【專題7.1拓展：內(nèi)切球與外接球】總覽題型總覽題型梳理題型題型分類知識講解與常考題型【題型1：內(nèi)切球與棱切球】【知識講解】內(nèi)切球1.定義：與多面體的各個面都相切的球稱為多面體的內(nèi)切球。此時，球心到多面體各個面的距離相等，且這個距離就是內(nèi)切球的半徑。2.性質(zhì)： 對于正多面體，其內(nèi)切球的球心位于正多面體的中心。例如正四面體，球心在正四面體的高上，且將高分為$1:3$的兩段，靠近底面的那段長度就是內(nèi)切球半徑。 一般多面體中，可通過等體積法來確定內(nèi)切球半徑。即把多面體分割成以球心為頂點，以各個面為底面的棱錐，多面體的體積等于這些棱錐體積之和，利用體積關(guān)系求解內(nèi)切球半徑。3.解題思路： 首先判斷多面體是否為特殊的正多面體，如果是，可利用正多面體的性質(zhì)直接確定球心位置和半徑與棱長等的關(guān)系來求解。 若為一般多面體，通常采用等體積法。例如，對于三棱錐，設(shè)其內(nèi)切球半徑為，表面積為，體積為，則有。先求出三棱錐的體積和表面積，再代入公式求解。棱切球1.定義：與多面體的各條棱都相切的球稱為棱切球。此時球心到多面體各條棱的距離相等。2.性質(zhì)： 對于正方體，其棱切球的直徑等于正方體的面對角線長。 在一些特殊的三棱錐中，比如正三棱錐，若底面邊長為，側(cè)棱長為，可通過構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理等關(guān)系來確定棱切球半徑與、的關(guān)系。3.解題思路： 對于特殊的多面體如正方體，根據(jù)正方體的棱長與面對角線的關(guān)系，直接得出棱切球的半徑。若正方體棱長為，則棱切球半徑。 對于一般的多面體，需要找到球心到棱的距離關(guān)系。通常是通過找出多面體中的特殊三角形，利用勾股定理、三角函數(shù)等知識來求解棱切球半徑。例如，在一個三棱錐中，找到一個包含棱和球心的截面，該截面是一個直角三角形或可通過其他條件求出邊長的三角形，然后根據(jù)三角形的邊長關(guān)系來計算棱切球半徑。例題精選例題精選【例題1】（2324高二下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知圓錐PO的頂點為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直.且母線長為6.則圓錐PO的內(nèi)切球表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得△ABC為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，由正弦定理可得，可得圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球半徑r，利用面積法求解即可.【詳解】因為PA，PB，PC兩兩互相垂直且長度均為6，所以△ABC為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長，由正弦定理得底面圓的半徑，所以圓錐的高.如圖，圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球半徑r，軸截面三角形面積為，所以內(nèi)切球的半徑.內(nèi)切球的表面積為.故選：C.【例題2】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知球內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑分別為，，且，則圓臺的體積與球的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出圓臺的軸截面圖，由幾何知識可確定球的半徑，即可得答案.【詳解】如圖：為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點，與上、下底的分別切于點，，設(shè)球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，從而，故.設(shè)圓臺的體積為，球的體積為，則.故選：B.【例題3】（2324高二下·湖南常德·期中）在棱長為2的正四面體中，正四面體的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)正四面體的性質(zhì)求出正四面體的高；再利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑；最后根據(jù)球的表面積公式即可解答.【詳解】正四面體底面的中心記為點，連接，.由正四面體的性質(zhì)可得：面.因為正四面體棱長為2，所以底面三角形的高為，則，所以正四面體的高.設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，球心為.由等體積法可得：，即，解得：.所以正四面體的內(nèi)切球表面積為.故選：B.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二上·上海·期中）已知一個圓臺有內(nèi)切球，且兩底面半徑分別為1，4，則該圓臺的表面積為.【答案】【分析】借助于軸截面，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)分析可知圓臺的母線長為，進而可求表面積.【詳解】如圖所示，等腰梯形為圓臺軸截面，內(nèi)接圓與梯形切于點，其中分別為上、下底面圓心，則梯形的腰長，即圓臺的母線長為，所以該圓臺的表面積為.故答案為：.【相似題2】（2425高三上·江蘇·階段練習(xí)）與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的表面積為．【答案】/【分析】利用已知條件求得圓臺的母線長，進而根據(jù)勾股定理求得圓臺的高，即內(nèi)切球的直徑，最終利用球體體積公式求解即可.【詳解】由題意，畫出圓臺的直觀圖，其中為圓臺的母線長，，分別為上、下底面的圓心，點為內(nèi)切球的球心，點為球與圓臺側(cè)面相切的一個切點.則由題意可得：，.因此可得：內(nèi)切球半徑，即得內(nèi)切球的體積為.故答案為：【相似題3】（2324高一下·重慶·期末）已知三棱錐三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且，M為該三棱錐的內(nèi)切球上的動點，則M，P兩點間距離的最小值為.【答案】【分析】首先求出到平面的距離，再根據(jù)等體積法求出三棱錐內(nèi)切球的半徑，進而求出球面上一點到距離的最小值.