2025年上海市松江區中考數學二模試卷一、選擇題（本大題共6題）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】1．下列單項式中，與是同類項的是A． B． C． D．2．某商店在一周內賣出某品牌運動鞋的尺寸記錄如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再購進一批同樣品牌的運動鞋，他應該關注這組數據的A．平均數 B．眾數 C．中位數 D．方差3．某商場對一款無人機進行降價促銷，其售價由最初的400元經過兩次降價后變為225元，且兩次降價的百分率相同．設每次降價的百分率為，可列方程為A． B． C． D．4．下列命題中真命題是A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形5．已知的半徑是5，的半徑是6．圓心在上．那么兩圓的公共弦長是A． B． C．10 D．126．我們把一個等腰三角形的腰與底邊的比值叫做這個等腰三角形的“特征值”．設等腰△的特征值是，下列命題中假命題是A．如果，那么△是直角三角形 B．如果，那么△有一內角為 C．如果△是直角三角形，那么 D．如果△有一內角為，那么二、填空題（本大題共12題）【請將結果直接填入答題紙的相應位置上】7．計算：．8．因式分解：．9．方程組的解是．10．如果關于的一元二次方程有實數根，那么的取值范圍是．11．如果一次函數的圖象經過點，且與軸的交點在原點右側，那么函數值隨的增大而（填“增大”或“減小”．12．去年我國成為全球第一大汽車出口國，全年共出口汽車約輛，平均每月約出口汽車輛．（用科學記數法表示）13．一般情況下路口會設置紅色、黃色、綠色三種顏色的信號燈．已知某路口三種信號燈的時長依次是：紅燈40秒、黃燈4秒、綠燈36秒，一輛汽車行駛到該路口遇到綠燈的概率是．14．已知、是拋物線上不同的兩點，如果，那么．15．如圖，在△中，、分別在、上，，．設，那么向量可用表示為．16．某學習小組想了解本校學生課外閱讀時間的情況，在全校隨機調查了部分學生，對他們一周的課外閱讀時長進行統計、整理，并繪制成兩幅不完整的統計圖表．編碼課外閱讀時長（分鐘）人數1025如果該校有1200名學生，那么該校一周課外閱讀時長超過240分鐘的學生大約有人．17．如圖，正八邊形的對角線、交于點，那么的值為．18．如圖，矩形中，，，點在邊上，將△沿直線翻折，點落在點處，聯結、．如果△是以為腰的等腰三角形，那么的長是．三、解答題（本大題共7題）19．計算：．20．解不等式組：．21．如圖，在△中，，，點在邊上，以為圓心，為半徑的圓與邊交于點，與邊相切于點．（1）當時，求的半徑長；（2）求的值．22．圖1是某商場入口處擺放的“樓層導購圖”展板．圖2是其橫斷面的示意圖．信息1：經過測量得到：，，，．（底座的高度忽略不計）信息為顧客看展板時眼睛所在的位置，，垂足在的延長線上，當視線與展板垂直時，稱點為“最佳觀察點”．任務（1）：求展板最低點到地面的距離；任務（2）：如果，當點為“最佳觀測點”時，求點到的距離．（參考數據：23．已知：如圖，四邊形是菱形，是對角線上一點，聯結、并延長，分別與邊、交于點、．（1）求證：；（2）如果，求證：．24．在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于、兩點，（點在點的右側）與軸正半軸交于點，頂點為．（1）求的長；（2）當時，求拋物線的表達式；（3）將該拋物線平移，新拋物線的頂點落在軸上，與原拋物線交于點，如果點與點關于原點對稱，且，求△的面積．25．已知是半圓的直徑，是弦延長線上一點．（1）聯結與半圓交于點．①如圖1，如果點是弧的中點，且，求的長；②如圖2，如果點是弧的中點，且，求的值．（2）設是弦的中點，如果以點為圓心、為半徑的圓與相切，以點為圓心、為半徑的圓與直線相切，求的值．

