1.2系統及其模型

一、系統的特性

系統具有如下特性：

<1)系統的性能不僅與系統的元素有關，而且還與系統的結構有關；

(2)系統的內容比組成系統各元素的內容要豐富得多；

(3)系統往往表現出在時域、頻域或空域等域內的動態特性。

二、機械系統

以實現一定的機械運動、輸出一定的機械能，以及承受一定的機械載荷為目的的系統，稱

為機械系統。對于機械系統，其輸入和輸出分別稱為“激勵”和“響應

三、系統模型

系統的模型包括實物模型、物理模型和數學模型等等。而數學模型乂包括靜態模型和動態

模型。動態模型在一定的條件下可以轉換成靜態模型。在控制理論或控制工程中，一般關心的

是系統的動態特性，因此，往往需要采用動態數學模型。即，一般所指的系統的數學模型是描述

系統動態特性的數學表達式。

1.3反饋

一、系統方框圖及其組成

系統方框圖由許多對信號(量)進行單向傳遞的元件方框和一些連線組成，表征了系統各

元件之間及系統與外界之間進行信息交換的關系。它包括三個基本的單元，即

引出點(分支點)：表示信號的引出或信號的分支，箭頭表示信號的傳遞方向，線上標記信

號的名稱，如圖1.3.L(a)所示.

比較點(相加點)：表示兩個或兩個以上的信號進行相加或相減運算”表示信號相加；

“一”表示信號相減，如圖1.3.1.(b)所示。

元件方框：方框中寫入元、部件的名稱，進入箭頭表示其輸入信號；引出箭頭表示其輸出信

號，如圖1.3.1.(c)所示。

工lto彳1±6X._________

-------———―-幾部件名

6)引出點(b)比較點(c)元件方框

I?11.3.)系統方框圖的基本組成單元

二、信息及信息反饋的概念

信息:一切能表達一定意義的信號、符號和密碼等統稱為信息。

反饋（信息反饋）:將系統的輸出部分或全部地返回到系統的輸入端并共同作用于系統的

過程，稱為反饋或信息反債。

三、內反饋和夕卜反饋

內反饋:在系統或過程中存在的各種自然形成的反饋,稱為內反饋。它是系統內部各個元

索之間相互耦合的結果。內反饋是形成機械系統動態特性的根本原因，紛繁復雜的內反饋的存

在使得機械系統變得異常復雜。讀者對于機械系就中普遍存在的內反饋現象應引起足夠的重

視.

外反饋:在自動控制系統中，為達到某種控制目的而人為加人的反饋,稱為外反饋。

1.4系統的分類及對控制系統的基本要求

一、控制系統的基本概念

被控對象:在控制理論和控制技術中，運動規律或狀態需要控制的裝置稱為被控對象（控

制對象）。被控對象可大可小,甚至可“實”可"虛

控制器:在控制系統中,除被控對象以外的所有裝置，統稱為控制器.

給定元件:控制系統中主要用于產生給定信號（輸入信號、希望值）的元件。

反饋元件（通量兀件）:控制系統中用于測量被控量（輸出量），產生反饋信號的元件。反饋

信號與輸出量之間往往存在璃定的函數關系“

比較元件:控制系統中用以比較輸出信號與反饋信號，并求取偏差信號的元件。有時并非

為物理兀件，可能通過物理定律或其他定律實現。

放大元件:控制系統中對輸人信號或偏差信號進行幅值放大或功率放大的元件.

執行元件:控制系統中直接對被控對象進行操作的元件。

被控制量:表征被控對象運動規律或狀態的物理量。實質上是系統的輸出（輸出量）。

希望值:希望的被控對象運動規律或狀態的物理量（或你輸入量、系統輸入）.

偏差:系統的輸入量與反饋量之差或之和（即比較環節的輸出值）.

控制量:被控對象的輸入量。由于往往是偏差量的某種函數，因此，也可籽偏差量看成控制量。

擾動量（干擾）:指除給定量以外，所有使得被控制量偏離給定值的因素，擾動量包括因系

統外部因素發生變化而引起的外擾動量和因系統內部因素所引起的內擾動量。

人工控制:在人的直接參與下,使被控對象的被控制量按預定的規律運動或變化的控制方式.

