第09講單項式乘單項式單項式的乘法法則單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數作為積的一個因式.注：單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.單項式的乘法方法步驟：積的系數等于各系數的積，是把各單項式的系數交換到一起進行有理數的乘法計算，先確定符號，再計算結果；相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里作為積的一個因式.運算的結果仍為單項式，也是由系數、字母、字母的指數這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.考點剖析（計算單項式乘單項式）例1：計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了單項式乘單項式，同底數冪的乘法．熟練掌握同底數冪的乘法是解題的關鍵．根據同底數冪的乘法計算求解即可．【詳解】解：，故選：D．變式1-1：計算：．【答案】【分析】本題考查單項式乘以單項式，根據“單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式中只含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式”計算即可．【詳解】解：．故答案為：．變式1-2：計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查整式的運算：（1）原式先計算積的乘方和冪的乘方，再計算單項式乘以單項式即可得到結果；（2）原式根據多項式除以單項式運算法則進行計算即可．【詳解】（1）；（2）．例2：下列結果計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、冪的乘方、同底數冪的除法，根據單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、冪的乘方、同底數冪的除法的運算法則逐項判斷即可，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．【詳解】解：A、，故原選項計算錯誤，不符合題意；B、，故原選項計算錯誤，不符合題意；C、，故原選項計算錯誤，不符合題意；D、，故原選項計算正確，符合題意；故選：D．變式2-1：如果表示，表示，則=【答案】【分析】根據題目所給的信息得表示，表示，再進行單項式乘以單向式的運算即可．此題考查了新定義下的單項式乘以單項式的運算，解題的關鍵是讀懂題意，根據題目所給的信息寫出相應的式子．【詳解】解：根據題意，得表示，表示，則．故答案為：．變式2-2：計算：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)0(3)(4)13x6【分析】（1）根據同底數冪的乘法運算法則求解即可；（2）首先計算積的乘方，同底數冪的乘法運算，然后合并同類項；（3）首先計算單項式乘以單項式和積的乘方，然后合并同類項；（4）首先計算積的乘方，單項式乘以單項式，然后合并同類項．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查了同底數冪的乘法、積的乘方，熟記法則是解題的關鍵．（利用單項式乘法求字母或代數式的值）例3：已知單項式與的積為，那么、的值為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】按照單項式乘單項式計算單項式與的積，再根據單項式與的積為，即可求得答案．【詳解】解：∵，單項式與的積為，∴，，故選：B【點睛】此題考查了單項式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．變式3-1：如果單項式與單項式的乘積為，則．【答案】-5【分析】根據已知條件可求得，約分可得，根據單項式相乘的原則：底數不變，指數相加可得求解即可.【詳解】單項式與單項式的乘積為，即兩邊約分后可得根據底數不變，指數相加原則可得可求得.故答案為-5.【點睛】此題考查單項式乘單項式，解題關鍵在于掌握運算法則.變式3-2：先化簡，后求值：，其中，【答案】，【分析】此題考查了整式的混合運算，首先根據積的乘方和單項式乘以單項式運算法則化簡，然后代入求解即可，解題的關鍵掌握運算法則．【詳解】解：當，時，原式．例4：若＝－10，則m－n等于（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】B【分析】首先根據單項式乘單項式的運算法則計算求出m，n的值，然后代入計算即可．【詳解】∴∴解得∴m－n=1-2=-1，故選：B．【點睛】本題主要考查代數式求值，掌握單項式乘單項式的運算法則是關鍵．變式4-1：若，則的值為．【答案】4【分析】先利用單項式乘單項式法則計算，再根據等式得到指數間關系，最后求出．【詳解】解：∵，∴，∴①，②．∴，得．故答案為：4．【點睛】本題考查了整式的運算，掌握單項式乘單項式法則是解決本題的關鍵．變式4-2：某中學一寢室前有一塊長為，寬為x的空地，學校向全校師生征集這塊地的綠化設計方案并要求綠地面積不少于，如圖是學生小明的設計方案，陰影部分是綠地．試問小明的設計方案是否合乎要求？為什么？

