37利用導數研究函數零點分層作業一、單項選擇題1．，若函數在上有3個零點，則m的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】D【解】，令，解得或．當時，函數取得極小值，為，又因為，所以的最小值為，即．當時，函數取得極大值，為，又因為，所以函數的最大值為或，即8．作函數在上的大致圖象如圖所示：

由圖象可知，當時，函數的圖象與直線有三個交點．因此當時，函數在上有3個零點．故m的取值范圍為．故選：D2．若函數在區間內有零點﹐則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A【解】由題，，所以函數單調遞減，故在區間內有零點只需滿足，即；故選：A3.已知函數，則下列選項正確的有(

)A．函數極小值為1B．函數在上單調遞增C．當時，函數的最大值為D．當時，方程恰有3個不等實根【答案】C【解】，令，解得或，令，解得，所以在，上單調遞增，上單調遞減，故B錯；在處取得極小值，極小值為1，故A錯；，，，所以在上的最大值為，故C正確；的大致圖象如下：方程的根的個數可以轉化為函數的圖象與的圖象的交點個數，由圖可知，當時，圖象有3個交點，即方程有3個不等實根，故D錯.故選：C.4.已知函數，下列說法錯誤的是(

)A．在x=e處的切線方程為y=e B．函數的單調遞減區間為C．的極小值為e D．方程有2個不同的解【答案】B【解】函數定義域為，求導得：，對于A，，而，則函數在x=e處的切線方程是，A正確；對于B，當或時，，則的單調遞減區間為，，B不正確；對于C，當時，，由選項B的信息知，當時，取得極小值e，C正確；對于D，令，當時，，恒有，由選項B，C知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，而，即存在，使，又，存在，使，因此函數有2個零點，則方程有2個不同的解，D正確.故選：B5．已知函數，有兩個零點，則實數的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】A【解】，當時，，為單調遞增函數，最多只有一個零點，不合題意，舍去；當時，令，得，令，得.∴在上單調遞增，在上單調遞減.∴.∵函數有兩個零點，∴，，得.又，，且，，故.故在與上均有零點，滿足題意.綜上.故選：A6．已知函數有兩個零點，則實數的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A【解】函數的定義域為，令，則即函數與直線有兩個交點；∵，令，則；∴在上單調遞增，在上單調遞減設與的切點坐標為，切點斜率；則有，消去得：；顯然在在上單調遞增，且當時，；若函數與直線有兩個交點，則；故選：A．7.已知函數()，且在有兩個零點，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】C【解】，，由得，，則，令，依題意，函數在有兩個零點，顯然，而在上單調遞增，則有，當或，即或時，在上單調遞增或單調遞減，即有函數在只有一個零點1，因此，此時當時，，當時，，函數在上單調遞減，在單調遞增，則，要函數在有兩個零點，當且僅當在上有一個零點，即有，解得，所以的取值范圍；故選：C8.若指數函數(且)與函數的圖象恰好有兩個不同的交點，則實數的范圍為(

)A． B． C． D．【答案】C【解】，而又為奇函數，所以兩函數圖象交點一定在第一象限，令，，整理得；構造函數，依題意知與的圖象有兩個交點，易知，令可得；所以當時，，此時在上單調遞增，當時，，此時在上單調遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，畫出函數圖象如下圖所示：