【詳解】因為，且三條側(cè)棱兩兩垂直，則△是邊長為的正三角形，如圖，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球與平面相切于，根據(jù)已知條件知三點共線，且為△的中心，連接與球交于點，此時最小，連接與交于，由已知得，，，而，，設(shè)球的半徑為，則由等體積法得，，即，解得，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：等體積法是求三棱錐的內(nèi)切球半徑的重要方法，是解決本題的關(guān)鍵.【題型2：正棱錐圓錐模型】【知識講解】例題精選正棱錐的外接球例題精選定義：外接球是指一個正棱錐的各個頂點都在其球面上的球。性質(zhì)：正棱錐的外接球的球心在其高所在直線上。因為正棱錐頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心，而球心到正棱錐各頂點距離相等，所以球心必然在過底面中心且垂直于底面的高所在直線上。設(shè)正棱錐的底面邊長為，底面外接圓半徑為，正棱錐的高為，外接球半徑為。在由底面中心、頂點和球心構(gòu)成的直角三角形中，存在關(guān)系（可通過勾股定理得到）。對于正邊形，其外接圓半徑可由計算得出（正弦定理）。解題思路：第一步，確定底面正多邊形的相關(guān)信息。先求出底面正多邊形的邊長，進而通過公式算出底面外接圓半徑。第二步，找到正棱錐的高。這通常需要根據(jù)已知條件，利用勾股定理等幾何關(guān)系來求解。第三步，將和代入這個方程中。展開方程得到，化簡后為，從而解出外接球半徑。圓錐的外接球定義：圓錐的外接球是指圓錐的頂點和底面圓周上所有點都在其球面上的球。性質(zhì)：圓錐外接球的球心在圓錐的軸上。因為圓錐的軸是過頂點和底面圓心的直線，球心到圓錐頂點和底面圓周上各點距離相等，所以球心在軸上。設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，外接球半徑為。在由圓錐底面圓心、圓錐頂點和球心構(gòu)成的直角三角形中，同樣滿足勾股定理關(guān)系。解題思路：首先，明確圓錐的底面半徑和高，這兩個量一般題目中會直接給出或者可通過簡單計算得出。然后，將和代入。按照正棱錐外接球半徑求解過程中對方程的處理方式，展開并化簡方程，最終解得外接球半徑。【例題1】（2025·陜西商洛·三模）已知正三棱錐的底面邊長為，側(cè)面積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圖形，求出正三棱錐的高，找出外接球球心，設(shè)外接球半徑為，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的等式，解出的值，結(jié)合球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在正三棱錐中，正的邊長為，如下圖所示：取線段的中點，連接，則，因為正三棱錐的側(cè)面積為，則，可得，所以，，，設(shè)點在底面的射影為點，則為正的中心，且，，設(shè)正三棱錐的外接球球心為，則在直線上，設(shè)球的半徑為，則，由勾股定理可得，即，解得，因此，該正三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.【例題2】（2425高三下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知圓錐的母線長為6，其外接球表面積為，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓錐及其外接球的軸截面可得關(guān)系，再結(jié)合和即可計算.【詳解】圓錐及其外接球的軸截面如圖，該其外接球的半徑為，則外接球表面積為，則，即，設(shè)圓錐的高為，圓錐的底面圓半徑為，則，由，解得，則此圓錐的表面積為.故選：B相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·吉林·三模）棱長為2的正方體中，棱的中點為，棱的中點為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先找的外心，發(fā)現(xiàn)為線段的四等分點（靠近），則球心在過且與平面垂直的直線上，利用坐標(biāo)法計算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)的外心，由外心的定義可知，為線段的四等分點（靠近），則球心在過且與平面垂直的直線上．以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)球心，由，求出，從而求出，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【相似題2】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知正四棱錐的一個側(cè)面的周長為10，則該四棱錐體積的最大值為，此時其外接球表面積為.【答案】【分析】根據(jù)題意作圖，由題意得到關(guān)于底面邊長和側(cè)棱長以及高的等量關(guān)系，代入四棱錐體積公式，得到關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，從而求得最大值.再利用此時各邊長求出外接球的半徑，計算球的表面積即可.【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，高為，因為正四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為底面的中心，側(cè)棱長相等，側(cè)面為等腰三角形，所以，所以，得，又，所以正四棱錐的體積.設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，所以.此時，，設(shè)該正四棱錐外接球的半徑為，則，解得，故其外接球表面積.故答案為：；.【題型3：正棱柱模型】【知識講解】定義：正棱柱是底面為正多邊形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱。正棱柱的外接球是指該棱柱的各個頂點都在其球面上的球。性質(zhì)：正棱柱外接球的球心位于上下底面中心連線的中點處。這是因為正棱柱的對稱性，球心到棱柱各個頂點距離相等，上下底面中心連線的中點滿足這一條件。設(shè)正棱柱底面邊長為，底面外接圓半徑為，棱柱的高為，外接球半徑為。對于正邊形底面，其外接圓半徑可由（根據(jù)正弦定理推導(dǎo)得出）。在由球心、底面中心和棱柱頂點構(gòu)成的直角三角形中，存在勾股定理關(guān)系。正棱柱外接球解題思路分析確定底面信息：首先要明確正棱柱底面正多邊形的邊數(shù)和邊長。然后根據(jù)公式計算出底面外接圓半徑。例如，對于正六邊形底面（），若邊長，則，。獲取棱柱高:題目中一般會直接給出正棱柱的高，若未直接給出，也可通過其他已知條件，利用幾何關(guān)系求解得到。計算外接球半徑:將求得的和已知的代入公式。