高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省撫順市2025屆高三下學期3月高考模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據可得，，即，解得，即，故故選：B2.已知向量與的夾角為，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為向量與的夾角為，，，則，解得.故選：C.3.已知雙曲線的中心在坐標原點，一個焦點的坐標為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】雙曲線一個焦點的坐標為，可知雙曲線交點在軸上，所以，另一個焦點坐標為，因為點在該雙曲線上，根據雙曲線定義可知：，，，所以，解得，又因為，即，解得，所以雙曲線漸近線方程為.故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，即，整理可得，即，故，則.故選：A.5.函數在區間內有零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當時，由可得，令，因為函數、在上均為增函數，故函數在上為增函數，因為函數在區間內有零點，則函數在區間內有零點，所以，，解得，因此，實數的取值范圍是.故選：D.6.如圖，桌面上放置著兩個底面半徑和高都是的幾何體，左邊是圓柱挖去一個倒立的圓錐（以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點）剩余的部分，右邊是半球，用平行于桌面的平面截這兩個幾何體，截得左邊幾何體的截面面積為，截得半球的截面面積為，則（）A. B.C. D.與的大小關系不確定【答案】B【解析】設截面與圓柱底面的距離為，該平面截半球所得圓面的半徑為，圓的面積為，由于圓柱的底面半徑與高相等，所以，圓環的內圓半徑為，所以，圓環的面積為，故，故選：B.7.如圖，在四邊形中，，，，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，則，設，則，，在中，，，故，由正弦定理可得，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，故.故選：C.8.某高校要在假期安排甲、乙等名大學生到、、三個公司進行社會實踐，要求每個公司都要有大學生去，且甲和乙都不能去公司，則不同的安排方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】因為甲和乙都不能去公司，對公司去的學生人數進行分類討論：若去公司只有個人，有種情況，然后將剩余人分為兩組，再將這兩組分配給、兩個公司，此時有種不同的安排方式；若去公司有人，有種情況，然后將剩余人分為兩組，再將這兩組分配給、兩個公司，此時有種不同的安排方式；若去公司有人，只需將甲、乙兩人分配給、公司即可，每個公司個人，此時有種不同的安排方式.由分類加法計數原理可知，不同的安排方式種數為種.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數滿足，則（）A.為純虛數 B.的虛部為C. D.和是方程的兩個根【答案】BC【解析】因為，所以，所以，，所以，所以A錯誤，B正確；，所以C正確；因為，，所以，，所以D錯誤.故選：BC10.已知點P是拋物線上的一個動點，點F為拋物線的焦點，點Q是圓上的一個動點，直線l與拋物線交于M、N兩點，則下列說法正確的是（）A.的最小值為4B.過P作圓C的切線，切點為A，B，則的最小值是C.設線段的中點坐標為，則直線l的斜率與無關D.若直線l過點F，且，則直線l的斜率為【答案】ABD【解析】由題意知拋物線的焦點為，準線為，圓的圓心為，半徑，對于A，，過點P作垂直于直線，垂直為Q，由拋物線定義可知：，三點共線時等號成立，所以的最小值為4，故選項A正確；對于B，設，則，因為是圓的兩條切線，切點為A，B，所以，所以，故選項B正確；對于C，設，則，兩式作差，得，又線段的中點坐標為，所以，因此直線l的斜率為，故選項C錯誤；對于D，設，由得，，又，解得，所以或，所以直線l的斜率為，故選項D正確.故選：ABD.11.已知函數及其導函數的定義域均為R，若，函數為奇函數，且，則（）A.的圖象關于點對稱 B.C. D.【答案】ACD【解析】為奇函數，即其函數圖象關于點中心對稱，將其向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到函數的圖象，則圖象關于點中心對稱，即①，故選項A正確；選項B錯誤，理由如下：由②可得，，則，若B選項正確，則，矛盾，故選項B錯誤；①②兩式相加可得，，則，，則，故選項C正確；對①②兩式分別求導得，③，④，③④兩式聯立可得，⑤，再將替換為，得⑥，⑤⑥兩式聯立可得，，則的周期為4，故，在④式中令得，，在③式中令得，，故，選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖是年至年遼寧省普通高中應屆畢業生人數的統計圖，則這些年中應屆畢業生人數的中位數是______萬人．