【答案】小明的設計方案符合要求，理由見解析．【分析】直接利用長方形面積公式以及半圓面積求法進而得出陰影部分面積，再比較即可．【詳解】解：小明的設計方案符合要求．理由如下：由題意可得：陰影部分的面積為：．∵，而，故小明的設計方案符合要求．【點睛】本題主要考查了整式的混合運算的應用，掌握單項式乘以單項式的運算法則是解題的關鍵．過關檢測選擇題（共6題，每題4分）1．計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了單項式乘以單項式，在解題時要注意單項式的乘法法則的靈活應用是本題的關鍵．【詳解】解：，故選B．2．下列計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了同底數冪的乘法，單項式乘多項式，多項式的乘方以及積的乘方等整式乘法運算，解題的關鍵是熟練掌握其運算法則．【詳解】解：A、，故A錯誤，B、只有當時，才有，故B錯誤，C、，故C錯誤，D、，故D正確，故選：D．3．計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據單項式乘單項式的法則：系數乘系數，相同字母按照同底數冪的乘法公式進行計算，不同字母連同指數作為積的因式，進行計算即可．【詳解】解：；故選D．4．一頭非洲大象質量的最高紀錄為，則頭這樣的大象的質量為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了單項式與單項式的乘法運算，根據運算法則計算，再寫成科學記數法的形式即可．【詳解】解：．故選A．5．一個長方形的長增加，寬減少，這個長方形的面積（

）A．增加 B．減少 C．增加 D．減少【答案】D【分析】設長方形長為x，寬為y，則改變之前的面積：，改變之后的面積：，即可解答．【詳解】解：設長方形長為x，寬為y，改變之前的面積：，改變之后的面積：，，即這個長方形的面積減少，故選：D．【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，解題的關鍵是掌握整式的混合運算順序和運算法則．6．下列各圖均由若干個大小相同的小正方形組成，且最大的正方形邊長都為a，下面三幅圖中陰影部分的面積均相同，請你寫出這個面積（用含有a的式子表示）（）A． B． C． D．【答案】B【分析】題目已告訴三個圖形的陰影面積相同故選最右邊圖形用a表示其陰影面積．右邊圖形的陰影是梯形，可先用a表示出其上下底及高，再運用梯形面積公式表示出其面積，最后化簡即得答．【詳解】由于題目已知三個圖形的陰影面積相同，故只需把最右邊圖形的面積用a表示即可．如下圖知梯形的上底長為，高為，下底長為a所以陰影部分的面積為==．故選：B．【點睛】本題考查用單項式的乘法解決面積類問題．關鍵是要正確利用字母根據題意表示相關的量再套用面積公式．本題中最大的正方形邊長這a，故最小的正方形邊長為，則其它長度量容易表示．填空題（共8題，每題4分）7．計算：．【答案】/【分析】本題考查了單項式乘以單項式，同底數冪相乘，利用同底數冪乘法法則，即可計算求值．【詳解】解：，故答案為：．8．衛星繞地球表面做圓周運動的速度（即第一宇宙速度）約為米/秒，則衛星運行秒所走的路程約為米．（結果用科學記數法表示）【答案】【分析】先根據單項式與單項式相乘，把系數分別相乘，相同底數的冪分別相加，計算出結果，然后用科學記數法表示即可．【詳解】解：（米）．故答案為．【點睛】本題考查了單項式與單項式相乘，熟練掌握運算法則是解題的關鍵，特別注意科學記數法的表示方法．9．計算：．【答案】【分析】本題主要考查單項式乘單項式，先把第一個因數進行整理，把看作一個整體，再利用單項式乘單項式的法則運算即可．【詳解】解：．故答案為：．10．福廈高鐵車速為千米/時，高鐵行駛3b小時的路程為千米．【答案】/【分析】本題考查了單項式與單項式乘法的應用，根據路程=速度×時間求解即可．【詳解】解：由題意得，千米．故答案為：．11．如圖，是小華家的住房結構平面圖（單位：），她家打算把客廳鋪上地磚，若鋪地磚的價格為100元，那么購買地磚需要花費元？（用代數式表示）【答案】【分析】本題考查了整式的乘法運算的應用，先求出客廳面積，再用單價乘以面積即可得出購買地磚所需費用．【詳解】解：客廳鋪上地磚的面積為（平方米）；買地磚所需費用為：（元；故答案為：．12．已知一個長為，寬為的長方形，如圖1所示，沿圖中虛線裁剪成四個相同的小長方形，按圖2的方式拼接，則陰影部分正方形的面積是．（用含a的代數式表示）

