高中PAGE1試題2023-2024學年北京市育才學校高一（下）期中數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）sin11π3A．?32 B．?22 C．2．（4分）下列函數中，最小正周期為π且是偶函數的是（）A．y=sin(x+π4) B．yC．y＝cos2x D．y＝sin2x3．（4分）設向量a→=(3，4)，bA．?255 B．255 4．（4分）在△ABC中，已知cosA=13，a=23，bA．1 B．3 C．2 D．35．（4分）函數f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖像的一部分如圖所示，則此函數的解析式是（）A．f(x)=3sin(π4x+πC．f(x)=3sin(π8x+6．（4分）函數f（x）＝sin（2x+π6），x∈[0，A．1，﹣1 B．12，?12 C．1，7．（4分）已知向量a→，bA．2 B．﹣2 C．1 D．﹣18．（4分）在△ABC中，已知acosB+bcosA＝2ccosA，則A＝（）A．π6 B．π4 C．π39．（4分）已知函數f(x)=2sin(ωx+π3)(ω＞0)，則“f（x）在[0，A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD四條邊上的一個動點，則PA→A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[0，4] D．[﹣1，4]二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）已知圓的半徑為2，則60°的圓心角的弧度數為；所對的弧長為．12．（5分）已知向量a→=(?2，3)，b→=(x，?6)．若a→∥b13．（5分）若函數f(x)=Asinx?3cosx的一個零點為π3，則A＝；將函數f（x）的圖象向左至少平移個單位，得到函數y14．（5分）設平面向量a→，b→，c→為非零向量，且a→=(1，0)15．（5分）已知函數f(x)=cosπx①函數f（x）是奇函數；②函數f（x）有無數個零點；③函數f（x）的最大值為1；④函數f（x）沒有最小值．其中，所有正確結論的序號為．三、解答題（本大題共6小題，共85分）16．（14分）在平面直角坐標系xOy中，角θ以Ox為始邊，終邊經過點（﹣1，﹣2）．（1）求tanθ，tan2θ的值，（2）求sinθ，cosθ，cos(θ+π17．（14分）已知平面向量a→，b（1）求a→（2）求(2a（3）當x為何值時，xa→?18．（14分）已知函數f（x）＝sin2x+cos2x．（1）求f（0）；（2）求函數f（x）的最小正周期及對稱軸方程；（3）求函數f（x）的單調遞增區間．19．（14分）在△ABC中，a＝7，b＝8，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求△ABC的面積．條件①：c＝3；條件②：cosB=?120．（15分）已知函數f(x)=2cos（1）求f(π（2）求函數f（x）的在[0，π]上單調遞減區間；（3）若函數f（x）在區間[0，m]上有且只有兩個零點，求m的取值范圍．21．（14分）某地進行老舊小區改造，有半徑為60米，圓心角為π3的一塊扇形空置地（如圖），現欲從中規劃出一塊三角形綠地PQR，其中P在BC上，PQ⊥AB，垂足為Q，PR⊥AC，垂足為R，設∠PAB=α∈(0，（1）求PQ，PR（用α表示）；（2）當P在BC上運動時，這塊三角形綠地的最大面積，以及取到最大面積時α的值．

2023-2024學年北京市育才學校高一（下）期中數學試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案ACDDCDBCBD一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）sin11π3A．?32 B．?22 C．【分析】直接利用三角函數的誘導公式化簡求值．【解答】解：sin11π3=sin（4π?π3）＝sin（故選：A．【點評】本題考查三角函數的化簡求值，考查誘導公式的應用，是基礎題．2．（4分）下列函數中，最小正周期為π且是偶函數的是（）A．y=sin(x+π4) B．yC．y＝cos2x D．y＝sin2x【分析】利用三角函數的奇偶性與周期性的性質逐項判斷即可．【解答】解：y=sin(x+π4)的周期T＝2π≠πy＝f（x）＝tanx滿足f（﹣x）＝tan（﹣x）＝﹣tanx＝﹣f（x），即y＝tanx為奇函數，故B錯誤；y＝f（x）＝cos2x滿足f（﹣x）＝f（x），即y＝cos2x為偶函數，且其周期T=2π2=πy＝f（x）＝sin2x滿足f（﹣x）＝﹣f（x），即y＝sin2x為奇函數，故D錯誤．故選：C．【點評】本題考查三角函數的奇偶性與周期性，屬于基礎題．3．（4分）設向量a→=(3，4)，bA．?255 B．255 【分析】由平面向量數量積的運算，結合平面向量夾角的運算求解．【解答】解：已知向量a→則a→?b→=3×(?1)+4×2=5則cos?a故選：D．【點評】本題考查了平面向量數量積的運算，重點考查了平面向量夾角的運算，屬基礎題．4．（4分）在△ABC中，已知cosA=13，a=23，bA．1 B．3 C．2 D．3【分析】由已知利用余弦定理可得c2﹣2c﹣3＝0，解方程即可求解c的值．