BCDEA3.如圖：已知AB＝AC，∠B＝∠C，△ABD與△ACE全等嗎？為什么？∴△ABD≌△ACE（ASA）AE＝AD，∠B＝∠C，∠B＝∠C∠A＝∠AAD＝AEAAS4.若△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝5cm,△DEF中∠D＝70°∠E＝80°，DE＝5cm，那么兩個(gè)三角形全等嗎？為什么？CBAEDF5cm5cm30030070080070013.2.3三角形全等的判定（SSS）找一找如圖，ABCEFG已知：ΔABC≌ΔEFG.找出圖中相等的邊和角要畫(huà)一個(gè)三角形與小明畫(huà)的三角形全等，需要幾個(gè)與邊或角的大小有關(guān)的條件呢？想一想做一做1.只給一個(gè)條件(一條邊或一個(gè)角)畫(huà)三角形時(shí)，大家畫(huà)出的三角形一定全等嗎？有一條邊對(duì)應(yīng)相等的三角形不一定全等有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形不一定全等2.給出兩個(gè)條件畫(huà)三角形時(shí)，有幾種可能的情況？每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按照下面的條件做一做。做一做(1)三角形的一個(gè)內(nèi)角為30°，一條邊為3cm；30o3cm不一定全等2.給出兩個(gè)條件畫(huà)三角形時(shí)，有幾種可能的情況？每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按照下面的條件做一做。做一做(2)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為30°和50°；50o50o30o不一定全等2.給出兩個(gè)條件畫(huà)三角形時(shí)，有幾種可能的情況？每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按照下面的條件做一做。做一做(3)三角形的兩條邊分別為4cm，6cm.4cm4cm6cm4cm不一定全等2.給出兩個(gè)條件畫(huà)三角形時(shí)，有幾種可能的情況？每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按照下面的條件做一做。做一做1.只給一個(gè)條件(一條邊或一個(gè)角)畫(huà)三角形時(shí)，大家畫(huà)出的三角形一定全等嗎？不一定全等(3)三角形的兩條邊分別為4cm，6cm.(1)三角形的一個(gè)內(nèi)角為30°，一條邊為3cm；(2)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為30°和50°；不一定全等議一議如果給出三個(gè)條件畫(huà)三角形，你能說(shuō)出有哪幾種可能的情況？1.三條邊2.三個(gè)角

3.兩邊一角

4.兩角一邊做一做(1)已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為40°，60°和80°，你能畫(huà)出這個(gè)三角形嗎？把你畫(huà)的三角形與同伴畫(huà)出的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎？(2)已知一個(gè)三角形的三條邊分別為4cm，5cm和7cm，你能畫(huà)出這個(gè)三角形嗎？把你畫(huà)的三角形與同伴畫(huà)出的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎？三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”。三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”。用法ABCDEF在△ABC和△DEF中∵AB=DEBC=EFAC=DF∴△ABC≌△DEF動(dòng)手做一做準(zhǔn)備若干長(zhǎng)度適中的小木條，用其中三根木條釘成一個(gè)三角形的框架，它的形狀和大小是固定的嗎？如果用四根小木條釘成的框架形狀和大小固定嗎？三角形的框架，它的大小和形狀是固定不變的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。你能找到圖中的三角形嗎？你能說(shuō)出為什么這些地方是三角形嗎?課內(nèi)鏈接2.已知：如圖AB=CD,AD=BC，E，F(xiàn)是BD上兩點(diǎn)，且AE=CF,DE=BF,那么圖中共有幾對(duì)全等的三角形？說(shuō)明理由.ABCDEF分析：可先通過(guò)觀察，初步判斷有哪幾對(duì)三角形全等，然后再根據(jù)條件判斷。3.已知：如圖AB=CD,AD=BC.則∠A與∠C相等嗎？為什么？課內(nèi)鏈接ABCD分析：要說(shuō)明∠A與∠C相等，可設(shè)法使它們?cè)趦蓚€(gè)可以全等的三角形中，那么，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,為此變四邊形為兩個(gè)三角形。解：∠A=∠C.連接BD.因?yàn)锳B=CD,AD=CB,BD=DB所以ΔABD≌ΔCDB所以∠A=∠C.這節(jié)課你學(xué)到了什么？1.三角形全等的條件：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“邊邊邊”或“SSS”)2.三角形具有穩(wěn)定性。如圖，儀器ABCD可以用來(lái)平分一個(gè)角，其中AB=AD，BC=DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們落在角的兩邊上，沿AC畫(huà)一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線。你能說(shuō)明其中的道理嗎？A(R)BDCEQP小明的思考過(guò)程如下：AB=ADBC=DCAC=ACΔABC≌ΔADC∠QRE=∠PRE.你能說(shuō)出每一步的理由嗎？13.2.4三角形全等的判定(HL)復(fù)習(xí)提問(wèn)填一填1、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊

---------------，對(duì)應(yīng)角---------------------相等相等2、判定三角形全等的方法有：---------SAS、SSS、ASA、AAS直角邊直角邊斜邊直角三角形的兩個(gè)銳角互余．3、認(rèn)識(shí)直角三角形Rt△ABC回顧與思考1、判定兩個(gè)三角形全等方法，

，

，

，

．SSSASAAASSAS3、如圖，ABBE于C，DEBE于E，⊥

⊥

2、如圖，RtABC中，直角邊

、

，斜邊

．ABCBCACAB（1）若A=D，AB=DE，則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡(jiǎn)寫(xiě)法）△

△

ABCDEF全等ASAABCDEF（2）若A=D，BC=EF，則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡(jiǎn)寫(xiě)法）△

△

AAS全等（3）若AB=DE，BC=EF，則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡(jiǎn)寫(xiě)法）△

△

全等SAS（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡(jiǎn)寫(xiě)法）△

△

全等SSS創(chuàng)設(shè)情境

舞臺(tái)背景的形狀是兩個(gè)直角三角形，工作人員想知道兩個(gè)直角三角形是否全等，但每個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住無(wú)法測(cè)量．(1)你能幫他想個(gè)辦法嗎？SASASAAAS

工作人員測(cè)量了每個(gè)三角形沒(méi)有被遮住的直角邊和斜邊,發(fā)現(xiàn)它們分別對(duì)應(yīng)相等．于是，他就肯定“兩個(gè)直角三角形是全等的”．你相信的結(jié)論嗎？（2）如果他只帶一個(gè)卷尺，能完成這個(gè)任務(wù)嗎?

讓我們來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論．斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等→兩個(gè)直角三角形全等做一做已知線段a,c(a<c)和一個(gè)直角α，利用尺規(guī)作一個(gè)RtΔABC，∠C=∠α,AB=c,CB=a.按照步驟做一做：（1）作∠MCN=∠α=90°;（2)在射線CM上截取線段CB=a;（3)以B為圓心,c為半徑畫(huà)弧,交射線CN于點(diǎn)A;（4）連接AB.BA探索交流(1)△ABC就是所求作的三角形嗎？（2）剪下這個(gè)三角形，和其他同學(xué)所作的三角形進(jìn)行比較，它們能重合嗎？(3)交流之后，你發(fā)現(xiàn)了什么？想一想，在畫(huà)圖時(shí)是根據(jù)什么條件？它們重合的條件是什么？獲得新知斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.簡(jiǎn)寫(xiě)：“斜邊、直角邊”或“HL”∠C=∠C′=90°AB=A′B′AC=A′C′（BC=B′C′）Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)直角三角形全等的判定方法想一想到現(xiàn)在為止，你能夠用幾種方法說(shuō)明兩個(gè)直角三角形全等？答：有五種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL知識(shí)運(yùn)用例:已知：AB⊥AC，CD⊥AC，AD＝CB，問(wèn)△ABC與△CDA全等嗎?為什么？∵AD＝CB（已知）AC=CA（公共邊）∴Rt△ABD≌Rt△CDA