自動控制:在無人直接參與的情況下，利用一組裝置使被控對象的被控制量按預定的規律

運動或變化的控制方式。

自動拄制系統:被控對象和參與實現其被控制量自動控制的裝置或元、部件的組合。

二、對廣義系統按反饋的情況進行分類

(1)開環系統：當一個系統以所需的方框圖表示而沒有反饋問路時，稱之為開環系統。

開環控制系統一般由給定元件、放大元件、執行元件、被控對象等單元組成，其方框圖可表

示成如圖1,4.1的形式3

輸出

被控對象

圖1.4.1開環控制系統方框圖

(2)閉環系統:當一個系統以所需的方框圖表示而存在反饋回路時，稱之為閉環系統。閉環

控制系統一般由給定元件、比較元件、放大元件、執仃元件、被控對象、測量元件等單元組成，其

方框圖可表示成如圖1J,2的形式。

?1.4.2閉環控制系統方框圖

若將控制系統按被控對象和控制器兩部分進行劃分,則開環系統和閉環系統還可以分別

表示為如圖L4.3(a)、(b)的形式。

(a)開環系統(b)困壞系統

圖1.4.3系統方框圖的簡化形式

一個閉環自動控制系統的工作過程大體上可分為以下幾個步驟：

1)測量被控制置的實際值；

2)將實際值與給定值進行比較，求出偏差的大小與方向；

3)根據偏差的大小與方向進行控制以糾正偏差。

簡單地講，閉環自動控制系統的工作過程就是一個“檢測偏差并用以糾正偏差”的過程。

按反饋的作用不同，將反饋分為正反饋和負反饋。其中，兒能使系統的偏差的絕對值增大

的反饋，就稱為正反饋;而能使系統的偏差的絕對值減小的反饋，則稱為負反饋。

三、對自動控制系統按輸出的變化規律進行分類

(1)自動調節系統:在外界的作用下,系統的輸出仍能基本保持為常量的系統，也稱為便定

系統或值值系統.

(2)倍動系統;在外界的作用下，系統的輸出能相應于輔入在廣闊范圍內校任意規律變化

的系統.

(3)程序控制系統:在外界的作用下，系統的輸出按預定程序變化的系統。

另外，廣義系統還可根據足否滿足桎加性而分為線性系統和非線性系統;根據系統中信號

或變量是否全是連續量而分為連續系統和離散系統(或模做系統和數字系統);根據系統的功

能可分為溫度控制系統、速度控制系統等等，

四、對控制系統的基本要求

(D系統的穩定性。檢定性是指動態過程的族蕩傾向和系統能夠恢復平衡狀態的能力。稔

定性的要求是系統工作的首要條件。

(2)系統響應的快速性。快速性是指當系統輸出量與紿定的輸入量之間產生偏差時，消除

這種偏差的快速程度。

(3)系統響應的準確性。唯確性指在調整過程結束后輸出量與給定的瑜人量之間的偏差，

亦稱為靜態精度。

五、自動控制系統方框圖的繪制步寐

(1)分析控制系統的工作原理，找出被控對象。

(2)分清系統的輸入量、輸出量.

(3)按照控制系統各環節的定義，找出相應的各個環節。

(4)按信息流動的方向將各個環節用元件方框和連線連接起來。

基本要求、重點與難點

一、基本要求

(】)了解機械工程控制論的基本含義和研究對象,學習本課程的目的和任務;掌握廣義系

統動力學方程的含義。

(2)了解系統、廣義系統的概念;了解系統的基本特性；了解系統動態模型和靜態模型之間

的關系。

⑶掌握反饋的含義，學會分析動態系統內信息流動的過程，掌握系統或過程中存在的反帳

F)了解正反饋、負反饋、內反饋、外反饋的概念.

(5)了解廣義系統的幾種分類方法;軍握閉環控制系統的工作原理、組成;學會繪制控制系

統的方框圖，

(6)了解控制系統中基本名詞和基本變量.

