高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省部分學校2025屆高三3月模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由集合，得，所以.故選：C.2.設是定義在上的可導函數，則是為函數的極值點的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據函數極值點的定義可知為函數的極值點，必有；反之，當時，不一定為函數的極值點，比如，，滿足，但在上單調遞增，即不是函數的極值點，故是為函數的極值點的必要不充分條件，故選：B3.已知向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以在方向上的投影向量為．故選：C．4.已知，，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】A【解析】依題意，，若，則，而，與矛盾，得到，，所以，則，即，故A正確.故選：A5.已知等比數列的前n項積為，若，則（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】根據題意，等比數列的前n項積為，則，所以.故選：B．6.已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形．若為圓錐側面上的動點，點平面，，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，點在圓錐的中截面圓上，它到平面距離的最大值即為該截面圓半徑，而的面積，所以三棱錐體積的最大值為.故選：C7.在平面直角坐標系中，定義：，其中，.若，且，則下列結論錯誤的是（）A.若關于x軸對稱，則B.若關于直線對稱，則C.若，則D.若，，則【答案】C【解析】對于A，因關于x軸對稱，且，，則，于是，，同理，，即，故A正確；對于B，因關于直線對稱，且，，則，則，同理，.取函數，顯然該函數在上為增函數，由，且，可得，則有，因，故有，即，故B正確；對于C，因，，由可得：，則有，若取，滿足上式，但此時，，，則，由上分析，，故，故C錯誤；對于D，設點，則，即，而，因，故得，即點，即得，故D正確.故選：C.8.若為的任意排列，設，，則（）（已知表示中最小的數，表示中最大的數）A.排列總數為個 B.滿足的排列有80個C.的概率小于 D.的概率為【答案】D【解析】對于A，的任意排列方法總數為個，故A錯誤，對于B，若，則先從中隨機選出3個數，共有種不同的方法，再將剩下3個數任意排列，共有種不同的方法，則滿足的排列有個，故B錯誤；對于C，D，因為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，所以共有10種不同的情況，則的概率為，故C不正確；而的情況有種，故的概率為，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設，函數，則下列說法正確的有（）A.當時，函數為增函數 B.點為函數圖象的對稱中心C.存在a，使得函數有且僅有一個極值點 D.函數至少有一個零點【答案】BD【解析】由題意，，，因為對，有，所以點為函數圖象的對稱中心，故B正確；函數的導函數，，當時，恒成立，此時函數是上的減函數，則函數沒有極值點，又，，所以由零點存在性定理可知，此時函數有一個零點；當時，，則方程有唯一解，當時，，當時，，所以函數是上的減函數，則函數沒有極值點，又，，所以由零點存在性定理可知，此時函數有一個零點；③當時，由，得，即，因為，所以方程有兩個不相等的根，不妨設，，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，此時，函數有兩個極值點，又時，，時，，所以由零點存在性定理可知，此時函數至少有一個零點；綜上所述，當時，函數為減函數，故A錯誤，當時，函數沒有極值點，且有一個零點，當時，函數有兩個極值點，且至少有一個零點，故C錯誤，D正確；故選：BD.10.定義，.其中復數（，是虛數單位），，，則下列命題中，真命題有（）A.對任意，都有B.若是復數的共軛復數，則恒成立C.若，則D.對任意，結論恒成立【答案】BD【解析】對于A，根據定義，當時，，故A錯誤；對于B，由題意得，所以，故B正確；對于C，若，則兩個復數實部、虛部可以相等，也可以相反，無法得到，故C錯誤；對于D，設，，，則，，，又，，所以，即，故D正確.故選：BD.11.對于數列，若存在正數，使得對一切正整數，都有，則稱數列是有界的，若這樣的正數不存在，則稱數列是無界的.記數列的前項和為，則下列說法正確的是（）A.若，則數列是無界的B.若，則數列是有界的C.若，則數列是有界的D.若，則數列是有界的【答案】BCD【解析】對于選項A：因為，所以，所以存在正數，使得恒成立，所以數列是有界的，故A錯誤；對于選項B：因為，所以，所以，所以存在正數，使得恒成立，所以數列是有界的，故B正確；對于選項C：因為，所以當時，；當時，；所以，所以存在正數，使得恒成立，所以數列是有界的，故C正確；對于選項D：因為，所以，又，所以，所以存在正數，使得恒成立，所以數列是有界的，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數的極值點與的零點完全相同，則______.【答案】【解析】由輔助角公式得，由，得記為①，對于，由，得，依題意，所以記為②，由于函數的極值點與的零點完全相同，對比①②可得.故答案為：13.已知在棱長為3的正方體中，點是底面ABCD內的動點，點為棱BC上的動點，且，則的最小值為______.【答案】【解析】如圖（一），，.又，.如圖（二），建立平面直角坐標系，則，，，設點.，化簡得：（，）.則圓心為，，點關于BC的對稱點.故答案為：.14.某棋手與機器人比賽，規則如下：棋手的初始分為20.每局比賽，棋手勝加10分，平局不得分，棋手負減10分.當棋手總分為0時，挑戰失敗，比賽終止；當棋手總分為30時，挑戰成功，比賽終止；否則比賽繼續.已知每局比賽棋手勝、平、負的概率分別為、、，且各局比賽相互獨立.在挑戰過程中，棋手每勝局，獲獎1萬元.記局后比賽終止且棋手獲獎2萬元的概率為，則的最大值為_________.【答案】【解析】終止條件：

當棋手分數為0或30時，比賽終止.獲獎2萬元意味著棋手在局中贏了2局.得分計算：初始分20分，贏2局加20分，輸局扣分，平局不影響分數.總分需為0或30：總分0分：

，平局次數為；總分30分：

，平局次數為.下面進行分析，并為方便起見用X表示棋手負，用Y表示棋手勝，用表示若干局的平局.第一類情況：總分0分后終止比賽.