(HL)

12∵AB⊥AC，CD⊥AC∴∠1=∠2=90°答：△ABC≌△CDA議一議

如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，兩個(gè)滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么關(guān)系？解：∵BC=EF,AC=DF.(已知）∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等).又∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.∵∠A=∠D=90°（已知）隨堂練習(xí)

1.如圖，兩根長(zhǎng)度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個(gè)木樁上，兩個(gè)木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．∵AB=AC（已知）AD=AD（公共邊）∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)∴BD=CD解：BD=CD∵∠ADB=∠ADC=90°2如圖，AC=AD，∠C，∠D是直角，將上述條件標(biāo)注在圖中，你能說(shuō)明BC與BD相等嗎？解：BC=BD∵AB=AB(公共邊）AC=AD.（已知）∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL).∴BC=BD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等).∵∠C=∠D=90°(已知）

歸納小結(jié)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能獲得哪些收獲？斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.簡(jiǎn)寫(xiě)：HL直角三角形全等的判定方法探索問(wèn)題的方法

如圖，∠ACB=∠BDA=90°．要說(shuō)明△ACB≌△BDA,需要再補(bǔ)充幾個(gè)條件，應(yīng)補(bǔ)充什么條件？把它們分別寫(xiě)出來(lái)，有幾種不同的方法就寫(xiě)幾種．活動(dòng)和探索13.3等腰三角形

探究如圖12.3-1拿出一張長(zhǎng)方形的紙按圖中虛線對(duì)折，并剪去陰影部分，再把它打開(kāi)，得到的三角形ABC有什么特點(diǎn)？腰—相等的兩邊底—除腰外的一邊頂角—兩腰的夾角底角—腰與底的夾角有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。(如AB=AC，△ABC為等腰三角形)概念：想一想1、上面剪出的等腰三角形是抽對(duì)稱(chēng)圖形嗎？2、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角。3、由這些重合的線段和角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的哪些性質(zhì)呢？說(shuō)一說(shuō)你的猜想。性質(zhì)1：

等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)為“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線相互重合。（簡(jiǎn)稱(chēng)為”三線合一”）

我們可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì):如圖在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD求△ABC各角的度數(shù).

解：∵AB=AC，BD=BC=AD∴∠ABC=∠C=∠BDC∠A=∠ABD設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180

解得x=36

在△ABC中，∠A=36,∠ABC=∠C=72例題講解練一練1、等腰三角形的一個(gè)角是40度，它的另外兩個(gè)角的度數(shù)是多少呢？2、等腰三角形的一個(gè)角是100度，它的另外兩個(gè)角的度數(shù)是多少呢？3、等腰三角形的底邊長(zhǎng)為7cm，一腰長(zhǎng)的中線把周長(zhǎng)分為兩部分，其差為3cm，則等腰三角形的腰長(zhǎng)為多少？說(shuō)一說(shuō)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們都有哪些收獲？概念：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，頂角平分線（或底邊中線或底邊上的高線）所在直線是它的對(duì)稱(chēng)軸.1.等腰三角形2.能根據(jù)等腰三角形的概念與性質(zhì)求等腰三角形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)及其知道一角求其它兩角小結(jié)再見(jiàn)基本作圖在幾何里,把限定用直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖,稱(chēng)為尺規(guī)作圖.最基本,最常用的尺規(guī)作圖,通常稱(chēng)基本作圖.其中,直尺是沒(méi)有刻度的;一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是由基本作圖組成的.下面介紹兩種基本作圖:13.4尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段

1、作一條線段等于已知線段

利用直尺和圓規(guī)可以作出很多幾何圖形，你想知道我們是如何用圓規(guī)和直尺作一條線段等于已知線段的嗎？已知：線段AB．求作：線段A’B’，使A’B’＝AB．AB作法與示范：(1)

作射線A’C’