例題精選例題精選【例題1】（2025·河南焦作·二模）在直三棱柱中，，若該棱柱外接球的表面積為，則側(cè)面繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由外接球表面積得到球的半徑，進而求得，即可求解；【詳解】由題可知三棱柱兩個底面三角形的外接圓的圓心分別為的中點，.設(shè)外接球的半徑為，則，所以，解得.側(cè)面旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體是底面半徑為，高為2的圓柱，其體積為.故選：B【例題2】（2425高二下·云南玉溪·開學(xué)考試）已知正三棱柱的所有棱長相等，且六個頂點都在球的球面上，記正三棱柱的體積為，球的體積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)球的體積公式，三棱柱的體積公式，即可求解.【詳解】解：設(shè)正三棱柱的所有棱長均為2，由正弦定理可知底面三角形外接圓半徑為：，則正三棱柱的外接球的半徑為，∴球的體積為，又正三棱柱的體積為，∴.故選：A.【例題3】（2425高二上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）已知一圓柱的底面半徑為2，體積為，若該圓柱的底面圓周都在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓柱體積公式求得圓柱高，從而求得球的半徑，然后由球表面積公式計算．【詳解】由題意圓柱的軸截面是球的大圓的內(nèi)接矩形，矩形的對角線是球的直徑，設(shè)圓柱高為，球半徑為，圓柱底面半徑為，由得，所以，，球表面積為，故選：A．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·陜西寶雞·二模）已知直三棱柱中，，則直三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)即可判斷的中點為外接球的球心，利用勾股定理求解半徑，即可利用表面積公式求解.【詳解】取的中點為,,連接,取的中點,由于且三棱柱為直三棱柱，故為外接球的球心，,,故外接球的表面積為,故選：C【相似題2】（2425高三上·河北秦皇島·期末）已知圓柱的底面半徑等于球的半徑，圓柱的側(cè)面積與球的表面積之比為，則圓柱外接球的體積與球的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出圓柱的底面半徑與高，借助圓柱側(cè)面積公式與球的表面積公式可得圓柱的底面半徑與高的關(guān)系，再求出圓柱外接球的體積與球的體積即可得解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑與球的半徑都為，圓柱的高為，則圓柱的側(cè)面積為，球的表面積為，則，則，則圓柱外接球的體積為，球的體積為，則.故選：C.【題型4：圓臺棱臺模型】【知識講解】圓臺外接球定義：圓臺外接球是指圓臺的上下底面圓周上所有點以及圓臺側(cè)面上的母線延長線與球的交點都在其球面上的球。性質(zhì)：圓臺外接球的球心到圓臺上下底面圓心、的距離、與圓臺上下底面半徑、以及外接球半徑存在關(guān)系。設(shè)圓臺高為，在由球心、上底面圓心和上底面圓周上一點構(gòu)成的直角三角形，以及球心、下底面圓心和下底面圓周上一點構(gòu)成的直角三角形中，有和，且。若已知圓臺母線長，上、下底面半徑差，以及圓臺高，可以通過構(gòu)建幾何關(guān)系來輔助確定外接球半徑。解題思路：第一步，明確圓臺上下底面半徑、和高。這些數(shù)據(jù)通常在題目條件中直接給出或可通過簡單幾何計算得出。設(shè)球心到上底面的距離為，到下底面的距離為，則。由和，可得到。展開等式右邊，與左邊對比，消去后，得到，從而解出。將代入，即可求出外接球半徑。棱臺外接球定義：棱臺外接球是指棱臺的各個頂點都在其球面上的球。性質(zhì)：對于正棱臺，其外接球的球心在上下底面中心的連線上。設(shè)正棱臺上下底面邊長分別為、，上下底面外接圓半徑分別為、（，），棱臺高為，球心到上下底面的距離分別為、，外接球半徑為。同樣有，以及。棱臺相對的側(cè)棱延長后相交于一點，該點與棱臺外接球的球心以及上下底面中心存在特定的幾何關(guān)系，可利用這些關(guān)系構(gòu)建等式求解外接球半徑。解題思路：首先確定棱臺的類型（如正棱臺），然后求出上下底面外接圓半徑、。根據(jù)，計算，其中、為上下底面邊長。明確棱臺的高。設(shè)球心到上底面距離為，則到下底面距離。由和構(gòu)建方程，與圓臺類似，通過消元求解出。再將代入，算出外接球半徑。若題目中給出了棱臺的側(cè)棱等其他條件，還可通過構(gòu)建更復(fù)雜的幾何圖形，利用相似三角形、勾股定理等知識聯(lián)立方程求解。例題精選例題精選【例題1】（2425高三下·河北承德·階段練習(xí)）已知圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，母線與底面所成的角為，則圓臺的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)球心到上底面圓心的距離為h，由題意可得，求解即可.【詳解】由題意可知圓臺的高為.設(shè)球心到上底面圓心的距離為h，則，解得.則，所以圓臺的外接球的表面積為.故選：D.【例題2】（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知正三棱臺的上底面邊長為，高為，體積為，則該正三棱臺的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)臺體體積公式計算出正三棱臺下底面邊長，利用正三棱臺的幾何性質(zhì)計算出球心到下底面的距離，可求出外接球的半徑，結(jié)合球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)正三棱臺的下底面邊長為，則其下底面積為，上底面面積為，所以，該三棱臺的體積為，整理可得，因為，解得，如下圖，設(shè)正三棱臺的上、下底面的中心分別為、，由正三棱臺的幾何性質(zhì)可知，外接球球心在直線上，正的外接圓半徑為，正的外接圓半徑為，設(shè)，若球心在線段上，則，設(shè)球的半徑為，則，即，解得，不合乎題意；所以，球心在射線上，則，，即，解得.所以，，故該正三棱臺的外接球表面積為.故選：D.【例題3】（2425高三下·浙江·階段練習(xí)）正四棱臺側(cè)棱長為，上下底面邊長分別為和，所有頂點在同一球面上，則正四棱臺的外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出圖形，設(shè)外接球半徑為，利用半徑相等列出方程，求出半徑，從而得到球的表面積.【詳解】如圖所示，，，設(shè)為外接球球心，外接球半徑為，為上下底面的中心，易知，又側(cè)棱長為，則，又易知，設(shè)，則，，故，解得：，故，所以球的表面積為，故選：B.