由圖可知，當時，滿足題意；解得；所以實數的取值范圍為故選：C二、多項選擇題9.已知函數fx=A.當t∈?23,+∞時，fx有三個零點：B.過0,0的直線與C.若fx極大值+fx極小值=2，則t=1【答案】CD【解】∵fx=13x3?x+t∴當x變化時，f'x，x?∞,?1?1?1,111,+∞f+0?0+f單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增當x=?1時，f當x=1時，fx取極小值，極小值為對于A，當t∈?23,+∞結合fx的單調性可知，f(如當t=1時，極小值f1=13>0，對于B，設過0,0直線y=kx與y=x2切于點x1,又∵點x1,x12在切線y=2x1x上，由A的判斷過程知，當x=?1或x=1時，f'x=0，即f∴當f?1=23+t=0或f1=?23對于C，由A的判斷過程知，f1∴若fx極大值+fx極小值=2對于D，gx∴g?1?g?1+∴g?1?x+g?1+x=2×53，∴g10．已知函數f(x)=3x?2x，A．函數fx在(0,+∞)上單調遞增B．存在a∈RC．任意x∈R，fx>?1D．函數【答案】ABC【解】對于A：f'因為x∈(0,+∞)，所以2x>1，3故f'(x)>0，所以對于B：令a=6，則y=62且?(?x)=對于C：x>0時，f(x)=2x32x?1對于D：x=0時，gx=0，xx<0時，g(x11.設函數fx=3x?x3,x≤a,A．?1B．0C．1D．2【答案】ABC【解】y=3解得y=3x?x3在?1,1解方程3x?x而2x+1=0的根記為因為函數fx存在三個零點，則零點為x1=?3三、填空題12．已知函數，則函數的零點個數為.【答案】2【解】時，是增函數，又，因此在也即在上存在唯一零點，時，，，令，，時，，遞減，時，，遞增，所以，所以時，恒成立，所以恒成立，即是減函數，又，，所以在也即上存在唯一零點綜上，有兩個零點，故答案為：2．13．已知函數，若方程恰有兩個實數解，則實數的取值范圍為.【答案】【解】方程恰有兩個實數解，即曲線與直線有兩個不同的交點，設，則，設過原點的直線與相切的切點坐標為，則切線方程為：，又此切線過點，求得，由圖可知：曲線與直線有兩個不同的交點時有：，當時，此時與直線有兩個交點分別為和，也符合要求，當時，此時與直線有兩個不同的交點，也符合要求，綜上可知：實數的取值范圍為：，故答案為：

14.已知且，方程有且僅有兩不等根，則的范圍為【答案】【分析】變形得，令，則，利用導數求出，數形結合即可求解.【解】由，得；令，則，設函數，得.令，得.在上單調遞增；在上單調遞減，所以，，又當時，恒成立，所以方程有且僅有兩個不等根，所以的取值范圍是；故答案為：.四、解答題15．已知函數．(1)求函數的單調遞增區間；(2)若函數有且僅有三個零點，求的取值范圍．【解】(1)由，得，令，得，解得．所以的單調遞增區間為(2)令，解得或．當變化時，，的變化情況如下表所示：0200單調遞減1單調遞增單調遞減由函數有且僅有三個零點，得方程有且僅有三個不等的實數根，所以函數的圖象與直線有且僅有三個交點．顯然，當時，；當時，．所以由上表可知，的極小值為，的極大值為，故．16．函數的導函數為，函數的導函數是，已知函數.(1)若，求的值和函數的單調區間；(2)若，討論的零點個數.【解】(1)由題可知，，，，解得.所以，.令，得或；令，得，所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為和.(2)由(1)可知，，，，所以.令，解得或；令，解得.所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為和，所以的極小值為，的極大值為.當時，，當時，，故當，即時，有三個零點；當，即時，有兩個零點；當，即時，有一個零點.17．已知函數.(1)若y=fx在點1,f1處切線方程為，求和的值；(2)若函數無零點，求的取值范圍.【解】(1)因為，所以，又，則，又曲線在點處的切線方程為，所以，解得.(2)令，即，令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，且當時，依題意與無交點，所以，所以要使函數無零點，則的取值范圍為.18．已知函數．(1)若函數與的圖象關于點對稱，求的解析式；(2)當時，，求實數m的取值范圍；(3)判斷函數在的零點個數，并說明理由．【解】(1)由題意得，．(2)由題意得，，令，解得，當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值為，由于時，，所以實數m的取值范圍為(3)令，則，整理得，令，則，當時，．所以在上單調遞減，又，所以由零點存在性定理得，在上存在唯一零點．當時，，此時函數無零點．綜上所述，在上存在唯一零點，即函數在上的零點個數為1．19．已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程．(2)若有兩個零點，求實數的取值范圍．【解】(1)當時，，則，，所以．故曲線在點處的切線方程為，即．(2)由有兩個零點，得方程在上有兩個不同的實數解．當時，顯然方程沒有正實數解，所以．則方程在上有兩個不同的實數解．令，則．顯然在上為減函數，又，所以當時，；當時，．所以在上單調遞增，在上單調遞減，且．當時，；當時，，要使方程在上有兩個不同的實數解，則與的圖象在上有兩個不同的交點，結合圖象可知，解得，綜上，實數的取值范圍為．一、單項選擇題1.若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【解】有兩個零點，即有兩個正實根，即函數與的圖象有2個交點．直線過定點，當該直線與曲線相切時，設切點為，又，則，即，令，則，所以在上單調遞增，又，故有唯一零點，故，所以當直線與曲線相切時，切點為，則切線斜率為1．要使函數與的圖象有2個交點，則需滿足，所以．故選：B．