(7)了解對控制系統的基本要求。

二、本章重點

(1)學會用系統論、信息論的觀點分析廣義系統的動態特性、信息流，理解信息反憒的含義

及其作用。

(2)掌握控制系統的基本概念、基本變量、基本組成和工作原理；繪制控制系統方框圖。

三、本章難點

廣義系統的信息反饋及控制系統方框困的繪制。

例題

例L1設電熱水器如圖(例1.1.a)所

示。為了保持希望的溫度，由溫控開關接通或

斷開電加熱器的電源。在使用熱水時，水箱中

流出熱水并補充冷水。試說明該系統工作原理

并畫出系統的方框圖。

解在電熱水器系統中，水箱內的水溫需

要控制，即水箱為被控對象。水的實際溫度是

被控制量，或稱為系統的輸出量，設為TeCCh

圖（例1.l.a）輸入量為用戶希望的溫度(給定值)，設為

7；(C)：由于放出熱水并注入冷水或水箱散熱

等原因而使水箱內水溫下降成為該系統的主要干擾。

當7。(0=7,(0時，水箱的實際水溫經測溫元件檢測，并將實際水溫轉化成相應的電

信號，與溫控開關預先設定的信號進行比較而得到的偏差為零，此時電加熱器不工作，水箱中

的水溫保持在希望的溫度上。當使用熱水并注入冷水時，水溫下降，此時C)<T,('C),則

偏差不為零而使溫控開關工作。于是電源接通，電加熱器開始對水箱內的水進行加熱，使水溫

上升，直到T(.('C)K7XC)時為止"系統控制方框圖如圖(例1.Lb)所示。

給定元件

圖1例1.1.b)電熱水器方框圖

例1.2圖（例1.2.a）為一恒溫箱的溫度控制系統，試分析這個系統的自動調溫過程并說

明這個系統的輸出最、輸入量、控制量和擾動量各是什么。

圖（例1.2.a）

解在該系統中恒溫箱內的溫度需要被控制，因此，恒溫箱為被控制對象。恒溫箱的實際

溫度為被控制量（系統的輸出量），設為T°（C）；希望的恒溫箱的溫度為系統的輸入量（給定

值），設為Ti（C）;加熱電阻絲的輸出功率為控制量;而恒溫箱散熱量為系統的擾動量。

恒溫箱的溫度是由給定的電壓信號內和熱電偶輸出的電壓信號劭之間的偏差?-?2控

制的。當兀（C）=7：（C）時,3-劭=0,即偏差為零，此時系統不工作，恒溫箱的溫度保持在希

望的溫度上。當外界因素引起箱內溫度變化時，偏差信號為一即#0,偏差經電壓和功率放大

后，使電機的轉速和轉向發生改變，并通過傳動裝置拖動調壓器的動觸頭。當溫度偏高時，動觸

頭向著減少電流的方向移動，反之加大電流,直到溫度達到給定值為止。系統控制方框圖如圖

（例L2.b）所示。

圖（例1.2,b）恒溫箱溫度控制系統方框圖

習題與解答

II機械工程控制論的研究對象和任務是什么？

解機械工程控制論實質上是研究機械工程中廣義系統的動力學問題。具體地說,它研究

的是機械工程技術中的廣義系統在一定的外界條件（即輸入或激勵，包括外加控制與外加干

擾)作用下，從系統的??定的初始狀態出發，所經歷的由其內部的固有特性(即由系統的結構與參

數所決定的特性)所決定的整個動態歷程:研究這一系統及其輸入、輸出二者之間的動態關系。

從系統、輸入、輸出三者之間的關系出發，根據已知條件與求解問題的不同，機械工程控制

論的任務可以分為以下五方面：

(1)已知系統、輸入，求系統的輸出，即系統分析問題；

(2)已知系統和系統的理想輸出，設計輸入，即最優控制問題；

(3)已知轆人和理想輸出，設計系統,即最優設計問題；

(4)輸出已知，確定系統，以識別輸入或輸入中的有關信息，此即濾波與預測問題；

(5)系統的輸入和輸出已知,求系統的結構與參數，即系統辨識問題，

1.2什么是內反饋？為什么說內反饋是使機械系統紛繁復雜的主要原因？

解內反饋是指在系統內存在著的各種自然形成的反饋。它主要由系統內部各個元素之間的

相互耦合而形成。內反饋反映系統內部各參數之間的內在聯系,其存在對系統的動態特性有非常敏

銳的影響，而機械系統存在的內反饋情況千差萬別、錯綜復雜，因此使得機械系統紛繁復雜。

13試分析如圖(題L3.a)所示系統的內反憒情況。

圖(題1.3.a)用(題I.3.b)系統的方框即

解分別對叫進行受力分析，并列寫其動力學方程

ikt(xt-T])=f(t)(1)

叫五十4(心-,r2)+A?=0(2)

由⑴有

m?工+kzxz=/Q)T/⑶1(3)

由⑵有

m吊+(怎+A)Jj=k,.r,(4)

若以/⑴為系統的輸入，A(f)為系統的輸出，則系統的動力學方程可用圖(題1.3.b)所

示的方福圖表示。顯然,該系統存在內反饋。

1-4試分析如圖(題1.4.a)所示機械加工過程的內反饋情況。

解當刀具以名義進給量，進行切削時，在切削過程中產生切削力外,而使機床-工件系統發

生變形退讓y,減少了刀具的實際進給°,此時a=s-y,進而又影響到切削力的變化，如此循環，使

得切削過程為一個動態歷程，具有一些動態特性。其過程可用圖(題1.4.b)所示的方框圖表示。

圖（題用（題1.4.b）切削過程的方框圖

1.5什么是外反饋？為什么要進行反饋控制？

解外反饋是指人們為了達到一定的目的，有意加人的反饋,閉環捽制系統的工作是基于

系統的實際輸出與參考輸人間的偏差之上的。在系統存在擾動的情況下，這種偏差就會出現。

進行適當的反饋控制正好能檢測出這種偏差，并力圖減小這種偏差，而最終使得偏差為零。事

實上，反饋控制僅僅需為無法預計的擾動而設計，因為對可以預知的擾動,總可以在系統中加

以校正。

16試分析以下例子中哪些是人為地利用反饋控制，以達到預期指標的自動控制裝置，

（1）蒸汽機的調速系統（參閱習題1.12）;（2）照明系統中并聯的電燈：（3）電冰箱的恒溫系

統；（4）家用全自動洗衣機.

解（1）、（3）為反饋控制系統；（2）.（4）不是反饋控制系統，詳細分析請參考習題1.12和

習題1.10的解答。

17在下列這些持續運動的過程中，都存在信息的傳輸，并利用反饋來進行控制,試加以

說明.

（1）人騎自行車；（2）人駕駛汽車M3）行駛中的船.