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·江蘇南通·一模）已知一幾何體上半部分為圓臺，下半部分為圓錐，其中圓錐底面的半徑為，高為．圓臺的兩底面的半徑分別為和，高為．該幾何體內(nèi)接于表面積為的球，則圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】組合體的存在外接球，作出圖形，由圖形去列出關(guān)系式，從而求出半徑和高，然后求體積．【詳解】外接球半徑，則．，設(shè)外接球球心，在即在即則，，故選：D．【相似題2】（2425高二下·云南·階段練習(xí)）在正四棱臺中，，，該正四棱臺的外接球的表面積為，則該正四棱臺的表面積為.【答案】或【分析】設(shè)正四棱臺上下底面所在圓面的半徑分別為，，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，，由，可得，，進而求得棱臺側(cè)高，即可求解.【詳解】設(shè)外接球的半徑為，由，得，設(shè)正四棱臺上下底面所在圓面的半徑分別為，（根據(jù)正方形外接圓半徑與邊長關(guān)系），設(shè)球心到上下底面的距離分別為，，由，可得，，則正四棱臺的高或，側(cè)面梯形的高或，正四棱臺的表面積，或正四棱臺的表面積.故答案為：或【相似題3】（2025·河北保定·模擬預(yù)測）已知圓臺的上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，則該圓臺的外接球的體積為.【答案】/【分析】作出圖形，設(shè)圓臺上、下底面的圓心分別為、，則外接球球心在直線上，設(shè)，根據(jù)圓臺的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，解出的值，可求出球的半徑，結(jié)合球體的體積公式可求得球的體積.【詳解】設(shè)圓臺上、下底面的圓心分別為、，取該圓臺的軸截面，則該圓臺的外接球球心在直線上，連接、，設(shè)，則，由，即，即，解得，因為該圓臺的外接球半徑為，因此，所以該圓臺的外接球的體積為.故答案為；.【題型5：對棱相等模型】【知識講解】1.定義與特征：對棱相等的三棱錐是指三棱錐的三組對棱分別相等。這種三棱錐具有一定的對稱性，它可以通過一個長方體的面對角線構(gòu)成。2.外接球的性質(zhì)： 由于對棱相等的三棱錐與長方體的特殊關(guān)系，其外接球與長方體的外接球是同一個球。 設(shè)三棱錐的對棱分別為，，，那么可以將其補成長方體，長方體的體對角線就是外接球的直徑$2R$。解題思路1.補形法： 第一步，根據(jù)三棱錐對棱相等的條件，將其補成長方體。設(shè)長方體的長、寬、高分別為，，。 第二步，由對棱相等的關(guān)系得到方程組。 第三步，將三個方程相加，得到，即。 第四步，因為長方體的體對角線長，而外接球直徑，所以，則可求出外接球半徑。2.空間向量法（選學(xué)，適用于部分問題）： 第一步，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三棱錐的頂點坐標(biāo)，根據(jù)對棱相等的條件列出向量等式。 第二步，利用向量的模長公式和數(shù)量積公式，結(jié)合外接球的性質(zhì)，即球心到三棱錐各頂點的距離相等，列出關(guān)于球心坐標(biāo)和半徑的方程組。 第三步，解方程組求出球心坐標(biāo)和半徑。空間向量法計算量相對較大，一般情況下補形法更為常用和簡便。但在一些特殊情況下，如已知三棱錐頂點坐標(biāo)或其他與向量相關(guān)條件時，空間向量法可能會發(fā)揮作用例題精選例題精選【例題1】（2425高三上·遼寧·期末）已知四面體的四個頂點均在球的球面上，，，，若，則球體積的最小值為.【答案】【分析】將四面體放置在長方體中，設(shè)長方體的3條棱長分別為，，，則球的半徑為，將平方，利用基本不等式求得，進而，代入球的體積公式求解即可.【詳解】因為，，，所以可以將四面體補成一個長方體，使得四面體的6條棱為長方體的6條面對角線，設(shè)長方體過同一頂點的3條棱長分別為，，，球的半徑為，則，由，得，因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，所以，則球的體積為，所以球體積的最小值為.故答案為：相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）已知四面體中，，，，則該四面體外接球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，將四面體放入長方體中，求出長方體的體對角線長即可計算得答案.【詳解】在四面體中，，，，則該四面體的相對棱可為某個長方體三組相對面的面對角線，長方體的外接球即為四面體的外接球，設(shè)長方體的共點的三條棱長依次為，外接球半徑為，則，于是，所以該四面體外接球的表面積為故答案為：【相似題2】（2425高三上·全國·自主招生）如圖，三棱錐中，，，則該三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】如圖，把三棱錐補成一個長方體，則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，長方體的對角線即為外接球的直徑，由此計算可得．【詳解】如圖，把三棱錐補成一個長方體，則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，由已知，所以，從而，為長方體的對角線，即為其外接球的直徑，所以外接球半徑為，球面積為，故答案為：．【題型6：垂面模型】【知識講解】線面垂直的外接球模型知識講解模型定義：在一個幾何體中，存在一條直線垂直于一個平面，且該直線上的某點（通常為線段端點）與平面內(nèi)的多邊形頂點共同構(gòu)成一個多面體，圍繞這個多面體的外接球就是線面垂直的外接球模型所研究的對象。常見的如三棱錐中，一條側(cè)棱垂直于底面三角形所在平面。關(guān)鍵性質(zhì)：設(shè)垂直于平面的直線為，垂足為，平面內(nèi)有一個多邊形，其外接圓半徑為，直線上的線段長度為（從垂足到線段端點的距離），外接球半徑為。在由球心、垂足和平面內(nèi)多邊形外接圓上一點構(gòu)成的直角三角形中，存在勾股定理關(guān)系（當(dāng)線段端點為外接球直徑的一個端點時）。若線段端點不是外接球直徑端點，則設(shè)球心到垂足的距離為，有，同時根據(jù)線面垂直和線段長度關(guān)系確定與的聯(lián)系。對于平面內(nèi)的多邊形，若為三角形，可根據(jù)正弦定理求其外接圓半徑。設(shè)三角形的三個內(nèi)角為、、，對應(yīng)的邊長為、、，則。線面垂直的外接球模型解題思路分析確定線面垂直關(guān)系及相關(guān)線段：仔細分析題目所給的幾何體，準(zhǔn)確找出垂直于平面的直線以及該直線在平面上的垂足。