2．若過點可以作三條直線與曲線C：相切，則m的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解】設切點為,過點P的切線方程為,代入點P坐標，化簡為，即這個方程有三個不等根即可.令,求導得：.令，解得：，所以在上遞增；令，解得：或，所以在和上遞減；要使方程有三個不等根；只需,即.故選：D3.的零點的個數為(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解】由得，構造函數，得g'(x)=2x?x在上單調遞減，在上單調遞增，上單調遞減，且，及時，的圖像如圖，得到有3個解.

故選：D.4.已知函數．則函數的零點個數為(

)A．4B．3C．2D．1【答案】C【解】，，，則當或，，，在，，.，則，則大致圖象如圖，故有2個零點，選C；5.已知函數，若存在兩個零點，則實數的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】A【解】的定義域為，且，當時，則，可知在上單調遞減，所以不可能存在兩個零點，不合題意；當時，令，解得；令，解得；可得在上單調遞增，在上單調遞減，則的最大值為，若存在兩個零點，則，解得,此時，可得，且，令，則，則在上單調遞增，可得，即，可知在，均只有一個零點，即符合題意；綜上所述：實數的取值范圍為.故選：A.6.已知函數有三個零點，其中，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【分析】，由，得，設，則，從而可得，求解導函數，分類討論與兩種情況下函數的單調性，從而可得答案.【解】定義域為，顯然，若是零點，則，，所以也是零點，函數有三個零點，不妨設，則，所以，，當時，結合定義域和判別式易知恒成立，即函數在上單調遞增，不符合題意；當時，設的兩根分別為，易知，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，，，當，，所以由零點存在定理易知有三個零點，滿足題意.綜上，的取值范圍是.7.已知函數.若，且，則可能取的值是()A.?4B.?3C.?2D.0【答案】AB【分析】利用導數畫出圖象，結合解析式得到的關系及的范圍即可求解.【解】當時，，，所以在上單調遞減，且，當時，，，所以在上單調遞增，且，所以的圖象大致如圖所示：

由，得，即，令得，結合圖象可知，所以；故選AB8.已知函數，，若關于的方程有6個解，則不可能取的值是().A.1B.2eC.32e【答案】ABD【分析】令，根據圖象可知，等于常數的解最多只有3個，根據圖象可知，等于常數的解最多只有2個，若有6個解，需要有3個解，有2個解，根據圖象先求出，再得出和中最小解之間的等式關系，而后結合的值域即可建立關于的不等式，最后構造關于的函數，求導求單調性即可解不等式，進而得出結果。【解】由題可得，令，則方程的解有3個，當時，，所以在上單調遞增，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，，，當時，，所以，畫的圖象如下：由圖象可得，且方程的三個解分別為，不妨設，則有，即，又；所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，又因為，所以，所以有，即，令，所以，所以在上單調遞增，又，所以的解集為，綜上，的取值范圍為(12,2e)；二、多項選擇題9.已知函數fx=ax3A．?2B．?1C．0D．1【答案】ABC【解】fx=ax當a≤0時，f'x=3a又f0=1>0，f1=a?2<0，由零點存在性定理得：存在唯一的當a>0時，由f'x=3ax2?3>0得x>1故fx在?1a<x<1a上單調遞減，在x<?1所以函數fx=ax解得：a>4，與a>0取交集后得到a>4，綜上：實數a的取值范圍是?∞,010.若函數有三個零點，則實數a的可能取值是(