【答案】【分析】根據題意和題目中的圖形，可以得到圖2中小長方形的長和寬，從而可以得到拼成的陰影部分正方形的邊長，即可得陰影部分小正方形的面積．【詳解】解：由圖可得，圖2中每個小長方形的長為，寬為，則陰影部分小正方形的邊長是：，陰影部分小正方形的面積是：，故答案為：．【點睛】本題考查了列代數式，整式的加減，整式的法則與正方形的面積公式和長方形的面積公式經常聯系在一起．要學會觀察．13．甲、乙兩船從同一港口同時出發反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是，水流速度是，后甲船比乙船多航行千米【答案】【分析】本題考查列代數式解決應用題，涉及船在順水與逆水中的速度、距離速度時間、整式運算等知識，根據題意，將甲船順水和乙船逆水速度用代數式表示出來，再由距離速度時間代值求出航行距離，作差即可得到答案．【詳解】解：甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是，水流速度是，甲船的速度為，乙船的速度為，后甲船比乙船多航行距離為（千米），故答案為：．14．觀察下列等式：，，…，若，則．（用含m的代數式表示）【答案】【分析】由題意可得，逆用冪的乘方變形，再將代入即可求解．【詳解】解：∵，，…，∴，又∵，，……∴．故答案為：．【點睛】本題考查了規律型：數字的變化類，是一道找規律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題．解決本題的難點在于得出規律：．解答題（共5題，前三題每題8分，后兩題每題10分）15．計算（1）

（2）【答案】（1）；（2）2【分析】（1）先分別計算積的乘方，冪的乘方，單項式乘以單項式，再合并同類項即可；（2）根據有理數的乘方，負整數指數冪的運算，零指數冪的運算，分別計算即可．【詳解】（1）解：原式，（2）解：原式．【點睛】本題考查整式的乘法和實數的混合運算，以及零指數冪和負整數指數冪的計算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．16．已知單項式與的積與是同類項，求，的值．【答案】，【詳解】解：．因為與是同類項，所以，，解得，17．計算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)1.152；(2)；(3).【詳解】.解：（1）原式.（2）原式.（3）原式.18．計算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)0；(5)；(6)；(7)；(8)．【分析】（1）根據冪的乘方，單項式乘以單項式進行計算，然后合并同類項即可求解；（2）根據積的乘方，同底數冪的乘法進行計算，然后合并同類項即可求解；（3）根據冪的乘方，單項式乘以單項式進行計算，然后合并同類項即可求解；（4）根據單項式乘以單項式進行計算，然后合并同類項即可求解；（5）根據積的乘方，單項式乘以單項式進行計算，然后合并同類項即可求解；（6）根據積的乘方，單項式乘以單項式進行計算，然后合并同類項即可求解；（7）根據積的乘方，單項式乘以單項式進行計算，然后合并同類項即可求解；（8）根據積的乘方，單項式乘以單項式進行計算，然后合并同類項即可求解．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．（4）解：原式．（5）解：原式．（6）解：原式．（7）解：原式．（8）解：原式．【點睛】本題考查了單項式乘以單項式，熟練掌握冪的運算法則是解題的關鍵．19．如圖，有一個面積為1的正方形紙板，第一次剪掉這塊正方形紙板的一半，第二次剪掉剩下的一半，以此類推．請填空：

(1)第2次剪掉的面積是___________；第2次剪掉后剩下的面積是___________；(2)第3次剪掉的面積是___________；第3次剪掉后剩下的面積是___________；(3)第4次剪掉的面積是___________；第4次剪掉后剩下的面積是___________；(4)試一試請計算：___________；(5)類比思考并計算___________．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)(5)【分析】（1）由題意知，第1次剪掉的面積為，第1次剪掉后剩下的面積是，進而可知第2次剪掉的面積是，第2次剪掉后剩下的面積是；（2）由