明確直線上與外接球相關(guān)的線段長度。例如在三棱錐中，若平面$ABC$，則$PA$就是垂直于平面$ABC$的直線，為垂足，要確定$PA$的長度。求解平面內(nèi)多邊形的外接圓半徑:如果平面內(nèi)的多邊形是三角形，使用正弦定理。如已知中，，則。若平面內(nèi)多邊形不是三角形，可通過其特殊性質(zhì)（如正多邊形的幾何性質(zhì)）來求外接圓半徑。例如正六邊形，其外接圓半徑等于邊長。計算外接球半徑:若垂直直線上的線段端點為外接球直徑的一個端點，直接將和代入求解。例如，，則，。若線段端點不是外接球直徑端點，設(shè)球心到垂足的距離為，根據(jù)已知條件確定與的關(guān)系，再代入求解。比如已知球心在直線上且位于垂足和線段端點之間，且，球心到垂足的距離，，則，。例題精選例題精選【例題1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）三棱錐P?ABC的各頂點都在同一球面上，底面ABC，若，，且，則下列說法正確的是（）A．是鈍角三角形 B．此球的表面積等于6πC．平面PAC D．三棱錐A?PBC的體積為【答案】C【分析】由余弦定理可得，，從而可得平面PAC，即可判斷C，由余弦定理代入計算，即可判斷形狀，從而判斷A，求得外接球的半徑即可判斷B，由錐體的體積公式即可判斷D.【詳解】如圖，在底面三角形ABC中，由，，，利用余弦定理可得：，∴，即，由于底面ABC，∴，，∵，∴平面PAC，故C正確；∴，由于，即為銳角，∴是頂角為銳角的等腰三角形，故A錯誤；取D為AB中點，則D為的外心，可得三角形外接圓的半徑為1，設(shè)三棱錐的外接球的球心為O，連接OP，則，即三棱錐的外接球的半徑為，∴三棱錐球的外接球的表面積等于，故B正確；，故D錯誤；故選：C.【例題2】（2025·安徽黃山·一模）已知三棱錐的四個面均為直角三角形，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造如圖所示的長方體，易知三棱錐的外接球就是長方體的外接球，可得，結(jié)合球的表面積計算公式即可.【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造如圖所示的長方體，設(shè)其外接球的半徑為，易知三棱錐的外接球就是長方體的外接球，則，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：D.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二上·上海長寧·期末）在三棱錐中，平面，，若點A，B，C，D均在球O的表面上，且，則球O的表面積為.【答案】【分析】由條件，三棱錐的頂點都為棱長為1的正方體的頂點，所以將三棱錐補成正方體，正方體的外接球即為三棱錐的外接球，進而求得半徑即可求解.【詳解】由題意可知三棱錐的頂點都為棱長為1的正方體的頂點，將三棱錐補成正方體，棱長為1，故其該正方體的外接球的直徑為，即三棱錐的外接球的直徑為，則三棱錐的外接球的半徑為，則球O的表面積為.故答案為：.【相似題2】（2425高三下·四川成都·開學(xué)考試）在三棱錐平面，則此三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【分析】先求等邊三角形外接圓半徑，根據(jù)幾何關(guān)系確定外接球球心位置，列勾股定理方程確定該三棱錐的外接球的半徑即可.【詳解】因為，所以為等邊三角形，所以，等邊外接圓的半徑為，如圖，三棱錐外接球球心為，半徑為，設(shè)球心到平面的距離為，外接圓圓心為，連接，則平面，取中點，所以，又平面，所以，則四邊形是矩形，所以在和中，由勾股定理可得，解得：，表面積.故答案為：【題型7：二面角模型“雙距離單交線”】【知識講解】二面角模型的外接球知識講解模型定義：在一個空間幾何圖形中，存在一個二面角，該二面角的兩個半平面內(nèi)分別有一些點，這些點共同構(gòu)成一個多面體，圍繞此多面體的外接球就是二面角模型的外接球。常見的是三棱錐中，兩個面所成的二面角已知，且這兩個面內(nèi)的棱與頂點關(guān)系明確。關(guān)鍵性質(zhì)：設(shè)二面角的大小為，在二面角的兩個半平面、內(nèi)分別找到兩個三角形、（以三棱錐為例），這兩個三角形的外接圓半徑分別為、。設(shè)球心到兩個半平面、的距離分別為、，外接球半徑為。若能找到二面角的平面角與球心位置的關(guān)系，可通過一些幾何關(guān)系構(gòu)建等式。例如，在由球心、兩個三角形外接圓圓心以及二面角棱上一點構(gòu)成的圖形中，利用三角函數(shù)等知識建立聯(lián)系。同時，根據(jù)球心到兩個三角形各頂點距離相等，有和。并且，、與二面角之間存在一定的空間幾何關(guān)系，比如在一些特殊情況下，可通過作垂線等方式，利用直角三角形中的三角函數(shù)關(guān)系表示、的關(guān)系。二面角模型的外接球解題思路分析明確二面角及相關(guān)幾何元素：仔細讀題，確定二面角的兩個半平面以及二面角的大小。例如，在三棱錐中，面$PAB$與面$ABC$所成二面角為，這就是要重點關(guān)注的二面角。找出二面角兩個半平面內(nèi)與外接球相關(guān)的三角形，明確這些三角形的邊長、角度等信息。比如在面$ABC$中，已知的三邊長度分別為、、。計算兩個半平面內(nèi)三角形的外接圓半徑：對于在半平面內(nèi)的三角形，若為一般三角形，使用正弦定理求其外接圓半徑。如中，已知，，根據(jù)，可得。同理，計算半平面內(nèi)三角形的外接圓半徑。若該三角形有特殊性質(zhì)，如為正三角形，其外接圓半徑可直接根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得（設(shè)正三角形邊長為，則）。確定球心到兩個半平面的距離關(guān)系：通過作輔助線，構(gòu)建與二面角相關(guān)的空間圖形。比如過球心分別作兩個半平面、的垂線，垂足分別為、，連接、以及二面角棱上一點，形成直角三角形等幾何圖形。利用二面角以及已有的幾何關(guān)系，找出、的關(guān)系。若二面角，且在構(gòu)建的直角三角形中，可能存在（具體關(guān)系根據(jù)實際圖形確定）。計算外接球半徑：由和得到。將前面得到的、以及與的關(guān)系代入上式，解出或的值（設(shè)解出）。最后將和代入，求出外接球半徑。例如，解出，則，。二：雙距離單交線公式模型概述：雙距離單交線模型是指在空間中有兩個相交平面，設(shè)交線為。在這兩個平面內(nèi)分別有一個點（或三角形等幾何圖形，通常重點關(guān)注與外接球相關(guān)的點），存在兩個關(guān)鍵距離，一是其中一個平面內(nèi)的點到交線的距離，二是另一個平面內(nèi)的點到交線的距離，以及這兩個平面所成二面角，通過這些元素來確定外接球半徑。適用范圍：適用于已知上述特定幾何關(guān)系，求解外接球半徑或與外接球相關(guān)的問題，常見于三棱錐等多面體中，其中兩個面的二面角以及面上點到交線的距離可求。