)A．－10 B．－9 C．2 D．3【答案】BCD【分析】轉化為方程根的問題，再分離參數，利用導數研究函數圖象，結合圖行進行求解.【解】函數有三個零點，等價于有3個根，即函數與函數有3個交點，令，則，由有：或，由有：，所以在，上單調遞增，在上單調遞減；又，，所以的大致圖象為：所以，解得，故A錯誤；故選：BCD.11.已知函數，則下列選項正確的是(

)A．在上單調遞增B．恰有一個極大值C．當時，無實數解D．當時，有三個實數解【答案】BCD【分析】分類討論去掉絕對值符號后求導數確定單調性、極值判斷AB，利用極值判斷方程的實根個數判斷C，利用數形結合思想判斷D．【解】對于A，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減．當時，，在上單調遞增，A錯誤；對于B，由以上討論知是的極大值點，B正確；對于C，當時，，當時，，所以當時，無實數解，C正確；對于D，當時，，由以上討論知當時，．而，作出的大致圖象如圖所示．如圖可知，有三個實數解，所以有三個實數解，D正確．故選：BCD．三、填空題12．已知函數，函數(a∈R)有兩個不等實根，則a的取值范圍是.【答案】或【解】由可得或，當時，，當或時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；當時，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；且，，，且，作出函數的圖象，易知有一個根，故只需有一個根即可，由圖可得或，解得或，即的取值范圍是或，故答案為：或.13．設函數，若互不相等的實數，，滿足，則的取值范圍是．【答案】【解】函數作出函數圖象如圖所示，因為互不相等的實數，，滿足，不妨設，當時，，圖象的對稱軸為，所以，當時，，令，解得，由圖象可知，所以的取值范圍是．故答案為：．14．函數，若函數有3個不同的零點，，，且，則的取值范圍是.【答案】【解】作出函數的圖象如圖：則當時，拋物線的對稱軸為，若函數有三個不同的零點，，，不妨設，即，有三個不同的根，則＜1，當時，，即，則，當時，由，得，即，則，設(m)，＜1，則導數(m)，所以函數h(m)在上單調遞增，在上單調遞減，所以，因為，所以.所以的取值范圍是；故答案為：四、解答題15．已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)方程有兩個不同的實數解，求的取值范圍．【解】(1)當時，，則，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即；(2)由，得，即，令，則，當時，，當時，，所以函數再上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，則由，可得，因為方程有兩個不同的實數解，所以函數的圖象有兩個不同的交點，令，則，因為，所以，令，則，令，則，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又當時，且，當時，且，如圖所示，作出函數的大致圖象，由圖可知，的取值范圍為.16.已知函數．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若，研究函數在上的單調性和零點個數．【分析】(1)當時，求出，，從而可求出切線方程.(2)當時，利用導數求出在上單調遞增．又，從而可求解.【解】(1)當時，，則，則，，所以曲線在點處的切線方程為．(2)當時，，則，當時，，，，則，故在上單調遞增．又因為，所以在上的零點個數為．17．已知函數，e為自然對數的底數，函數.(1)若在處的切線也是的切線，求實數a的值；(2)求在上的零點個數.【解】(1)，則，所以切線方程為，又，設直線與圖象的切點為，則，解得.(2)，當時，，，，所以函數單調遞減，所以，此時函數無零點；當時，設，則，即遞增，，，因此在即在上有唯一零點，記零點為，即，在上，，單調遞減，在上，，單調遞增，又，，，，所以在有一個零點，在上有一個零點，綜上所述，在上有2個零點.18．已知函數.(1)求函數的單調區間；(2)求的零點個數.(3)在區間上有兩個零點，求的范圍.【解】(1)由題可得：，令，解得：或，令f'x<0，解得：；令，解得：或；所以的單調減區間為：；單調增區間為：，(2)因為的單調減區間為：；單調增區間為：，，由于，則在上無零點；由于，則在上無零點；由于，則在上存在唯