參考答案一．選擇題（共6小題）題號123456答案C．BCABD一、選擇題（本大題共6題）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】1．下列單項式中，與是同類項的是A． B． C． D．解：、相同字母的指數不相同，不是同類項；、相同字母的指數不相同，不是同類項；、符合同類項的定義，是同類項；、相同字母的指數不相同，不是同類項；故選：．2．某商店在一周內賣出某品牌運動鞋的尺寸記錄如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再購進一批同樣品牌的運動鞋，他應該關注這組數據的A．平均數 B．眾數 C．中位數 D．方差解：如果商店老板要再購進一批同樣品牌的運動鞋，他應該關注這組數據的眾數．故選：．3．某商場對一款無人機進行降價促銷，其售價由最初的400元經過兩次降價后變為225元，且兩次降價的百分率相同．設每次降價的百分率為，可列方程為A． B． C． D．解：由題意可得，，故選：．4．下列命題中真命題是A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形解：．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，是真命題，故本選項符合題意；．對角線相等的平行四邊形是矩形，原命題是假命題，故本選項不符合題意；．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，原命題是假命題，故本選項不符合題意；．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，原命題是假命題，故本選項不符合題意；故選：．5．已知的半徑是5，的半徑是6．圓心在上．那么兩圓的公共弦長是A． B． C．10 D．12解：設和相交于點，，連接，，，，，設與相交于點，如圖所示：設，的半徑是5，的半徑是6．圓心在上，，，，，，，在△和△中，由勾股定理得：，，解得：，，，．故選：．6．我們把一個等腰三角形的腰與底邊的比值叫做這個等腰三角形的“特征值”．設等腰△的特征值是，下列命題中假命題是A．如果，那么△是直角三角形 B．如果，那么△有一內角為 C．如果△是直角三角形，那么 D．如果△有一內角為，那么解：選項：當時，可設腰長為，則底長為2，，△是直角三角形是直角三角形，故選項正確，不符合題意；選項：如圖，過作于點，，設，則，，且，，，，故選項正確，不符合題意；選項：如圖，，，，，故選項正確，不符合題意；選項：當這個角底角為時，由選項可知，此時，當頂角為時，如圖，，，過作于點，在△中，設，則，，，在△中，，，故選項錯誤，符合題意；故選：．二、填空題（本大題共12題）【請將結果直接填入答題紙的相應位置上】7．計算：12．解：原式，故答案為：12．8．因式分解：．解：．故答案為：．9．方程組的解是．解：因為，，所以，即，得，此時得到新的方程組：，①②得：，，將代入①得：，所以方程組的解是：．故答案為：．10．如果關于的一元二次方程有實數根，那么的取值范圍是．解：關于的一元二次方程有實數根，△，解得，故答案為：．11．如果一次函數的圖象經過點，且與軸的交點在原點右側，那么函數值隨的增大而減小（填“增大”或“減小”．解：一次函數的圖象經過點，且與軸的交點在原點右側，一次函數的圖象不經過第三象限，該函數圖象經過第一、二、四象限，函數值隨自變量的值增大而減小，故答案為：減小．12．去年我國成為全球第一大汽車出口國，全年共出口汽車約輛，平均每月約出口汽車輛．（用科學記數法表示）解：平均每月約出口汽車：（輛．故答案為：．13．一般情況下路口會設置紅色、黃色、綠色三種顏色的信號燈．已知某路口三種信號燈的時長依次是：紅燈40秒、黃燈4秒、綠燈36秒，一輛汽車行駛到該路口遇到綠燈的概率是0.45．解：一輛汽車行駛到該路口遇到綠燈的概率是：．故答案為：0.45．14．