二、公式推導(dǎo)（利用余弦定理）構(gòu)建幾何圖形：設(shè)兩相交平面、，交線為。在平面內(nèi)有點，到的距離為；在平面內(nèi)有點，到的距離為。設(shè)球心為，過作于，過作于。設(shè)（可由已知條件間接確定，若、在交線上投影重合，則）。設(shè)球心到平面的距離為，到平面的距離為，且與二面角以及、存在幾何聯(lián)系。在相關(guān)三角形中運用余弦定理：連接$AB$，設(shè)。在中，與二面角相等或互補，設(shè)（若互補則后續(xù)取負(fù)值）。根據(jù)余弦定理，在中，，即。設(shè)球心在平面上的投影為，在平面上的投影為。由勾股定理可知，在以球心、和構(gòu)成的直角三角形中，（為所在平面內(nèi)以為頂點的三角形外接圓半徑，若只考慮點，可看作相關(guān)的一種特殊情況），同理。又因為、與、以及存在如下關(guān)系：設(shè)到的距離為，到的距離為，通過構(gòu)建輔助線和直角三角形，利用三角函數(shù)關(guān)系可得，，且、、、與相關(guān)。經(jīng)過一系列復(fù)雜的幾何關(guān)系推導(dǎo)（如在多個直角三角形中運用勾股定理和三角函數(shù)關(guān)系），最終可得雙距離單交線外接球半徑公式：其中為、兩點間距離（若已知其他幾何關(guān)系，可通過轉(zhuǎn)化用、、、等表示）。三、解題思路分析題目條件：確定兩個相交平面以及交線。找出平面內(nèi)相關(guān)點到交線的距離和。明確兩個平面所成二面角的大小或能通過已知條件求出。若涉及兩點距離，看能否由已知條件得出或通過、、、等計算得出。選擇合適公式形式：若已知兩點距離，直接代入上述完整公式。若未直接給出，但知道其他幾何關(guān)系，先嘗試根據(jù)余弦定理求出，再代入公式。例題精選例題精選【例題1】（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知二面角的大小為，且，，若四點，，，都在同一個球面上，當(dāng)該球體積取最小值時，等于.【答案】【分析】設(shè)，則，由題意知三棱錐外接球的球心是過△PAB和△ABC的外心E，H，且分別垂直這兩個三角形所在平面的垂線的交點O，OB為三棱錐外接球半徑，進而求半徑表達式并利用配方法求出球半徑的最小值，從而可得的值.【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的體積為，所以球體積取得最小值時，則球的半徑最小.設(shè)，則，由題意知三棱錐外接球的球心是過和的外心E，H，易知分別為的中點，且四點共圓，且分別垂直這兩個三角形所在平面的垂線的交點O，為三棱錐外接球半徑，取的中點為G，如圖：由條件知，在中，由余弦定理可得，∴的外接圓直徑，當(dāng)時，球的半徑取得最小值.故.故答案為：【例題2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）在邊長為6的菱形中，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【分析】當(dāng)平面平面時三棱錐的體積最大，設(shè)分別為，外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，求出外接球的半徑，即可得解.【詳解】當(dāng)平面平面時三棱錐的體積最大，如圖，取的中點為，連接，，則，設(shè)分別為，外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在上，在上，且，且，平面，平面，因為平面平面，平面平面，平面，，故平面，故，同理，故四邊形為平行四邊形，因為平面，平面，故，故四邊形為矩形，故，而，故外接球半徑，故外接球的表面積為．故答案為：【例題3】（2425高二上·江西撫州·期末）在平面凸四邊形中，，，且，，將四邊形沿對角線折起，使點A到達點的位置.若二面角的大小范圍是，則三棱錐的外接球表面積的取值范圍是.【答案】【分析】取中點，連接，取的外心，過點作平面，過點作平面交于點，進而確定球心的位置及二面角的平面角為并確定范圍，利用幾何關(guān)系求球體半徑，即可得球體表面積的范圍.【詳解】由題意知，和是等邊三角形，取中點，連接，取的外心，則是的外心，過點作平面，則三棱錐的外接球球心在上過點作平面交于點，則點即為三棱錐的外接球球心，由，知，為二面角的平面角，則，設(shè)，則，又，所以，因為平面，平面，所以，所以三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐外接球的表面積.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)球心的性質(zhì)確定位置，并求出二面角的平面角的范圍為關(guān)鍵.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2223高二上·四川德陽·期末）在邊長為6的菱形中，，沿對角線將折起，使得二面角的大小為，連接，則四面體的外接球的表面積為．【答案】【分析】取中點，分別取和的外心，過分別作平面和平面的垂線，交于點，則是四面體外接球球心，中，求得，求出半徑后可得表面積．【詳解】如圖，取中點，連接，分別取和的外心，過分別作平面和平面的垂線，交于點，則是四面體外接球球心，連接，由原平面圖形是菱形，且，知，分別在上，且，是二面角的平面角，因此，是等邊三角形，邊長為，，中，，所以，又，所以，所以四面體的外接球的表面積為，故答案為：．【相似題2】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，二面角的平面角為，則該球的表面積是【答案】/【分析】取中點，連接，推得，即得是等邊三角形，分別取與的外心，過分別作兩平面的垂線，兩線相交于點，可得點為四面體的外接球的球心，分別求出，即可求得外接球半徑即得.【詳解】如圖，取中點，連接，因，則，且，又二面角的平面角為60°，即，故是等邊三角形，分別取與的外心，過分別作兩平面的垂線，兩線相交于點，則點為四面體的外接球的球心，由已知可得，連接，易得，故得，，則，在中，，故該球的表面積是.故答案為：.【點睛】思路點睛：本題主要考查三棱錐的外接球的半徑求法問題，屬于難題.解題思路在于：先找到二面角的平面角，推得正三角形，分別取與的外心，過分別作兩平面的垂線，兩線相交于點，即外接球球心，結(jié)合圖形即可求得外接球半徑.【題型8：外接球中的最值范圍問題】【知識講解】分析最值與范圍的方法建立函數(shù)關(guān)系：將外接球的半徑或相關(guān)量表示為某個變量的函數(shù)，然后通過分析函數(shù)的性質(zhì)來確定最值或范圍。例如，在一個三棱錐中，如果底面三角形的邊長固定，而側(cè)棱長可以變化，那么可以將外接球半徑表示為側(cè)棱長的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)來求解最值。