三臺中學高2022級高三下期數學二輪復習資料立體幾何專題一、整體考情分析Ⅰ卷Ⅱ卷題號分值考查內容題號分值考查內容2022年單選4題單選8題多選9題解答題19題5分5分6分12分棱臺體積的計算正棱錐的外接球線面角，線線角點到面的距離，二面角單選7題多選11題解答題20題5分6分12分正棱臺的外接球三棱錐體積計算線面平行，二面角2023年單選12題填空14題解答題18題5分5分12分立體圖形的空間結構棱臺的體積線線平行，二面角單選9題填空14題解答題20題5分5分12分圓錐體積，側面積棱臺的體積線線垂直，二面角2024年單選5題解答題17題5分15分圓錐的體積線面平行，二面角單選7題解答題17題5分15分線面角線線垂直，二面角二、考查內容分析1、《普通高中數學課程標準》中對高中立體幾何的要求如下：(1)引導學生通過對空間圖形的觀察、操作、分析，認識空間點、直線、平面的位置關系，用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，并對某些結論進行論證。讓學生了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法。(2)幫助學生利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理和應用，體會平面向量和空間向量的共性和差異。引導學生運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關系和度量關系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異。(3)學生能認識和理解空間點、直線、平面的位置關系，能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。(4)學生能運用空間向量解決簡單的立體幾何問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用，發展學生的數學運算素養和直觀想象素養。2、根據《普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明》整理的高中立體幾何考試大綱內容：(1)認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構，會用斜二測法畫出它們的直觀圖。(2)了解球、棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、臺體的表面積和體積的計算公式。點、直線、平面之間的位置關系，理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解可以作為推理依據的公理和定理。以立體幾何的定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定定理。能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。(3)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示。掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量判斷向量的共線和垂直。理解直線的方向向量及平面的法向量。能用向量語言表示線線、線面、面面的平行和垂直關系。能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理。(4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算問題，點到直線、點到面的距離計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用。三、高考真題2022年新高考Ⅰ卷高考真題數學試卷(立體幾何部分)4.南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為()A. B. C. D.8.已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上，若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知正方體,則()A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.直線與平面ABCD所成的角為19.如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為.（1）求A到平面的距離；（2）設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值.2022年新高考Ⅱ卷高考真題數學試卷(立體幾何部分)7.已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A. B. C. D.11．如圖，四邊形ABCD為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則()A. B. C. D.20.如圖，是三棱錐的高，，E為的中點.（1）證明：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值.2023年新課標全國Ⅰ卷高考真題數學試卷(立體幾何部分)12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有()A.直徑為的球體B.所有棱長均為的四面體C.底面直徑為，高為的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體14.在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為___________.18．如圖，在正四棱柱中，，.點，，，分別在棱，，，上，，，.（1）證明：；（2）點在棱上，當二面角為時，求.2023年新課標全國Ⅱ卷高考真題數學試卷(立體幾何部分)9.已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為，則()A.該圓錐的體積為B.該圓錐的側面積為C. D.的面積為14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為____________.20.如圖，三棱錐中，，，，E為BC中點.（1）證明：；（2）點F滿足，求二面角的正弦值.2024年新課標全國Ⅰ卷高考真題數學試卷(立體幾何部分)5．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為()A. B. C. D.17.如圖，四棱錐中，底面，，，.（1）若，證明：平面PBC；（2）若，且二面角的正弦值為，求AD.2024年新課標全國Ⅱ卷高考真題數學試卷(立體幾何部分)7.