解（1）人騎自行車時，總是希望自行車具有一定的理想狀態（比如湮度、方向、安全等），

人腦根據這個理想狀態指揮四肢動作，使自行車按預定的狀態運動.此時，路面的狀況等因素

會對自行車的實際狀態產生影響，使得自行車偏離理想狀態，人的感覺器官感覺車子的狀態，

并將此信息返回到大腦.大腦根據實際狀態與理想狀態的偏差調整四肢動作，如此循環往復.

其信息流動與反饋的過程可以用圖（題L7）進行表示。同理，可以解群（2）人駕駛汽車、（3）行

I?）（K1.7）人胎自行車佰息浪動與反饋的過程

駛中的船等過程中存在的信息流動與反饋情況.

1.8對控制系統的基本要求是什么？

解對控制系統的基本要求有系統的穩定性、響應的快速性和響應的準確性等。其中，系

統穩定性是控制系統工作的苜要條件。

1.9將學習本課程作為一個動態系統來考慮，試分析這一動態系統的輸入、輸出及系統

的固有特性各是什么？應采取什么措施來改善系統特性，提高學習質量？

解本課程的學習可視為一個動態系統，由教師、學生及教學大綱等構成。這一系統的輸

人為教學大綱的要求，輸出為實際的教學質量，這個系統中教師的教學和學生的學習是影響系

統輸出的主要因素，而二者又是緊密聯系，相輔相成，缺一不可的。因此，在教學的過程中要充

分發揮這兩方面的積極性和能動性，及時反饋和交流思想，只有這樣才能較好地完成教學大綱

的要求，提高學習質量.

1.10日常生活中有許多開環和閉環控制系統,試舉出幾個具體例子，并說明它們的工作

原理。

解在日常生活中，有許多開環控制系統，如：全自動洗衣機、電風南、電動攪拌機等。就全

自動洗衣機而言，用戶輸入指令，機器按照用戶選擇的洗衣程序洗滌衣物。程序完成后，無論衣

物是否干凈，機器均停止工作。其方框圖如圖（題1.10）所示。

洗衣指令衣物干凈程度

癱&〔—■廠注衣機i一工云蕩—[

圖（題].10）

在日常生活中，也有許多閉環控制系統，如；電

冰箱、電熱水器等。其中，電熱水器的溫度控制系統

的工作原理及其控制方框圖，可參考例Lio

1.11圖（題1.ll.a）表示一個張力控制系統。

當送料速度在短時間內突然變化時，試說明控制系

統的工作原理。

解（1）在給定參考輸入下，即要求帶料速度為

某一數值，此時系統處于穩定狀態，由重錘G、動滑

輪/一等組成的系統力平衡。重錘的重力G、動滑輪的

重力F、帶的張力2T之間的關系為：2T=P+G.由

圖（題1.ll.a）于受力平衡，動滑輪在鉛直方向上不動，測量用的轉

盤不轉動，即測量頭的輸入軸不轉動。

（2）當送料速度在短時間內突然發生變化時，帶料在送料的過程中張力發生變化，此時力

平衡受到破壞，于是，動滑輪在鉛直方向上產生位移，測量用的轉盤轉動，并使測量頭輸入軸轉

動，其角位移輸入到放大器。

（3）角位移轉化為電信號經放大器放大后，輸入馬達按減小帶料張力變化的方向轉動。從

而抑制了張力的變化，達到控制張力的目的.該系統控制方框圖如圖（題Lil/）。實際上，該

系統的輸入為動滑輪自重尸和重錘重量G（可通過改變G調節帶料張力）；測量環節是帶料,

它產生張力T;比較過程是通過2T與P+G的平衡關系即轉盤是否產生角位移而實現；角位

移經傳感器轉化為電信號，然后經放大?作為執行元件馬達的輸入；馬達產生轉動對被控對象

帶料實施控制。

國（題1.11.b；

I-12圖（題L12.a）表示的是一角速度控制系統原理圖。離心調速器的軸由內燃發動機

通過減速齒輪獲得角速度為s的轉動，旋轉的飛錘產生的離心力被彈簧力抵消，所要求的速

圖（題1.12.3）

度卬由彈簧預紫力調準0當3突然變化時?試說明控制系統的作用情況.

解發動機無外來擾動時.離心調速器的旋轉角速度基本為-一定值?此時,離心調速器與

液壓比例控制器處于相對平衡狀態；當發動機受外來擾動?如負載的變化?使3上升，此時離

心調速器的滑套產生向上的位移，?杠桿的作用使液壓比例控制器的控制滑閥閥芯上移，

從而打開通道1,使高樂油通過該通道流入動力活塞的上部，迫使動力活塞下移，并通過活塞

桿使發動機油門關小，使3下降，以保證角速度3恒定。當下降到一定值?即"下降到一定值

時，液壓滑閥又恢復到原位，從而保持了轉速3的恒定，其方框圖如圖（題1.12.b）所示。

圖（題1.J2.b>

113圖（題1.13.a）所示為一液面控制系統。圖中K.為放大器的增益，D為執行電機.

N為減速器.試分析該系統的工作原理,并在系統中找出控制《?、擾動量、被控制量、控制器和

被控對象.若將此自動控制系統改變為人工控制系統.試畫出相應的系統控制方框圖.