；A’C’(2)

以點(diǎn)A’為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線A’C’于點(diǎn)B’，B’A’A’B’

就是所求作的線段。示范作法已知：∠AOB。BOA求作：

∠A’O’B’

使∠A’O’B’=∠AOB。O’A’(2)

以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑交OA于點(diǎn)C，(3)

以點(diǎn)O’為圓心，畫(huà)弧，CD同樣(OC)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，C’(4)

以點(diǎn)C’為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，D’(5)

過(guò)點(diǎn)D’作射線O’B’.B’A’O’B’∠A’O’B’就是所求的角.作法示范(1)作射線O’A’;交OB于點(diǎn)D;交O’A’于點(diǎn)C’;交前面的弧于點(diǎn)D’

，（2）作一個(gè)角等于已知角思考：探究與合作你們會(huì)做一條線段等于所給線段的和或差嗎？ab

你能畫(huà)出紅球在第一次反彈后的運(yùn)動(dòng)路線嗎？

用一用數(shù)學(xué)小知識(shí)打臺(tái)球時(shí)，球的反射角總是等于入射角.入射角反射角O1、已知：∠AOB。利用尺規(guī)作：

∠A’O’B’

使∠A’O’B’=2∠AOB.BOA獨(dú)立思考、合作交流；口述作法、保留作圖痕跡。作法一:CA’B’∠A’O’B’為所求.BOA法二:CDC’EB’O’A∠A’O’B’為所求.已知，求作∠ABC，使∠ABC

＝＋尺規(guī)作圖：ba獨(dú)立思考、合作交流；口述作法、保留作圖痕跡。用尺規(guī)作優(yōu)美的圖案試一試

右面的“鄒菊?qǐng)D案”漂亮嗎？你想自己畫(huà)出它來(lái)嗎？那就讓我們從最初的步驟開(kāi)始吧！4、繼續(xù)作下去，以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓O；1、以圓O上任意一點(diǎn)為圓心，r為半徑作圓，與圓O交于兩點(diǎn)；2、分別以?xún)蓚€(gè)交點(diǎn)為圓心，

r為半徑作圓；3、在適當(dāng)?shù)膮^(qū)域涂上顏色，你作出美麗的“鄒菊?qǐng)D案”嗎？本節(jié)課你學(xué)到了什么?

畫(huà)一個(gè)角等于已知角畫(huà)一條線段等于已知線段。

畫(huà)角、線段的倍數(shù)、和、差。畫(huà)法的語(yǔ)言：（1）畫(huà)射線××（2）以×點(diǎn)為圓心，以××長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)×

（3）∠×就是所求的角還要注意：1.過(guò)點(diǎn)x、點(diǎn)x作直線；或作直線xx，射線xx.2.連結(jié)兩點(diǎn)x、x；或連結(jié)xx;3.在xx上截取xx=xx;4.以點(diǎn)x為圓心，xx為半徑作圓（弧）；(交xx于x點(diǎn)；)5.分別以點(diǎn)x，點(diǎn)x為圓心，以xx為半徑作弧，兩弧相交于x點(diǎn).13.5逆命題與逆定理回顧1、命題的概念：可以判斷正確或錯(cuò)誤的句子叫做命題。2、命題都有兩部分：題設(shè)和結(jié)論判斷下列命題真假并說(shuō)出下列命題的題設(shè)和結(jié)論：1、平行四邊形的對(duì)角線互相平分2、如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角3、等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊駛向勝利的彼岸

我能行1觀察上面三組命題,你發(fā)現(xiàn)了什么?1、兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等；3、如果小明患了肺炎,那么他一定會(huì)發(fā)燒；4、如果小明發(fā)燒,那么他一定患了肺炎；2、內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行；5、平行四邊形的對(duì)角線互相平分；6、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；說(shuō)出下列命題的題設(shè)和結(jié)論：

歸納1駛向勝利的彼岸概括：一般來(lái)說(shuō)，在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