【答案】【解析】將數據由小到大依次排列為：、、、、、、、、，因此，這組數據的中位數為.故答案為：.13.已知函數定義域為，若有且僅有兩個解，則的取值范圍為______．【答案】【解析】因為，由可得，可得，即，則，即方程在時有兩個解，因為，當時，，由題意可得，解得.因此，實數的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數的定義域為，，，且對于、，當時都有，則不等式的解集為______．【答案】【解析】構造函數，其中，則，故函數在上為減函數，由可得，即，因為，則，所以，，解得.對于、，當時都有，不妨設，則，所以，函數在上為增函數，則對任意的，，則，可得恒成立，因此，所求不等式的解集為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知函數的圖象與軸相交于點，的圖象在點處的切線方程為．（1）求，的值；（2）求函數的單調區間和極值．解：（1）由已知可得，因為直線的斜率為，所以，所以．令中得，故，又，所以，所以．（2）函數的定義域為．由（1）知，，令，解得或，由得函數的單調遞增區間為和；由得函數的單調遞減區間為所以當時，函數取得極大值；當時，函數取得極小值.16.已知為公差不為零的等差數列，，記、分別為數列、的前項和，，．（1）求的通項公式；（2）求的前項和．解：（1）設數列的公差為，由，則，即，解得，所以．（2）由可知，當為偶數時，．當為奇數時，．綜上所述，．17.在如圖所示的五面體中，四邊形與均為等腰梯形，，，，，，、分別為、的中點，與相交于點．（1）求證：平面；（2）若平面，求二面角的余弦值．（1）證明：連接，取的中點，連接、，結合已知可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以為中點，因為為的中點，為中點，則，且，因為為的中點，則，且，則，且，故四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面．（2）解：因為，，為的中點，則，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，則，故，因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，設平面的一個法向量為，，，由，令，則，，可得平面的一個法向量為．設平面的一個法向量為，，由，令，則，，可得平面的一個法向量為，所以，，由圖可知，二面角的平面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.18.在平面直角坐標系中，點在橢圓上，橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點，其中點A在x軸的上方．（1）當時，求的值：（2）將平面沿x軸折疊成直二面角，點A，B在折疊后分別到達點，位置．（i）若，求k的值；（ii）是否存在k，使得的周長為？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．解：（1）設橢圓的半焦距為c，由已知可得且，再由，可得，，所以橢圓的標準方程為，由于直線過點且斜率為k，所以直線的方程為，由消去y并整理得，設，，則，，當時，，所以又因為，所以．（2）（i）以原x軸正半軸，y軸正半軸，y軸負半軸分別為折疊后的x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，則，，若，則，所以，所以，又因為，所以．（ii）假設存在滿足條件的k，因為，所以，即①所以，所以②由①，②可得，所以，所以，解得，又因為，所以存在k使得的周長為，此時．19.“分布式計算系統”是由多臺計算機組成的用以提高計算效率的計算機系統．在一個分布式計算系統中，若一次計算中發生故障的計算機數不超過總計算機數的，則稱這次計算是“優質計算”，某科技公司采購了一批共計臺計算機用于搭建分布式計算系統，每臺計算機的故障率均為．（1）若，，記為一次計算中正常運行的計算機數量，求的分布列和數學期望；（2）若，，請估計一次計算中正常運行的計算機數量最有可能是多少？（3）該科技公司決定再購入臺與（2）中完全相同的計算機組成新的分布式計算系統，請與（2）的分布式計算系統比較，判斷新的分布式計算系統完成一次“優質計算”的概率是否有提升？解：（1）由題意可知，，所以，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，隨機變量的數學期望為.（2）設由臺計算機組成的分布式計算系統中正常運行的計算機數為，則．且，由得，其中，，即，解得．所以同時正常運行的計算機數最有可能是臺或臺．（3）當分布式計算系統中計算機數量為時，若要完成一次“優質計算”，同時正