圖（題1.13.a>

解圖（踵1.13.a）所示是一種液面自動控制系統，以保證液面高度不變.水通過閥口控

制而進入水箱，當水位不斷上升時,通過浮子使電位E..變化，經放大控制電機轉動，通過減速

器使閥門關小，減少水流量河2.當水位下降時.通過浮子反饋，經電機通過減速器使閥門開大.

這一例壞控制系統，是用浮子作比較器來比較實際液面高度和所希望的液面高度,并通過電位

信號控制電機來控制閥門的開度.對偏差進行修正,從而保持液而高度不變,其控制方框圖如

承（題1.13.b）.

系統中控制量為擾動斌為Q,被控制量為液面的高度.被控制對象為水箱，除水箱以

外的部分統稱為控制器。

圖（題1.13.1））

若將此系統改為人工控制系統，則人眼代替浮子作為測量元件，大腦取代電位器作為比較

器,手取代放大器、電機、減速器等作為放大、驅動環節。其控制方框圖如圖（題1.13.C）,

圖畫1.13.C）

114試說明如圖（題LM.a）所示液而自動控制系統的工作原理。若將系統的結構改為

如圖（題1.14,h）所示，將對系統工作有何影響？

（3）lb)

t!MfDfh11

解圖（題l.lLa）所示是一種液面自動控制系統，以保證液面高度不變。水通過憫門控

制而進入水箱，當水位不斷上升時，通過浮子，經杠桿機構使閥門關小，減少進水流量.當水位

下降時，通過浮子反饋，經杠桿機構使閥門開火。這一閉環控制系統，是用浮子作控制器來比較

實際液面高度和所希望的波面高度，并通過杠桿機構來控制閥門的升度，對偏差進行修正，從

而保持液面高度不變，其控制方框圖如圖（題1.14.0。此系統為一負反饋系統。

圖（題1.14.C）

而圖（題1.14,b）申，水通過閥門控制而進入水箱，當水位過高時，通過浮子，經杠桿機構

使閥門開大，增大進水流量。當水位下降時，通過浮子反饋，經杠桿機構使閥門關小。這一閉環

控制系統，用浮子作控制器來比較實際液面高度和所希望的液面高度，并通過杠桿機構來控制

閥門的開度，但反饋的結果使偏差增大，此系統為一正反饋系統。其控制方框圖亦如圖（題

1.14.c）,但由于引入了不適當的正反饋，使得系統不穩定，無法達到液面自動控制的目的.

115某倉庫大門自動控制系統的原理如圖（題L15.a）所示，試說明自動控制大門開啟

和關閉的工作原理,并畫出系統方框圖。

圖（題1.15.a）

解圖（題1.15.a）所示是一種大門開閉自動控制系統，以保證大門按要求正確開啟和關

閉.當開關位于“開門”狀態，并且門未開到位時，通過電位器，使放大器輸人端正向電壓不為

0,經放大器放大驅動電機帶動絞盤正向轉動使門上升而開啟，直到門開啟到位。當開關位于

“關門”狀態，并且門未關鑰位時，通過電位器，使放大器輸入端反向電壓不為0,經放大器放大

購電機帶螭登反嵋嫩嚇麻聯隊這一炳也制系紇是用電解作雌歌雌

。實附U祗稀里的狀態,并通過及大器、驅前甩機、紋射1的開機機^汨港

正,從施現后和魏制潑控制方框抑圖隨1』3從此德為-負反敏感

MLlS.b)

第三章

系統的數學模型

內容提要

系統按其微分方程是否線性這一特性，可以分為線性系統和非線性系統，如果系統的運動

狀態能用線性微分方程表示，則此系統為線性系統,線性系統的一個最重要的特性就是滿足疊

加原理。線性系統乂可分為線性定常系統和線性時變系統.

系統的數學模型是系統動態特性的數學描述。對于同一系統，數學模型可以有多種形式,

如微分方程、傳遞函數、單位脈沖響應函數及頻率特性等等，但系統是否線性這一特性，不會隨

模型形式的不同而改變。線性與非線性是系統的固有特性，完全由系統的結構與參數確定。

系統建模是經典控制理論和現代控制理論的基礎。建立系統數學模型的方法有分析法和

實驗辨識法兩種。前者主要用于時系統結構及參數的認識都比較清楚的簡單系統，而后者通常

用于對系統結構和參數有所了解,而需進一步精化系統模型的情況.對復雜系統的建模往往是

分析法與實驗辨識法相結合的多次反復的過程.在建模的過程中還要正確處理模型簡化和模

型精度的辯證關系，以建立簡單且能滿足要求的數學模型，

2.1系統的微分方程

列寫系統或元件微分方程的一般步驟為：

（D確定系統或元件的輸入能和輸出量；

（2）按照信號的傳遞順序，從系統的輸入相出發，根據有關定律，列寫出各個環節的動態微

分方程；

（3〉消除上述各方程式中的中間變量，最后得到只包含輸入量與輸出量的方程式；

（4）將與輸入有關的項寫在微分方程的右邊，與輸出有關的項寫在微分方程的左邊，并且

各階導數項按降塞排列.