【解答】解：因為在△ABC中，已知cosA=13，a=23所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得12＝9+c2﹣2×3×c×13，整理可得c2﹣2則解得c＝3或﹣1（舍去）．故選：D．【點評】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了方程思想，屬于基礎題．5．（4分）函數f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖像的一部分如圖所示，則此函數的解析式是（）A．f(x)=3sin(π4x+πC．f(x)=3sin(π8x+【分析】利用相鄰的對稱軸x＝2及對稱中心（6，0）求周期，進而求ω的值；利用最高點（2，3）求A，φ．【解答】解：由圖象得函數f（x）的最小正周期為T＝4（6﹣2）＝16，所以ω=2π由圖象的最高點為（2，3），得A＝3，且f（2）＝3，即sin(π4+φ)=1，由0＜φ＜π，解得故選：C．【點評】本題考查由三角函數的圖象求解析式，考查三角函數的性質，屬于基礎題．6．（4分）函數f（x）＝sin（2x+π6），x∈[0，A．1，﹣1 B．12，?12 C．1，【分析】由已知可得2x+π6的取值范圍，從而由正弦函數的性質得出函數y＝f（【解答】解：因為x∈[0，π2所以2x+π6∈[π6所以當2x+π6=π2，即x=當2x+π6=7π6，即x=π2即f（x）＝sin（2x+π6），x∈[0，π2故選：D．【點評】本題主要考查正弦函數的圖象及性質，考查了函數思想，屬于基礎題．7．（4分）已知向量a→，bA．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】根據網格，利用平面向量的數量積運算求解．【解答】解：由網格知：b→所以b→又|a所以a→所以(a故選：B．【點評】本題考查了平面向量的數量積運算，屬于基礎題．8．（4分）在△ABC中，已知acosB+bcosA＝2ccosA，則A＝（）A．π6 B．π4 C．π3【分析】利用正弦定理邊化角，結合和差公式以及誘導公式，即可得到本題答案．【解答】解：因為acosB+bcosA＝2ccosA，所以sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosA，所以sin（A+B）＝2sinCcosA，sinC≠0，所以sinC＝2sinCcosA，cosA=12，∵0＜C＜π，∴故選：C．【點評】本題考查利用正弦定理邊角轉化求角，屬于基礎題．9．（4分）已知函數f(x)=2sin(ωx+π3)(ω＞0)，則“f（x）在[0，A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據三角函數的性質求出其充要條件，再根據集合的包含關系判斷即可．【解答】解：若f（x）在[0，π則f（x）在對稱軸在（0，π3由ωx+π3=kπ+π2解得x=kπ故0＜kπω+π而（1，+∞）?（12故“f（x）在[0，π3]故選：B．【點評】本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關系以及三角函數的性質，是基礎題．10．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD四條邊上的一個動點，則PA→A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[0，4] D．[﹣1，4]【分析】建立平面直角坐標系，分點P在CD上，點P在BC上，點P在AB上，點P在AD上，利用數量積的坐標運算求解．【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標系：則A（0，2），B（2，2），當點P在CD上時，設P（x，0）（0≤x≤2），則PA→所以PA→當點P在BC上時，設P（2，y）（0≤y≤2），則PA→所以PA→當點P在AB上時，設P（x，2）（0≤x≤2），則PA→所以PA→當點P在AD上時，設P（0，y）（0≤y≤2），則PA→所以PA→綜上：PA→故選：D．【點評】本題考查了平面向量數量積的坐標運算和取值范圍的問題，屬于中檔題．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）已知圓的半徑為2，則60°的圓心角的弧度數為π3；所對的弧長為2π3【分析】根據已知條件，結合弧度數的定義，以及弧長公式，即可求解．【解答】解：60°的圓心角的弧度數為π3圓的半徑為2，則所對的弧長為2×π故答案為：π3；2π【點評】本題主要考查弧度數的定義，以及弧長公式，屬于基礎題．12．（5分）已知向量a→=(?2，3)，b→=(x，?6)．若a→∥b→，則【分析】利用向量的模的公式算出向量a→的模；根據兩個向量平行的條件，建立關于x的方程，解出x【解答】解：因為a→所以由向量的模的公式，可得|a→|=(?2)2+故答案為：13，4．【點評】本題主要考查平面向量的模的計算公式、兩個向量平行的條件等知識，屬于基礎題．13．（5分）若函數f(x)=Asinx?3cosx的一個零點為π3，則A＝1；將函數f（x）的圖象向左至少平移π3個單位，得到函數【分析】首先利用函數的零點求出A的值，進一步利用函數的圖象的平移變換求出結果．【解答】解：由于函數f(x)=Asinx?3cosx的一個零點為故f(π3)=由于f（x）＝sinx?3cosx=2sin（x?