已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為A. B.1 C.2 D.317.如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF翻折至，使得，（1）證明：；（2）求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.四、微專題微專題與空間幾何體的外接球、內切球有關的問題1．在長方體，，，則該長方體外接球的體積為.2．已知直三棱柱的外接球表面積為，，，則該三棱柱的體積為.3．已知直三棱柱存在內切球，若，，，則該三棱柱外接球的表面積為.4．已知側面積為的圓柱存在內切球，則此圓柱的體積為.5．在古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻有一個令他最引以為傲的幾何圖案.該幾何圖案是內部嵌入一個內切球的圓柱，且該圓柱底面圓的直徑與高相等，則該圓柱的內切球與外接球的體積之比為.6．三棱錐的三條棱，，兩兩互相垂直，且，，的長分別為2，，，則三棱錐的外接球的體積為.7．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為.8．已知圓錐的母線與底面所成角為，其內切球（球與圓錐底面及側面均相切）的表面積為，則該圓錐的體積為.9．已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線長是底面半徑的倍，且球的表面積為，則圓錐的側面積為.10．已知圓臺內有一個球，該球與此圓臺的兩個底面和側面都相切，若圓臺的上、下兩個底面的半徑分別為1，4，那么這個球的體積為.11．已知某圓臺的上、下底面的圓周在同一球的球面上，且圓臺上底面的面積為，下底面的面積為，高為1，則該圓臺的外接球的體積為________.12．已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為，其內切球的半徑為1，則該正四棱臺的側面積為________.13．在正四棱臺中，上、下底面邊長分別為，，該正四棱臺的外接球的表面積為，則該正四棱臺的高為__________.五、教材原題1.如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=CC1，求證：CA1⊥平面C1BD.如圖，在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN的夾角余弦值.如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，求平面AA1B與平面A1BC1的夾角余弦值.如圖，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求：(1)直線AD與直線BC所成角的大小；(2)直線AD與平面BCD所成角的大?。?3)平面ABD與平面BDC的夾角的余弦值.如圖，二面角αlβ的棱上有兩個點A，B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱l.若AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，求平面α與平面β的夾角.如圖，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中點，P是BM的中點.點Q在線段AC上，且AQ=3QC.求證PQ∥平面BCD.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F，G分別在棱A1A，A1B1，A1D1上，A1E=A1F=A1G=1，點P，Q，R分別在棱CC1，CD，CB上，CP=CQ=CR=1.求證：平面EFG∥平面PQR.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=3.M是AB的中點，N是B1C1的中點，P是BC1與B1C的交點.在線段A1N上是否存在點Q，使得PQ∥平面A1CM？如圖裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且他們所在的平面相互垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM與BN的長度保持相等，記CM=BN=a（）.求MN的長；a為何值時，MN的長最??？當MN的長最小時，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F分別在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.(1)求證：A1C⊥平面AEF；(2)當AB=4，AD=3，AA1=5時，求平面AEF與平面D1B1BD的夾角的余弦值.如圖，在棱長為a的正方體中，E，F分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF.(1)求證：；(2)當三棱錐的體積取得最大值時，求平面與平面BEF的夾角正切值.已知空間三點A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）.(1)求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積；(2)若向量a分別與垂直，且|a|=，求向量a的坐標.如圖，α∥β∥γ，直線a與直線b分別交α，β，γ于點A，B，C和點D，E，F，求證.如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點.平面AEF與平面PBC是否垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由.三個平面可以將空間分成幾部分？正方體各面所在的平面將空間分成幾部分？六、本專題教學建議1、二輪復習資料的刪減高考專題第6講，刪除P35例3（2），及對點自測；需要重點講解的題目有：P34重溫高考1,2,4；P35例2高考專題第7講，沒有刪減的地方，需要重點講解的題目有:P37重溫高考1,4；P39例2P40例3高考專題第8講，沒有刪減的地方，需要重點講解的題目有:P43對點自測（2024衡陽模擬）第（1）小問，P45例5第（1）小問。需要增加知識點是:平面與平面所成的角。2、知識梳理引導學生系統梳理立體幾何的基本概念，如空間點、線、面的位置關系，柱、錐、臺、球的結構特征等，通過對比、舉例等方式加深理解，避免概念混淆。3、方法訓練強化空間想象能力的訓練，讓學生多觀察實物模型、多畫圖等，通過“實物—圖形—文字—符號”的轉化，提高學生對空間圖形的感知和理解能力。注重解題方法的總結歸納，如證明線面平行常用的方法有構造平行四邊形、利用三角形中位線等；求角的大小，點到面、點到線