如果系統中包含非本質非線性的元件或環節,為研究系統方便,通常可將其進行線性化。

非線性系統線性化的方法是將變量的非線性函數在系統某一.匚作點（或稱平衡點）附近展開成

泰勒級數，分解成這些變量在該工作點附近的微增量表達式，然后略去高于一階增量的項，并

將其寫成增量坐標表示的微分方程“

2.2系統的傳遞函數

一、傳遞函數

對于線性定常系統，傳遞函數是一種常用的數學模型，其定義為:在零初始條件下，系統輸

出的Laplace變換與引起該輸出的輸人盤的Laplacf變換之比.

若線性定常系統輸入與輸出%（/）之間關系的微分方程為

L

%/￡(/)，〃…工廠"/)…T41r0(r)-4)北(，)

=MR>(/)-6"⑴?…卜6as十如?，⑺(2.2.1)

則，系統以及(￡)為輸出、4”)為輸入的傳遞函數可表示成；

\X.(s)〃“廣4-6”].「,'+…+仇5,卜〃C,、、

6(.0=y-r-=——,-T------------'------7----71(?小小)(2.2.2)

Xjs)+Qn(5,…4

系統的零初始條件有兩方面的含義，一是指在「一（廠時輸入.r,a）才開始作用于系統，因此，=

0-時立月）及其各階導數均為零;二是指在-時系統處于相對靜止的狀態，即系統在工作點上

運行，因此r=o-時,輸出心⑴及其各階導數也均為零。現實的工程控制系統多屬此類情況。

傳遞函數具有以下特點；

（1）傳遞函數的分母反映了由系統的結構與參數所決定的系統的固有特性，而其分子則反

映了系統與外界之間的聯系。

（2）當系統在初始狀態為零時，對于給定的輸入，系統輸出的Laplace變換完全取決于其

傳遞函數。但是,一旦系統的初始狀態不為零，則傳遞函數不能完全反映系統的動態歷程。

（3）傳遞函數分子中，的階次不會大于分星中、的階次。

（4）傳遞函數有無展綱和取何種量綱，取決于系統輸出的鼠綱與輸入的盤綱.

（5）不同用途、不同物理元件組成的不同類型系統、環節或兀件，可以具有相同形式的傳遞函數。

（6）傳遞函數非常適用于對單輸入、單輸出線性定常系統的動態特性進行描述,但對于多

輸入、多輸出系統，需要對不同的輸人量和輸出時分別求傳遞函數.另外，系統傳遞函數只表示

系統輸入量和輸出量的數學關系（描述系統的外部特性）*而未表示系統中間變量之間的關系

（描述系統的內部特性）。針對這個局限性，在現代控制理論中，往往采用狀態空間描述法對系

統的動態特性進行描述，

二、傳遞函數的零點、極點和放大系數

傳遞函數是一個復變函數，一般具有零點、極點.根據復變函數知識，凡能使復變函數為0

的點均稱為零點;凡能使復變函數趨于g的點均稱為極點…

若將傳遞函數寫成如下的形式：

\1（SM|）（S一如）…（S—Zm）,山在媯

G"）=7；一";工建”——r;1為常數

（5—/>.）（5—生）…（'一/>?）

則,$=巧（/=1,2,“,,沈）為忙建函數的零點*=e"=1，2」“,"）為傳遞函數的極點,而將/稱為

系統的放大系數。傳遞函數的零點和極點的分布影響系統的動態性能。一般極點影響系統的穩定

性，零點影響系統的瞬態響應曲線的形狀，即影響系統的瞬態性能，系統的放大系數決定了系統的

穩態輸出值。因此，對系統的研究可變成對系統傳遞函數的零點、極點和放大系數的研究。

三、典型環節的傳遞函數

系統是由若干典型環節組成的。常見典型環節及其傳遞函數的一般表達式分別為：

比例環節GG)=K

一階慣性環節GG)=念

積分環節G(s)=我

微分環節G($)=T$

振蕩環節、―厭

!

,.?+23n&+欣

延時環節GG)=L

以上各式中:K為比例系數;7為時間常數凈為阻尼比;引為無阻尼固有頻率通為延遲時間.