π3），故函數f（x）的圖象至少向左平移π3故答案為：1；π3【點評】本題考查的知識點：函數的圖象的平移變換，函數的零點和方程的根的關系，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．14．（5分）設平面向量a→，b→，c→為非零向量，且a→=(1，0)【分析】設a→，b→，【解答】解：不妨設a→，b→，特別地，不妨令b→，c→與故當a→=(1，0)，b→=(0，1)，故答案為：（0，1），（0，﹣1）（答案不唯一）．【點評】本題考查了平面向量數量積的計算，屬于基礎題．15．（5分）已知函數f(x)=cosπx①函數f（x）是奇函數；②函數f（x）有無數個零點；③函數f（x）的最大值為1；④函數f（x）沒有最小值．其中，所有正確結論的序號為②③．【分析】根據函數的奇偶性的定義判斷①；令f（x）＝0，解得x=k+12(k∈Z)由不等式及余弦函數的性質判斷③；作出函數的圖象，結合圖象判斷④．【解答】解：因為f(?x)=cos(?πx)所以f（x）是偶函數，所以①錯誤；令f(x)=cosπx則cosπx＝0，即πx=kπ+π2(k∈Z)，x=k+因為|cosπx|≤1，當πx＝k1π（k1∈Z）時取等號，即x＝k1（k1∈Z）時取等號．因為x2+1≥1，當且僅當x＝0時取等號，所以0＜1x2所以|cosπx|x2+1故f(x)=cosπxx2f(x)=cosπx作出函數的圖象，如圖所示：由此可得函數有最小值，故④錯誤．則正確的選項有②③．故答案為：②③．【點評】本題考查了余弦函數的性質、不等式的性質及數形結合思想，屬于中檔題．三、解答題（本大題共6小題，共85分）16．（14分）在平面直角坐標系xOy中，角θ以Ox為始邊，終邊經過點（﹣1，﹣2）．（1）求tanθ，tan2θ的值，（2）求sinθ，cosθ，cos(θ+π【分析】（1）直接根據任意角三角函數的定義即可求解tanθ的值，進而利用二倍角的正切公式可求tan2θ的值．（2）根據任意角三角函數的定義可求sinθ，cosθ的值，進而利用兩角和的余弦公式即可求解cos（θ+π【解答】解：（1）因為在平面直角坐標系xOy中，角θ以Ox為始邊，終邊經過點（﹣1，﹣2），所以tanθ=?2所以tan2θ=2tanθ（2）由題意可得sinθ=?2(?1)2所以cos（θ+π4）＝cosθcosπ4?sinθsinπ4=（?5【點評】本題主要考查了任意角三角函數的定義和二倍角的正切公式以及兩角和的余弦公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．17．（14分）已知平面向量a→，b（1）求a→（2）求(2a（3）當x為何值時，xa→?【分析】（1）由平面向量數量積的定義計算即可；（2）由平面向量數量積的運算律計算即可；（3）由平面向量垂直的性質建立方程求解即可．【解答】解：（1）因為|a→|=2，|所以a→2=|a→（2）(2a（3）因為xa→?所以(xa→?b→解得x=3013，故當x=3013時，【點評】本題考查平面向量的數量積計算和向量垂直的性質，屬于基礎題．18．（14分）已知函數f（x）＝sin2x+cos2x．（1）求f（0）；（2）求函數f（x）的最小正周期及對稱軸方程；（3）求函數f（x）的單調遞增區間．【分析】（1）把x＝0代入即可直接求解；（2）利用輔助角公式先對已知函數進行化簡，然后結合正弦函數的周期性及對稱性即可求解；（3）結合正弦函數的單調性即可求．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+cos2x=2sin（2x+f（0）＝1；（2）函數f（x）的最小正周期為π，令2x+π4=π2+即對稱軸方程為x=π8+kπ2（3）?π2+2kπ≤2x+π4解得，?3π8+kπ≤x≤π8故函數f（x）的單調遞增區間為[?3π8+kπ，π8+kπ【點評】本題主要考查了正弦函數的周期性，對稱性及單調性的應用，屬于基礎題．19．（14分）在△ABC中，a＝7，b＝8，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求△ABC的面積．條件①：c＝3；條件②：cosB=?1【分析】若選①，（Ⅰ）根據余弦定理求出角A，（Ⅱ）根據三角形的面積公式即可求出；若選②，（Ⅰ）根據正弦定理求出角A，（Ⅱ）根據三角形的面積公式即可求出；【解答】解：若選①，c＝3，（Ⅰ）由余弦定理可得cosA=b∵0＜A＜π，∴A=π（Ⅱ）S△ABC=12bcsinA=12×若選②，cosB=?1∴sinB=1?co（Ⅰ）由正弦定理可得asinA∴sinA=asinB∵B為鈍角，∴0＜A＜π∴A=π（Ⅱ）sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB=32×（?∴S△ABC=12absinC=12×【點評】本題考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的面積公式，屬于基礎題．20．（15分）已知函數f(x)=2cos（1）求f(π（2）求函數f（x）的在[0，π]上單調遞減區間；（3）若函數f（x）在區間[0，m]上有且只有兩個零點，求m的取值范圍．【分析】（1）先利用二倍角公式及輔助角公式進行化簡，然后把x=π（2）結合正弦函數的單調性即可求解；（3）結合正弦函數的零點即可求解．【解答】解：因為f(x)=2cos2x+cos(2x?π3)?1=cos2x=32cos2x+32sin2x=（1）f(π6)=（2）令π2+2kπ≤2x+π3