利用幾何性質(zhì)：根據(jù)幾何體的幾何性質(zhì)來確定外接球半徑的取值范圍。例如，在一個三棱錐中，如果三條側(cè)棱兩兩垂直，那么其外接球的直徑就是以這三條側(cè)棱為棱長的長方體的體對角線，此時外接球半徑（、、為三條側(cè)棱的長度），根據(jù)均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，可得出外接球半徑的最小值。考慮極端情況：通過分析幾何體的極端情況來確定外接球半徑的最值或范圍。例如，當(dāng)一個三棱錐的某個面逐漸縮小到一個點時，或者當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱共面時，外接球的半徑會趨近于某個極限值，通過分析這些極限情況，可以確定外接球半徑的取值范圍。例題精選例題精選【例題1】（2024·云南·一模）已知正四棱錐的高為，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正四棱錐的幾何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可得，進而由體積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.【詳解】如圖：設(shè)正四棱錐的高為，球的體積為，所以球的半徑，設(shè)正四棱錐的底面邊長為，則，解得，所以正四棱錐的體積，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，正四棱錐的體積取得最大值，最大值為.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是依據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系.【例題2】（2425高三上·河北·期中）在直三棱柱中，底面滿足，，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，利用柱體體積公式可得，計算可得出，利用導(dǎo)數(shù)可求得該三棱柱外接球表面積的最小值.【詳解】如下圖所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.本題中，將直三棱柱放在圓柱中，如下圖所示：設(shè)，因為，則，則的外接圓直徑為，，設(shè)，則，可得，，令，其中，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，故該三棱柱外接球的表面積，故選：A.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.【例題3】（2425高三上·重慶·階段練習(xí)）已知正三棱錐的高為，且各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，則三棱錐體積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由外接球的體積得出球半徑，再由正三棱錐得出體積，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.【詳解】如圖，設(shè)H為底面三角形的中心，PH為三棱錐的高，設(shè)為h，由題意得，，解得，該三棱錐為正三棱錐，,，，令，由，可得或（舍去），當(dāng)時，，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，.故選：B相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二上·浙江溫州·期中）如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，為等腰直角三角形，且，點在線段AD上，則三棱錐外接球的表面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，球心為，半徑為，結(jié)合題意可得，進而得到，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及球的表面積公式求解即可.【詳解】取的中點，連接，因為，所以，又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，又四邊形ABCD為矩形，以為原點，以所在直線為軸，以過點平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，則，則，，，設(shè)，三棱錐外接球球心為，半徑為，則，解得，即，因為，所以，則當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值3，即，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出坐標(biāo)，表示出外接球半徑的關(guān)系，進而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及球的表面積公式求解即可.【相似題2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，，若，則三棱錐外接球體積的最小值為．

【答案】【分析】利用外接球球心在過底面外接圓圓心的垂線上，通過球心到各頂點的距離想等來求解即可.【詳解】如圖，取中點，連接，則，，

又，，平面，則平面，因為平面，則，又，，，平面，所以平面，所以三棱錐的外接球球心必在過的中心且平行于的直線上，且，設(shè)，則，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則有，當(dāng)時，，故三棱錐外接球體積的最小值為．故答案為：.【題型9：一般外接球問題】【知識講解】確定球心位置根據(jù)幾何體的特征找球心 對于具有對稱性質(zhì)的規(guī)則幾何體，如正方體、長方體，球心位于其體對角線的中點。正棱柱的球心在上下底面中心連線的中點；正棱錐的球心在頂點與底面中心連線上。 對于一般的三棱錐，若有一條側(cè)棱垂直于底面，那么底面三角形的外心與這條側(cè)棱中點的連線的中點就是球心；若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可將其補成長方體，長方體的體對角線交點即為球心。利用面面垂直關(guān)系確定球心：如果幾何體中存在面面垂直的情況，可在其中一個面的外接圓圓心作垂直于該面的直線，這條直線與另一個面的外接圓圓心所確定的平面與兩個垂直面的交線垂直，球心就在這條交線上，再通過一些幾何關(guān)系確定球心的具體位置。計算球的半徑公式法：對于一些特殊的幾何體，有特定的公式計算外接球半徑。如正方體棱長為，其外接球半徑；正四面體棱長為，外接球半徑。構(gòu)造直角三角形法：這是最常用的方法。