第2講有理數四則運算有理數的加減乘除四則運算是初中數學六年級下學期第一章第二節的內容．本講會講解有理數加減乘除的基本法則，并進行相關的練習，為后續的學習打好基礎．模塊一：有理數的加法知識精講有理數加法法則（1）同號兩數相加：取原來的符號，并把絕對值相加．（2）異號兩數相加：絕對值相等時和為零；絕對值不相等時，其和的絕對值為較大的絕對值減去較小的絕對值所得的差，其和的符號取絕對值較大的加數的符號．（3）一個數同零相加：仍得這個數．有理數加法的運算律交換律：；結合律：．例題解析例1．例2．例3．計算：（1）（2）例4.如果兩個數的和是正數，那么（）A．這兩個數都是正數B．這兩個數一正一負C．這兩個數中至少有一個是正數D．以上說法都不對例5.計算：（1）；（2）；（3）；（4）．例6.用簡便方法計算：（1）；（2）；（3）．例7.已知兩個數和，試求下列各種情況的值：（1）求這兩個數的相反數的和； （2）求這兩個數的和的相反數；（3）求這兩個數和的絕對值； （4）求這兩個數絕對值的和．例8．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得醫用口罩銷量大幅增加，某口罩加工廠為滿足市場需求計劃每天生產5000個，由于各種原因實際每天生產量與計劃相比有出入，下表是二月份某一周的生產情況：（超產為正，減產為負，單位：個）星期一二三四五六日增減+100﹣200+400﹣100﹣100+350+150（1）這一周共生產多少個口罩？（2）產量最多的一天比產量最少的一天多生產多少個？（3）該口罩加工廠實行計件工資制，每生產一個口罩0.15元，本周口罩加工廠應支付工人的工資總額是多少元？例9.（2021·全國七年級）足球比賽中，根據場上攻守形勢，守門員會在門前來回跑動，如果乙球門線為基準，向前跑記作正數，返回則記作負數，一段時間內，某守門員的跑動情況記錄如下（單位：m）：＋10，﹣2，＋5，＋12，﹣6，﹣9，＋4，﹣14．（假定開始計時時，守門員正好在球門線上）（1）守門員最后是否回到球門線上？（2）守門員離開球門線的最遠距離達多少米？（3）如果守門員離開球門線的距離超過10m（不包括10m），則對方球員挑射極可能造成破門．問：在這一時間段內，對方球員有幾次挑射破門的機會？簡述理由．例10.“地攤經濟”刺激了經濟的復蘇．今年國慶周期間，小王用2000元購進了一批商品，在夜市擺地攤售賣8天，全部銷售完畢．每天的收入以300元為標準，超過的錢數記作正數，不足的錢數記作負數，8天的收入記錄如下：+62，+40，﹣60，﹣38，0，+34，+8，﹣54．（單位：元）（1）收入最多的一天比最少的一天多多少錢？（2）小王這8天的地攤收入是盈利還是虧損？盈利或虧損多少錢？例11．閱讀下面文字：對于()＋()＋17＋()，可以按如下方法計算：原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()]＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()]＝0＋()＝－1.上面這種方法叫拆項法．仿照上面的方法，請你計算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.模塊二：有理數的減法知識精講有理數減法法則減去一個數，等于加上這個數的相反數：．例題解析例1．計算：（﹣20）＋（＋3）﹣（﹣5）﹣（＋7）例2．計算：6﹣（﹣8）+（﹣9）．例3．計算題：（1）；（2）；（3）；（4）．4．計算：（1）（2）例5．計算：（1）（﹣13）+（﹣7）﹣（+20）﹣（﹣40）+（+16）（2）（+）+（﹣）+（+1）+（﹣）（3）（+1.9）+3.6﹣（﹣10.1）+1.4（4）1+2﹣3+﹣4.25例6.下列說法正確的是（）A．兩個數之差一定小于被減數B．減去一個負數，差一定大于被減數C．減去一個正數，差不一定小于被減數D．0減去任何數，差都是負數例7.計算：（1）；（2）．例8.計算：（1）；（2）．例9.已知，，，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．例10.計算：．例11.分別求出數軸上兩點間的距離：（1）表示數的點與表示數的點；（2）表示數的點與表示數的點；（3）表示數9的點與表示數的點．例12.黃浦江的水位第一天上升6.9厘米，第二天下降5.7毫米，第三天又下降了0.9分米，第四天上升了厘米，問第四天黃浦江的水位比剛開始時的水位高多少米？例13．