高級中學名校試題PAGEPAGE1山西省太原市某校2024-2025學年高一下學期開學考試數學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，，∴.故選：B.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.已知函數的零點在區間內，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為，，所以函數在區間內有零點，所以.故選：C.4.我國著名數學家華羅庚先生曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”.在數學的學習和研究過程中，常用函數圖像來研究函數的性質，也經常用函數解析式來分析函數的圖像特征，函數在的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設函數在上，定義域關于原點對稱，又因為，所以函數為奇函數，排除C選項，當時，，排除D選項，當時，，所以A不正確，B正確.故選：B.5.中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環，記的長為，的長為，若，，則扇環的面積為（）A.128 B. C. D.192【答案】D【解析】因為的長為，的長為，，，則，如圖，設扇環所在圓的圓心為，，的弧度數為，則，解得，則扇環的面積.故選：D.6.已知函數為上的偶函數，且在上單調遞增，若（為自然對數的底數），則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為函數是上的偶函數，且在上單調遞增，因為所以，即.故選：C.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以，所以，所以，，所以.故選：D.8.若定義在上的函數滿足，是奇函數，，設函數，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】因對于，，則，故函數為周期函數，4是函數的一個周期，又是上的奇函數，則，故的圖象關于點對稱，于是，，在，取，得，因，則.故選：A.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】CD【解析】對于A，由可得，所以，即，即A錯誤；對于B，不妨取，，此時，即B錯誤；對于C，由可得，所以，即，因此C正確；對于D，由可得，又，所以，即D正確.故選：CD.10.函數的部分圖象如圖所示，則（）A.函數的圖象關于點對稱B.該圖象向左平移個單位長度可得圖象C.該圖象的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標縮短到原來倍可得圖象D.函數上單調遞減【答案】ABC【解析】由圖可知，由得，，將點的坐標代入中，可得，則，因為，所以，得，對于A，將代入，得到，故函數的圖象關于點對稱，故A正確；對于B，圖象向左平移個單位，則，故B正確；對于C，對于，如果橫坐標伸長到原來的2倍，則；同時縱坐標縮短到原來的倍，得，故C正確；D.由于，則，而在不單調故函數在上不單調，故D錯誤.故選：ABC.11.如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現時(圖中點P0)開始計時，則()A.點P第一次到達最高點需要20秒B.當水輪轉動155秒時，點P距離水面1米C.當水輪轉動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米D.點P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數解析式為【答案】ACD【解析】設點距離水面的高度為（米和（秒的函數解析式為，，，由題意，，，，解得，，，則．當時，，，則，又，則．綜上，，故D正確；令，則，若，得秒，故A正確；當秒時，米，故B不正確；當秒時，，故C正確．故選：ACD．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知冪函數的圖象與坐標軸沒有公共點，則＝______.【答案】【解析】因為為冪函數，所以，解得或1，又的圖象與坐標軸無公共點，故，故，所以．13.函數的減區間是_______________.【答案】【解析】要使函數有意義，則，即或，設，則當時，函數在上單調遞增，當時，函數在上單調遞減．∵函數在定義域上為單調遞增函數，∴根據復合函數的單調性之間的關系可知，函數在上單調遞增，在上單調遞減，即函數的遞減區間為.14.若，，且，則的最小值為__________.【答案】【解析】，即，，則，當且僅當，結合，即時等號成立，則的最小值為.四、解答題（本題共5小題，共77分.）15.計算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知關于的不等式的解集為或.（1）求的值；（2）解關于的不等式解：（1）根據題意，得方程的兩個根為1和，由根與系數的關系得，解之得.（2）由（1）得關于的不等式，即，因式分解得．①當時，原不等式的解集為；②當時，原不等式的解集為；③當時，原不等式的解集為.17.已知.（1）若，求的值；（2）若，且，求的值.解：（1），.（2），

，，，，.18.已知函數.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數圖象的對稱中心；（3）求函數在區間上的最大值和最小值.解：（1）函數，所以函數的最小正周期.（2）由，解得，所以函數圖象的對稱中心是.（3）當時，，則當，即時，；當，即時，，所以函數在區間上的最大值和最小值分別為.19.著名的“懸鏈線拱橋問題”與數學中的雙曲函數相關.函數叫做雙曲正弦函數，函數叫做雙曲余弦函數，其中是自然對數的底數.已知函數.（1）對任意實數是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，請說明理由；（2）求不等式解集；（3）當時，求的最大值.解：（1）由，可得，即是定值，定值為1.（2）易知的定義域為，又，所以為奇函數，由不等式可得，