已知、是拋物線上不同的兩點，如果，那么．解：拋物線的，，對稱軸為：，、是拋物線上不同的兩點，且，這意味著、兩點的縱坐標相等，，解得．15．如圖，在△中，、分別在、上，，．設，那么向量可用表示為．解：，，，△△，，．，，，．故答案為：．16．某學習小組想了解本校學生課外閱讀時間的情況，在全校隨機調查了部分學生，對他們一周的課外閱讀時長進行統計、整理，并繪制成兩幅不完整的統計圖表．編碼課外閱讀時長（分鐘）人數1025如果該校有1200名學生，那么該校一周課外閱讀時長超過240分鐘的學生大約有360人．解：由題意得，樣本容量為：，故，（人，即該校一周課外閱讀時長超過240分鐘的學生大約有360人．故答案為：360．17．如圖，正八邊形的對角線、交于點，那么的值為．解：如圖，設正八邊形的中心為點，連接、、，，，、、三點在同一條直線上，點在上，連接、，則，，，，，，，△△，，故答案為：．18．如圖，矩形中，，，點在邊上，將△沿直線翻折，點落在點處，聯結、．如果△是以為腰的等腰三角形，那么的長是或．解：如圖1，△是以為腰的等腰三角形，且，四邊形是矩形，，，，，將△沿直線翻折，點落在點處，，，過點作于點，交于點，則，，四邊形是矩形，，，，，，，且，，，解得；如圖2，△是以為腰的等腰三角形，且，連接，過點作于點，交于點，則，，四邊形是矩形，，，，垂直平分，，，△是等邊三角形，，，，，，綜上所述，的長是或，故答案為：或．三、解答題（本大題共7題）19．計算：．解：原式．20．解不等式組：．解：，由①得，，由②得，，故不等式組的解集為：．21．如圖，在△中，，，點在邊上，以為圓心，為半徑的圓與邊交于點，與邊相切于點．（1）當時，求的半徑長；（2）求的值．解：（1）與邊相切于點，于點，，，，，，，，的半徑長為4．（2）連接、，則，，，，△是等邊三角形，，，△是等邊三角形，，，，，，，的值為．22．圖1是某商場入口處擺放的“樓層導購圖”展板．圖2是其橫斷面的示意圖．信息1：經過測量得到：，，，．（底座的高度忽略不計）信息為顧客看展板時眼睛所在的位置，，垂足在的延長線上，當視線與展板垂直時，稱點為“最佳觀察點”．任務（1）：求展板最低點到地面的距離；任務（2）：如果，當點為“最佳觀測點”時，求點到的距離．（參考數據：解：（1）如圖2，過作于，過點作于，作于，在△中，，，，，，又，，，，在△中，，，答：展板最低點到地面的距離為；（2）如圖，過點作于點，作于點，由（1）知，，，，，，，，設，，，，，，在△中，，，，答：當點為“最佳觀測點”時，求點到的距離為．23．已知：如圖，四邊形是菱形，是對角線上一點，聯結、并延長，分別與邊、交于點、．（1）求證：；（2）如果，求證：．【解答】證明：（1）四邊形是菱形，，垂直平分，，點在上，，，在△和△中，，△△，．（2）設交于點，則，，，，，，，，，，，，，，，△△，，，．24．在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于、兩點，（點在點的右側）與軸正半軸交于點，頂點為．（1）求的長；（2）當時，求拋物線的表達式；（3）將該拋物線平移，新拋物線的頂點落在軸上，與原拋物線交于點，如果點與點關于原點對稱，且，求△的面積．解：（1）由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線，當時，，則點，由點、的坐標得，，則；（2）點、的坐標得，直線的表達式為：，，則直線的表達式為：，則點，將點的坐標代入拋物線表達式得：，則（舍去）或，則拋物線的表達式為：；（3）點與點關于原點對稱，則點，則新拋物線的表達式為：，聯立兩個拋物線的表達式得：，解得：，則點，，由點、的坐標得，該直線表達式函數值中的值為：，而直線的表達式為：，，則，則，則△的面積．25．已知是半圓的直徑，是弦延長線上一點．（1）聯結與半圓交于點．①如圖1，如果點是弧的中點，且，求的長；②如圖2，如果點是弧的中點，且，求的值．（2）設是弦的中點，如果