四、閉環系統的傳遞函數

閉環系統的傳遞函數方框圖如圖2.2.1所示。

圖中，前向通道的傳遞函數為

X(5)

G(s)=o

E(s)

反饋通道的傳遞函數為

B(s)

圖2.2.1閉環系統的結構圖H。)=

開環傳遞函數為

GK(5)=,二—G(￡)//(.$)

閉環傳遞函數為

f'f\X。(s)G(5)

5G)=XX?)TTGWTCO

若=則此閉環系統為單位反饋系統，其閉環傳遞函數為

X?(s)G'G)

6nCs)==FT碗5

讀者應該注意到，這里所說的開環傳遞函數、反饋通道傳遞函數和前向通道傳遞函數都是

一個閉環系統中一部分元件或環節的傳遞函數，而閉環傳遞函數才是這個閉環系統的傳遞函

數。表示閉環系統內各種傳遞函數的符號只是一個符號而已，讀者在遇到相應問題時，要根據

概念具體地分析。

2.3系統的傳遞函數方框圖及其簡化

一、傳遞函數方框圖

在系統建模中，對于各個環節，分別用傳遞函數代表環節，用環節輸入、輸出的Laplace變換代

表其輸入和輸出，而形成的一種表示系統與外界之間以及系統內部各變量之間的關系的方根圖就

是傳遞函數方楣用。與系統方框圖相對應，它包含函數方柢相加點和分支點等三種基概裝

建立系統方框圖的步噱如下：

(1)建立系統(或元件)的原始微分方程；

(2)對這些原始微分方程在初始狀態為零的條件下進行Laplace變換，并根據各個變換式

的因果關系分別繪出相應的方框圖；

(3)從系統的輸入量與主反饋信號進行疊加的比較環節開始，沿信號流動的方向，通過傳

遞函數方框料所有的中間變量之間的關系一一畫出，直至血出系統的輸出量與主反債信號。

二、傳遞函數方框圖等效的基本規則

傳遞函數方框圖等效的基本規則如表2.3.1所示。

三、傳遞函數方框圖簡化的一般步驟

(1)確定系統的輸入量和輸出量。如果作用在系統的輸入量有多個，則必須分別時每一個

輸入量(此時，假設其他輸入均為零)，逐個進行方征圖的簡化,求得各自的傳遞函數。對于具有

多個輸出量的情況，也要分別進行變換，求取各自的傳遞函數。

(2)若方框圖中有無交叉的多個回路，則按照先里后外的原則，逐個簡化，直到簡化成一個

方框的形式。若方框圖中有交叉的連按，用如下的方法。

方法一:若系統的傳遞函數方框圖同時滿足以下兩個條件，

條件1,整個系統方框圖中只有一條前向通道；

條件2,各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數方框，

則可以直接用下列公式求解：

前向通道的傳遞函數迪_________/八n

'X《)1十，［每一反饋回路的開環傳遞函數之積］…

括號內每一項的符號是這樣決定的:在相加點處，對反饋信號為相加時取負號,對反饋信號為

相減時取正號。

方法二:若系統的傳遞函數方框圖不同時滿足以上兩個條件，則可通過相加點、分支點的前后移動

等法則，將系統傳遞函數方框圖化為同時滿足以上兩個條件的形北然后應用公式(2.3.1)即可。

方法三:若系統的傳遞函數方征圖不同時滿足以上兩個條件,可通過相加點、分支點的前

后移動等法則，牌交叉指除，簡化成無交叉的多回路形式。然后由里到外進行變換直至變換成

…個單一回路或一個方框的形式,最后寫出系統的傳遞函數。

_1_

2.4反饋控制系統的傳遞函數

設閉環系統在干擾作用下的方框圖如圖2.4.L

削241閉環系統在干擾作用下的方框圖

根據線性系統的疊加原理，系統輸人與系統的干擾相互獨立地對系統起作用.

設輸人X6）引起的輸出為X°x（$）,干擾N⑺引起的輸出為X芯5）。令干擾N（s）為零，則

可得系統在輸人作用下的傳遞函數為

/、,.、_Xox。）_G（S）G2（S）

fJy,IC）-w--UTT?—1<?*???（2.4.1）

X,（5）1+G1G）G（5）〃（S）

令輸入X6）為零，則可用系統在干擾作用下的傳遞函數為

入、________＜；（5）_____…、

7N（5）XM2

--JV（5）~1+G1（.0（Z（5）//（S）（2.4.2）

在上式中，若取IG（$）〃（s）l》l,且1日。）。人）〃（。|》1,則干擾所引起的輸出趨于0.