贏2局，輸4局，平局，但中間不能出現0分或30分，只能是的順序，中間可以有若干局平，組合數為（).第二類情況：總分30分后終止比賽.

贏2局，輸1局，平局，但中間不能出現0分或30分，只能是的順序，中間可以有若干局平，組合數為().第一類情況中的每一種情況的概率：第二類情況中的每一種情況概率：.時，令,化簡得.由于,所以上述不等式左邊小于零，右邊大于零，所以上述不等式恒成立.所以對于恒成立，所以時的最大概率：所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數列各項均為正數，.（1）求的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.解：（1）因為，又，所以，即，由題意得，于是，而，即是以1為首項，1為公差的等差數列，從而，即，因此，而滿足上式，故.（2）由（1）知，則，因此，則，顯然數列單調遞減，于是，則，故.16.已知雙曲線，該雙曲線的右頂點為，點在的漸近線上，過B的直線與交于兩點，直線分別與軸交于兩點.（1）若的面積為，求的方程；（2）證明：線段的中點為定點.（1）解：首先，我們把記為①，顯然直線的斜率存在，設的方程為記為②，①②聯立得：．則有記為③，記為④，如圖，設，則記為⑤，記為⑥，把⑤⑥代入：，所以，得到，解得．滿足③④式，則直線的方程為．（2）證明：設，不妨設．則直線⑦，聯立①⑦得：，則，則；同理：．而，，又三點共線，則有，則，得到，即，由中點坐標公式得的中點為定點．17.已知函數，.（1）判斷的零點個數；（2）記的零點為，證明：.（1）解：首先，我們得到定義域為，當時，，所以在上無零點，當時，因為，所以在上單調遞增，則在上至多一個零點，當時，有唯一零點1，當時，因為，，則，由零點存在性定理得函數有唯一零點，綜上可得函數有唯一零點.（2）證明：由題意知，且，兩邊取自然對數，得，先證明：時，記為（***），設，則，所以當時，，單調遞減：當時，，單調遞增，則，當且僅當時，等號成立．由（***）式知，，則，得到，即，故．（***）式中，令，得，當且僅當，即時等號成立，而，則，即，得到，，當且僅當時等號成立．當時，在（***）式中，令，得，所以時，．當時，成立．故得證．18.為培養青少年航天科學素養，某航天科技館組織中學生航天科技大賽，每個地區選派5名學生組隊參賽，比賽分為二人組筆試航天知識問答和三人組“編程調試與仿真設計”實操測試比賽兩場.在筆試知識問答中每隊有兩名同學，只需抽一名選手參加，該選手答一道程序邏輯推理題目，若答對可以進入第二環節，在三人組“編程調試與仿真設計”實操測試比賽中，規則是每組三個選手，先選派一人進行一次編程設計試驗，若能運行成功記為通過.第一位選手通過，第二位選手則有三次上場機會，否則該組結束比賽.如果第二位選手通過一次及以上測試，則每次通過后得4分，并為第三位選手爭取到兩次上場機會，否則第二位選手不加分并結束該組比賽.第三位選手每次通過試驗均加10分，不通過不加分.兩位選手得分之和計為本場比賽總得分.（1）已知在二人組筆試航天知識問答中，某地區A、B兩人組隊，A、B第一環節答對問題的概率分別是、，第二環節中共有6個題目，選手抽出三道題作答，答對一題得4分.已知6個題目中有4個題目A同學熟悉并能答對，有3個題目B同學熟悉并能答對.設選派A同學和B同學參賽得分分別為X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望；（2）現某組決定選派甲、乙、丙三位選手參加“編程調試與仿真設計”實操測試比賽，先后進入三個環節，甲選手在第一個環節中通過測試的概率為，乙選手在第二個環節中通過每一次測試的概率均為，丙選手在第三個環節中通過每一次測試的概率均為.①在甲選手通過測試的條件下，求該組乙選手得分的分布列；②求該隊在三人組“編程調試與仿真設計”實操測試比賽中的總得分期望.解：（1）同學參賽得分所有取值為0，4，8，12，，，，，所以的分布列為04812.（2）①設乙選手在三次測試中得分為，則所有取值為0，4，8，12，，，，，所以的分布列為04812②設該隊在“編程調試與仿真設計”實操測試比賽中總得分為，則所有取值為0，4，8，12，14，18，22，24，28，32，在甲選手已通過測試的條件下概率如下：，，，，，，，，，，所以的分布列為04812141822242832由于甲選手通過測試的概率為，所以總得分的期望為.19.求三角形面積的最大值解：設,,,其中，，如圖所示..設平面的法向量,則,令，則，所以平面的一個法向量為.平面的一個法向量為,.三角形面積公式：,設..記,則因為,所以,所以.當時，或，此時.所以設，則，所以函數在上單調遞增，所以，所以當時三角形面積的最大值：.根據對稱可知，當或時也同樣取得最大值.20.證明：.證明：如圖，在前側