高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省大連市2023-2024學年高一下學期7月期末考試數學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據題意，.故選：D.2.已知，則的值為（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】，.故選：B.3.已知圓錐的底面半徑是1，高為，則圓錐的側面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為圓錐的底面半徑是1，高為，所以圓錐的母線長為，所以圓錐的側面積為.故選：D.4.下列四個函數中，以為最小正周期，且為奇函數的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對A，，其定義域為，設，因為，故其為偶函數，故A錯誤；對B，，其定義域為，設，則，則其為奇函數，且最小正周期為，故B正確；對C，，其最小正周期為，故C錯誤；對D，，其最小正周期為，故D錯誤.故選：B.5.將函數圖象上的所有點向右平移個單位，得到函數的圖象，則圖象的一條對稱軸為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據題意，，令，得，當時，.故選：A.6.設，是兩個不重合平面，，是兩條不重合直線，則（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】C【解析】對A，若，，則或與異面，故A錯誤；對B，若，，則與可能相交、平行或，故B錯誤；對C，若，，則，又因為，則，故C正確；對D，若，，，當都與的交線平行時，滿足題設條件，此時，故D錯誤.故選：C.7.已知平面直角坐標系內點，為原點，線段繞原點按逆時針方向旋且長度變為原來的一半，得到線段，若點的縱坐標為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】線段中點縱坐標為，則點在第二象限，而，則有點的橫坐標為，點在角的終邊上，則點在角的終邊上，，，所以.故選：A.8.已知中，，，，為所在平面內一點，，則的最小值為（）A. B. C.0 D.【答案】D【解析】在中，，由，得，則，即，以點為原點，射線分別為軸建立平面直角坐標系，則，設，，，由，得，解得，，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：D.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知復數，，則下列說法正確的是（）A.若，則的共軛復數為B.若為純虛數，則C.若，則D.【答案】ABD【解析】對A，根據共軛復數的概念知的共軛復數為，故A正確；對B，若為純虛數，則，解得，故B正確；對C，舉例，滿足，但，故C錯誤；對D，設，，其中，則，則，，所以.故選：ABD.10.已知角的頂點與坐標原點重合，角的始邊落在軸的正半軸上，如果是角終邊上不同于坐標原點的任意一點，記，當角的終邊不在軸上時，稱為角的正割，記作.則下列說法正確的是（）A.B.函數的最小正周期為，其圖象的對稱軸為C.（其中和的取值使各項都有意義）D.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，則【答案】AC【解析】依題意，，當時，，對于A，，A正確；對于B，函數，的最小正周期為，其圖象的對稱軸為，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，由余弦定理得，D錯誤.故選：AC.11.如圖，正三棱臺的上、下底面邊長分別為1和3，側棱長為2，則下列說法正確的是（）A.該三棱臺的體積為B.若過點的平面與平面平行，則平面截該三棱臺所得的截面面積為C.若點在棱上，則的最小值為D.該三棱臺內半徑最大球的體積為【答案】BC【解析】對于A，正三棱臺中，取上、下底面的中心，連接，則，高，三棱臺的體積，A錯誤；對于B，在上分別取點，使，連接，而，則四邊形均為平行四邊形，即，，而平平面，平面，則平面，同理平面，又，因此為平面截該三棱臺所得的截面，而，又，則為正三角形，，截面面積，B正確；對于C，把等腰梯形與展開置于同一平面，連接，由選項B知，等腰底邊，而邊的中點到點的距離，因此當點為線段與的交點時，的最小值為，C正確；對于D，體積為的球半徑，，解得，該球的直徑，則此球不可能在正三棱臺內，D錯誤.故選：BC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共15分.其中第14題第一空2分，第二空3分.）12.已知向量，，若，則實數____.【答案】3【解析】由題意得，解得.故答案為：3.13.已知函數在上單調遞增，則的最大值為____.【答案】【解析】因為，則，由函數在區間上單調遞增，可得，求得，則，故的最大值為.故答案為：.14.已知矩形中，，，將沿折至，得到三棱錐，則該三棱錐體積的最大值為____；該三棱錐外接球的表面積為____.【答案】【解析】過作于，過在平面內作，則平面，又平面，于是平面平面，平面平面，因此在平面內的射影為，而，點到平面的距離，當且僅當時取等號，三棱錐的體積；取的中點，連接，由，得，因此三棱錐的外接球的球心為，半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，角，，的對邊分別為，，，滿足.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，即，因此，即有，又，所以.（2）由余弦定理，得，又，則，所以的面積.16.如圖，在直三棱柱中，，.（1）求證：平面平面；（2）求證：.解：（1）在直三棱柱中，因為平面平面，所以，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）連接，由（1）可知平面，因為平面，所以，因為，所以，又因為在正方形中，平面，，所以平面，又因為平面，所以，即.17.如圖，某沿海地區計劃鋪設一條電纜聯通，兩地，地位于岸邊東西方向的直線上，地位于海上一個燈塔處，在地用測角器測得的大小，設，已知.在地正東方向的點處，用測角器測得.在直線上選一點，設，且，先沿線段在地下鋪設電纜，再沿線段在水下鋪設電纜.已知地下、水下的電纜鋪設費用分別為3萬元，6萬元.（1）求，兩點間距離；（2）設鋪設電纜總費用為.①求的表達式；②求鋪設電纜總費用的最小值，并確定此時的長度.解：（1）在中，由，得，解得，則，由正弦定理，得，所以，兩點間的距離.（2）①在中，由正弦定理得，解得，，所以.②令，則，則，其中銳角由確定，于是，則有，而，解得，當且僅當時取等號，即當時，有最小值，所以總費用的最小值為萬元，此時的長度為.18.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為中點.（1）證明：平面；（2）若，.①求二面角的余弦值；②求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）連接，交于點，連接，因為底面為菱形，所以為的中點，因為為的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）①因為，所以為等邊三角形，取的中點，連接，則，在中，作交于點，所以為二面角的平面角，在中，因為，所以，所以，在中，，所以，在中，，由余弦定理得，在中，由余弦定理，所以二面角的余弦值為.②設點在平面內的射影為點，則為直線與平面所成的角，因為，所以，所以，所以，又因為平面，平面，，所以平面，又因為平面，平面，所以平面，且，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知函數，，若對于任意實數，，，都能構成三角形的三條邊長，則稱函數為上的“完美三角形函數”.（1）試判斷函數是否為上的“完美三角形函數”，并說明理由；（2）設向量，，若函數為上的“完美三角形函數”，求實數的取值范圍；（3）已知函數為（為常數）上的“完美三角形函數”.函數的圖象上，是否存在不同的三個點，滿足，？若存在，求的值；若不存在，說明理由.解：（1）是R上的“完美三角形函數”，，因為，所以，所以，因為“”是“為上的“完美三角形函數”的充要