篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學資料留給學生，但在面對琳瑯滿目的資料時，總是費時費力才能找到自己心儀的那份。于是，編者就常想，如果是自己來創作一份資料又該怎樣呢？那這份資料在滿足自己教學需求的同時，還能為他人提供參考。本著這樣的想法，在結合自己教學經驗和學生實際情況后，最終創作出了一個既適宜課堂教學，又適應課后作業，還適合階段復習的大綜合系列。《2023-2024學年五年級數學下冊典型例題系列》，它基于教材知識和常年真題總結與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項練習篇、單元復習篇、分層試卷篇等四個部分。1.典型例題篇，按照單元順序進行編輯，主要分為計算和應用兩大部分，其優點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。2.專項練習篇，從高頻考題和期末真題中選取專項練習，其優點在于選題經典，題型多樣，題量適中。3.單元復習篇，匯集系列精華，高效助力單元復習，其優點在于綜合全面，精煉高效，實用性強。4.分層試卷篇，根據試題難度和不同水平，主要分為基礎卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優點在于考點廣泛，分層明顯，適應性廣。黃金無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請留言于我改進，歡迎您的使用，謝謝！101數學創作社2024年3月18日2023-2024學年五年級數學下冊典型例題系列第四單元分數·其四：最大公因數和最小公倍數篇【十四大考點】專題解讀本專題是第四單元分數·其四：最大公因數和最小公倍數篇。本部分內容主要是最大公因數和最小公倍數及應用，建議作為本章核心內容進行講解，其中考點劃分較多，一共劃分為十四個考點，歡迎使用。目錄導航TOC\o"1-1"\h\u【考點一】最大公因數 3【考點二】最小公倍數 4【考點三】三個數的最大公因數和最小公倍數 5【考點四】特殊情況其一：質因數中的最大公因數和最小公倍數 6【考點五】特殊情況其二：互質數中的最大公因數和最小公倍數 7【考點六】特殊情況其三：倍數關系中的最大公因數和最小公倍數 7【考點七】最大公因數的應用其一：分線段問題 8【考點八】最大公因數的應用其二：分長方形問題 9【考點九】最小公倍數的應用其一：分東西問題 10【考點十】最小公倍數的應用其二：人數問題 11【考點十一】最小公倍數的應用其三：日期問題 12【考點十二】最小公倍數的應用其四：同余數問題 14【考點十三】最小公倍數的應用其五：同差問題 15【考點十四】最小公倍數的應用其六：綜合型 16典型例題【考點一】最大公因數。【方法點撥】1.最大公因數的定義：幾個數公有的因數叫做這幾個數的公因數。其中最大的一個叫做這幾個數的最大公因數2.求兩個數的最大公因數的方法：（1）列舉法；（2）短除法3.短除法的口訣：求最大公因乘一邊，求最小公倍乘一圈。注意：求兩個數的最大公因數用小括號表示。【典型例題】求下面各組數的最大公因數。36和48

11和13

21，42和70【對應練習1】找出下列每組數的最大公因數。5和36

24和72

14、26和32【對應練習2】寫出下面每組數的最大公因數。15和25

7和15

22和33

35和28【對應練習3】寫出每組數的最大公因數。12和18

72和48

78和117

23和32【考點二】最小公倍數。【方法點撥】1.最小公倍數的定義：幾個數公有的倍數，叫做它們的公倍數，其中最小的一個叫做它們的最小公倍數。2.求最小公倍數的方法：（1）列舉法；（2）短除法。3.短除法的口訣：求最大公因乘一邊，求最小公倍乘一圈。注意：求兩個數的最小公因數用中括號表示。【典型例題】求下面每組數的最小公倍數。27和72

36和60

76和80【對應練習1】求下面各組數的最小公倍數。10和60

8和14

11和34【對應練習2】求下面各組數的最大公因數和最小公倍數。18和24

15和25

11和19【對應練習3】求下面各組數的最小公倍數。3和12

4和13

7和49

24和15【考點三】三個數的最大公因數和最小公倍數。【方法點撥】三個數的最大公因數和最小公倍數用短除法。【典型例題】求下面各組數的最大公因數和最小公倍數。13、39和117

42、56和84

240、840和360【對應練習1】求下列各組數的最大公因數和最小公倍數。54，72和9060，90和120【對應練習2】用短除法求下列數的最大公因數和最小公倍數．286和429