因此，盡管系統在運行的過程巾，干擾是不可避免的，而對于反饋控制系統，只要系統參數選擇

適當，就可以使系統具有很強的抗干擾能力。

從式（2.4.1）和式（242）可知,對于同一個閉環系統,當輸入的取法不同時,前向通道的

傳遞函數不同，反饋回路的傳遞函數不同，系統傳遞函數也不同，但傳遞函數的分母不變?這說

明了系統傳遞函數的分母確實反映了系統本身的固有特性,這個特性與外界無關.而這一結論

對開環系統并不適用。

2.5相似原理

相似系統（環節）;能用形式相同的數學模別來描述的物理系觀（環節）稱為相似系統（環

節）。

相似量:對于相似系統而言，在微分方程或傳遞函數中占有相同位置的物理量稱為相似

最

由于系統傳遞函數或微分方程表示的是系疏的動態特性，而與系統具體的物理構成無關,

相似的數學模型表示的不同物理構成的系統具有相似的動態特性,數學模型的相似性是進行

系統模擬或系統仿真的基礎。

基本要求、重點與難點

1、基本要求

(1)了解數學模型的基本概念。能夠運用動力學、電學及專業知識，列寫機械系統、電網絡

的微分方程。

(2)掌握傳遞函數的概念、特點，會求傳遞函數的零點、極點及放大系數。

(3)能夠用分析法求系統的傳遞函數。

(4)掌握各個典型環節的特點，傳遞函數的基本形式及相關參數的物理意義。

(5)了解傳遞函數方框圖的組成及意義;能夠根據系統微分方程，繪制系統傳遞函數方框

圖，并實現簡化，從而求出系統傳遞函數。

(6)掌握閉環系統中前向通道傳遞函數、開環傳遞函數、閉環傳遞函數的定義及求法。掌握

干擾作用下，系統的輸出及傳遞函數的求法和特點。

(7)了解相似原理的概念。

二、本章重點

(1)系統微分方程的列寫。

(2)傳遞函數的概念、特點及求法;典型環節的傳遞函數。

(3)傳遞函數方框圖的繪制及簡化。

三、本章難點

(1)系統微分方程的列寫。

(2)傳遞函數方框圖的繪制及簡化。

例題

例2.1設有一個倒立擺,該倒立擺裝在只能沿工方向移動的小車上，如圖(例2.1)所示。

m圖中M為小車質量也為擺的質量，/為擺長。當小車受到外力小)作

用時，如果擺的角位移式。較小，試求以夕⑺為輸出、"。)為輸人的系

統動力學方程。

解當小車在外力〃⑴作用下產生位移工0時,擺的角位移為

次D,則接心的位置是i(r)+/sin虱力。以整個系統為研究對象,根據牛

頓第二定律，在水平方向上的動力學方程為

“(f)=Md患]?加奈&(/)+說呼⑴]

圖（例2.1）

同樣，以擺為研究對象，擺在垂直于擺桿方向上的動力學方程為

/鏟+利竽cos明

川用sin夕Q)

即u(t)w(M+m)x⑺+ml@Q)cos貝f)—“"/(DsingQ)[

mgsin伙⑺=udj>(t)+mi(/)cos^/)j

這是一個非線性微分方程組。當次。較小時，取

bin^(Z)a代)cosy?(f)-1

并略去的高次項,得如下線性運動微分方程組

u[t}=(M+m)'z(t)+ml<p⑴[

mg拗)=ml'<p(t)+mx(r)\

聯立求解得Q)—(M+m)破Q)=一3)

例2.2設無源網絡如圖(例2.2)所示。設該網絡的初始條件為零，試求其傳遞函數

小。)/。心)，并說明該網絡是否等效于KC和RI,兩個網絡的串聯。

解(1)如圖(例2.2),由節點電流和回路電壓定律可知處，，”

O-1k_L.__9

u,=/,1/?!+ip2dr1

J?<C_"KJUQ

.j.df=L*+i3R2

it=h+h

ua=i3R2圖(例2.2)

接下來有兩種解法。

方法一:聯立四個微分方程，并消除中間變量“MG得

RJC...(RiRzC+E).,R,

十一一"+自-"。+"°=冗"

再在零初始條件下對上式兩邊進行Laplace變換得

53瓦+&

=一]疣"；：(-R2c+工廠二二

+-RT+IT"5+1

方法二:分別對上述四式在零初始條件下進行Laplace變換有

?“⑴=八(5)&+.?*)

；h2(i)=A.J3(J)+乙(5)&

L(s)=/2(5)+八($)

U?($)=I3(S)R2

聯立并消除中間變質L-/《闈

一旦

上觸=_______AT—_______

U-7&瓦-十力一

危凡十%1

(2)如果將網絡分割開來，則KC網絡的傳遞函數為

}_

&(5)_______]___

U《)0,1冗G+1

"十百

網絡的傳遞函數為

-—&

IJM一R：+l'a

再將&C和A/,兩個網絡串聯，則其傳遞函數為

-⑴_I__J?2_=__________]____________

UM-—Cs+1?民丁口—冗7Z二一函MTZ廠二

K+—瓦S+1

由于這種方法將系統分割開來,并未考慮負載效應的影響，因此,RC和R/,兩個網絡的串

聯不能等效于原系統。

例2.3設已知描述某控制系統的運動方程組如卜

x,(Z)=r(t)~i(t)-w,(Z)(1)

心(/)多儲八。)(2)

=r2(t)-.r5(Z)(3)

【市=Q(，)(4)

.r5(Z)=.r4(/)-Kzn：(t)(5)

di")dtU)

八°4(八二7廣十-^―(6)

式中,r(f)為系統的輸入量四”)、小⑺為系統的擾動量“?⑺為系統的輸出敢;.r()?is")為

中間變量;K。、儲、珞為常值增益;T為時間常數.

試繪制該控制系統的傳遞函數方框圖，并由此方框圖求取閉環傳遞函數C(s)/R(s)、

CG)/M(s)及C(s)/N<s).

解(1)繪制系統傳遞函數方幅圖

分別對上述各式在初始條件為零時取Laplace變換得

Xj(s)=R(s')-C(5)+A;,G)