找到一個包含球心、幾何體的某個頂點以及底面外心（或其他關(guān)鍵中點）的直角三角形。例如，在三棱錐中，設(shè)底面的外心為，外接圓半徑為，球心為，點到平面$ABC$的距離為，則由勾股定理可得外接球半徑。其中可通過正弦定理（為的一邊，為所對的角）等方法求出，則根據(jù)已知條件通過幾何關(guān)系計算。向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出球心坐標(biāo)以及幾何體頂點坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點距離相等，即（、、等為幾何體頂點），列出方程組求解，得到球心坐標(biāo)和半徑。這種方法適用于幾何體的頂點坐標(biāo)容易表示的情況。例題精選例題精選【例題1】（2425高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點在同一個平面內(nèi)，如果是邊長為12的正方形，則這個八面體的外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)該八面體的特征，連接，則三線交于點，且平面，計算得到，即可求得其外接球體積.【詳解】因八面體的每一個面都是正三角形，是正方形，連接,則三線交于點，易得平面，在中，則，即，故個八面體的外接球的半徑為，故其體積為.故選：D.

【例題2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用正弦定理求的外接圓半徑，再求點到平面的距離，設(shè)三棱錐外接球半徑為，根據(jù)勾股定理列方程求出，進一步計算球的表面積.【詳解】如圖：在中，，由余弦定理：,所以，所以外接圓半徑為，即.在直角三角形中，，，所以.設(shè)棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，解得：.所以球的表面積為：.故選：A【例題3】（2425高二上·湖南·階段練習(xí)）從球外一點作球表面的三條不同的切線，切點分別為，令，，.若，，，則球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)題意，得到，得到為直角三角形，取的中點，由截面圓的性質(zhì)，可得平面，再由平面，得到四點共面，結(jié)合四邊形為正方形，求得，得到球的半徑，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，從球O外一點P作球O表面的三條不同的切線，且，，，可得，，則，可得，所以為直角三角形，取的中點，連接，由截面圓的性質(zhì)，可得平面，在中，，且的中點，可得，又由，所以，所以，因為，且平面，所以平面，所以與重合，所以四點共面，連接，則，所以四邊形為正方形，所以，即外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二上·河北邢臺·階段練習(xí)）在三棱錐中建立空間直角坐標(biāo)系后，得到，則三棱錐的體積為，三棱錐外接球的表面積為.【答案】1//【分析】由向量坐標(biāo)求出三棱錐的各棱長，由長度關(guān)系與數(shù)量積可得線面垂直關(guān)系，由垂直關(guān)系入手選定底面與高可求體積；設(shè)出球心坐標(biāo)，由建立方程組求解可得，進而求出球的半徑，則表面積可求.【詳解】由題意得，，所以有，且，則，平面，平面，且，故平面.又，所以，又，所以是正三角形，則，故三棱錐的體積；設(shè)三棱錐外接球的球心，則由可得，方程組，解得，故，所以.則外接球半徑為，則三棱錐外接球的表面積【相似題2】（2425高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知，，，四點都在球的球面上，且，，三點所在平面經(jīng)過球心，，，則點到平面的距離的最大值為，球的表面積為.【答案】4【分析】利用正弦定理求得外接圓半徑，結(jié)合題意可得球的半徑，再利用球的截面性質(zhì)與球的表面積公式即可得解.【詳解】在中，，.根據(jù)正弦定理（為外接圓半徑），這里，，所以，解得.因為、、三點所在平面經(jīng)過球心，所以球的半徑.因為、、三點所在平面經(jīng)過球心，當(dāng)垂直于平面時，點到平面的距離最大，這個最大值就是球的半徑，所以點到平面的距離的最大值為.則球的表面積為.故答案為：；.【相似題3】（2324高三上·四川雅安·期中）已知四面體的頂點都在球的球面上，且，，，，，則球O的表面積為．【答案】【分析】通過，，判斷中點即為球心,進而可求解.【詳解】∵四面體的頂點都在球的球面上，且，，，，，∴，，∴中點即為球心且半徑，∴球的表面積為故答案為：【題型10：外接球中的截面問題】【知識講解】截面的定義與性質(zhì)：用一個平面去截一個球，得到的平面圖形是圓面。若平面過球心，則得到的圓是大圓，其半徑等于球的半徑；若平面不過球心，得到的圓是小圓，小圓半徑、球心到截面的距離與球半徑滿足勾股定理。球的截面圓的圓心：對于球的截面圓，其圓心與球心的連線垂直于截面圓所在平面。與幾何體的關(guān)系：當(dāng)涉及到幾何體的外接球截面時，需要結(jié)合幾何體的特征來分析。例如，正方體的外接球，其截面可能會與正方體的面、棱等有特定的位置關(guān)系；正三棱錐的外接球截面可能會與底面三角形、側(cè)棱等相關(guān)。解題思路分析確定球心與截面的位置關(guān)系：首先要明確球心到截面的距離。這可能需要根據(jù)題目所給的幾何體的條件，通過幾何關(guān)系來求解。例如，若已知幾何體的棱長、高、角度等信息，可利用勾股定理、三角函數(shù)等知識求出。計算截面圓的半徑：根據(jù)上述勾股定理，在已知球半徑和球心到截面距離的情況下，求出截面圓的半徑。如果題目中沒有直接給出，則需要先根據(jù)幾何體的條件求出外接球半徑。分析截面的其他相關(guān)問題 截面圓的面積：求出半徑后，根據(jù)圓的面積公式可計算截面圓的面積。 截面與幾何體的交線：考慮截面與幾何體的棱、面等的交線情況，可能需要判斷交線的長度、形狀等。例如，截面與正方體的棱相交，可能需要求出交線的長度，這就需要結(jié)合正方體的棱長和截面的位置來計算。 角度問題：涉及到截面與幾何體的夾角，或者截面圓中圓心角、圓周角等問題。可以利用三角函數(shù)、三角形的內(nèi)角和定理等知識來求解。常見題型及解法已知幾何體求截面相關(guān)量：例如，已知一個棱長為的正方體的外接球，求過正方體一條面對角線的截面圓的半徑。首先求出正方體外接球半徑，然后根據(jù)正方體面對角線與球心的位置關(guān)系，求出球心到截面的距離（可通過構(gòu)建直角三角形求解），再利用求出截面圓半徑。已知截面條件求幾何體或球的相關(guān)量：如已知球的一個截面圓半徑為，球心到截面的距離為，且該球是一個正三棱錐的外接球，已知正三棱錐底面邊長，求正三棱錐的高。先根據(jù)求出球半徑，再結(jié)