在學習了為數軸上表示數a的點到原點的距離之后，愛思考和探究的小明想知道數軸上分別表示數a和數b的兩個點A，B之間的距離該如何表示．小明釆取了數學上常用的從特殊到一般的歸納法，請聰明的你和小明一起完成如下問題：（1）選取特例①當時，A，B之間的距離；②當時，A，B之間的距離_________；③當時，A，B之間的距離_________；（2）歸納總結數軸上分別表示有理數a，b的兩點A，B之間的距離表示為________；（3）應用請結合數軸，直接寫出的最小值．例14．我們知道，在數軸上，表示數到原點的距離．進一步地，點，在數軸上分別表示有理數，，那么，兩點之間的距離就表示為；反過來，也就表示，兩點之間的距離．下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決問題．例．若，那么為：①，即．文字語言：數軸上什么數到的距離等于．②圖形語言：③答案：為和．請你模仿上題的①②③，完成下列各題：（1）若，求的值．①文字語言：②圖形語言：③答案：（2）時，求的值：①文字語言：②圖形語言：③答案：（3），求的取值范圍：①文字語言：②圖形語言：③答案：（4）求的最小值．①文字語言：②圖形語言：③答案：模塊三：有理數的乘法知識精講兩數相乘的符號法則正乘正得正，正乘負得負，負乘正得負，負乘負得正．（同號得正，異號得負）2、有理數乘法法則兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．任何數與零相乘，都得零．3、有理數相乘的符號法則幾個不等于零的因數相乘，積的符號由負因數的個數決定：當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正；幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．例題解析例1.計算：______， ______，______， ______，_______， ______．例2.如果，，那么ab____0；如果，，那么ab____0．例3.五個有理數的積是負數，則正因數的個數為（）A．2個 B．4個 C．1個、3個或5個 D．0個、2個或4個例4.如果，，那么關于這兩個數的說法正確的是（）A．符號相反 B．符號相反且絕對值相等C．符號相反且負數的絕對值大 D．符號相反且正數的絕對值大例5.如果，，那么關于這兩個數的說法正確的是（）A．都是正數 B．都是負數C．符號相反且負數的絕對值大 D．符號相反且正數的絕對值大例6.計算：（1）； （2）．例7.計算：（1）； （2）；（3）．例8.計算：（1）； （2）；（3）； （4）．例9.在數軸上表示a、b、c三個數的點的位置如圖所示，化簡式子：．例10.已知，，，則______．例11．學習了有理數的運算后，薛老師給同學們出了這樣一道題目：計算：，看誰算得又對又快兩名同學給出的解法如下：小強：原式小莉：原式（1）對于以上兩種解法，你認為誰的解法最好？理由是什么？對你有何啟發？（2）此題還有其他解法嗎？如果有，用另外的方法把它解出來？模塊四：有理數的除法知識精講有理數除法法則（1）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；（2）零除以任何一個不為零的數，都得零．（3）甲數除以乙數（零除外）等于甲數乘以乙數的倒數，即（）．例題解析例1.計算：______，______，______．例2.填空：（1）如果，，那么____0；（2）如果，，那么____0；（3）如果a=0，，那么____0．例3.下列說法錯誤的是（）A．任何有理數都有倒數 B．互為倒數的兩個數積為1C．互為倒數的兩個數同號 D．1和互為負倒數例4.計算：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．例5.若，則與的大小關系為___________．例6.若a、b為倒數，c、d為相反數，=______．例7.計算：（1）；（2）；（3）．例8.已知有理數a、b、c滿足，求的值．例9.若，則有多少個不同的值？說明理由．例10．閱讀的計算方法．解：設原式的商為，因為，所以，所以商．請按以上方法計算．隨堂檢測對于任意兩個有理數a、b，下列各項成立的是（）A．若，則 B．若，則，C．若，則 D．若，則若兩個有理數的差是正數，則下列說法正確的是（）A．被減數是正數，減數是負數 B．被減數和減數都是正數C．被減數大于減數 D．被減數和減數不能同為負數如果是負數，那么關于m的說法中正確的是（