384，192和64【考點四】特殊情況其一：質因數中的最大公因數和最小公倍數。【方法點撥】質因數求最大公因數和最小公倍數：求兩數的最小公倍數是共有質因數與獨有質因數的連乘積，最大公因數也就是這幾個數的公有質因數的連乘積。【典型例題1】問題一。如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它們的最大公因數是()，最小公倍數是()。【對應練習1】M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和N的最大公因數是()，最小公倍數是()。【對應練習2】，，A和B的最大公因數是()，最小公倍數是()。【對應練習3】A＝2×2×3，B＝2×3×7，A和B的最大公因數是()，A和B的最小公倍數是()。【典型例題2】問題二。把自然數A和B分解質因數得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因數是35，則A和B的最小公倍數是()。【對應練習1】把自然數X和Y分解質因數，分別是，，如果X和Y的最大公因數是6，那么n＝()，X和Y的最小公倍數是()。【對應練習2】已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然數且m不等于0），如果a與b的最大公因數是14，則m是()，a和b的最小公倍數是()。【對應練習3】如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因數是8，那么m＝()，A和B的最小公倍數是()。【考點五】特殊情況其二：互質數中的最大公因數和最小公倍數。【方法點撥】1.公因數只有1的兩個數，叫做互質數。2.當兩個數是互質關系時，它們的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。【典型例題】b和t是互質數，它們的最大公因數是()，最小公倍數是()。【對應練習1】兩個連續的自然數（均不為0），它們的最大公因數是()，最小公倍數是()。【對應練習2】如果a，b的公因數只有1，那它們的最大公因數是()，最小公倍數是()。【對應練習3】如果a－1＝b（a、b分別為非零的自然數），那么a、b的最大公因數是()，最小公倍數是()。【考點六】特殊情況其三：倍數關系中的最大公因數和最小公倍數。【方法點撥】當兩個數是倍數關系時，它們的最大公因數是較小的數，最小公倍數是較大的數。【典型例題】如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然數，那么a和b的最大公因數是()；最小公倍數是()。【對應練習1】如果a＝2b（a、b均為大于9的整數），則a、b的最小公倍數是()，最大公因數是()。【對應練習2】如果自然數C是B的5倍，則B與C的最小公倍數是()，最大公因數是()。【對應練習3】如果A＝7B，那么A和B的最大公因數是()，最小公倍數是()。【考點七】最大公因數的應用其一：分線段問題。【方法點撥】分線段問題解題步驟：1.分析每小段的長度和每條線段長度的關系；2.短除法求最大公因數。注意：要看清題目問的是每個小段的長度還是求一共可以分成多少個小段。【典型例題】用下面的兩種彩帶包裝禮品盒。現在要把它們剪成同樣長的小段且沒有剩余，每段最長是多少分米？一共能剪成幾段？【對應練習1】有兩根彩帶，一根長45厘米，另一根長60厘米。現在要把它們剪成長度一樣的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是多少厘米？一共可以剪成幾根？【對應練習2】有兩根繩子，一根長36米，另一根長42米，要把這兩根繩子都剪成同樣長的小段，不許有剩余，每小段最長多少米？一共可以剪成多少段？【對應練習3】有兩根鋼管，分別長45厘米、30厘米，把它們截成長度相等的小段，且沒有剩余。每一小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？【考點八】最大公因數的應用其二：分長方形問題。【方法點撥】分長方形問題解題步驟：1.分析每個小正方形的邊長和大長方形的長、寬之間的關系；2.短除法求最大公因數。注意：要看清題目問的是小正方形的邊長還是求一共可以分成多少個小正方形。【典型例題】選修課上，老師要求同學們將一張長28厘米，寬12厘米的長方形彩紙。在無剩余的前提下，裁成大小相等且盡可能大的正方形，正方形的邊長是多少？一共可以裁成多少張？【對應練習1】把一塊長48厘米，寬36厘米的長方形硬紙裁成同樣大小，面積盡可能大的正方形，紙板沒有剩余。至少可以裁成多少個正方形？每個正方形的邊長是多少厘米？【對應練習2】爸爸打算給長72分米、寬48分米的客廳鋪上地磚。從不浪費材料的角度考慮（使用的地磚都是整塊），可以選擇邊長是多少分米的正方形地磚？（地磚的邊長是整分米數且在5～10分米之間）【對應練習3】李伯伯家挖了一個長15分米，寬10分米，深8分米的長方體水池。（1）現在要用邊長是整分米數的藍色正方形地磚把這個水池的底面鋪滿（使用的地磚必須都是整塊），藍色地磚的邊長最大是幾分米？一共需要多少塊這樣的藍色地磚？（2）如果把水池內壁的四周貼上白色瓷磚，每平方米需要10塊同樣大小的白色瓷磚，那么這個水池一共需要多少塊這樣的白色瓷磚？（藍色地磚的厚度忽略不計）【考點九】最小公倍數的應用其一：分東西問題。【方法點撥】分東西問題：若平均分給m個小朋友可以恰好分完，那么總數是m的倍數，若平均分給n個小朋友可以恰好分完，那么總數也是n的倍數，所以總數是m和n的公倍數，根據題目要求求出符合題意的公倍數即可。【典型例題】籃子里的蘿卜無論是分給12只小兔子，還是分給15只小兔子，都能正好分完。籃子里至少有多少根蘿卜？【對應練習1】學校新買一批故事書，不論分給15個小朋友，還是20個小朋友，都正好分完。這批書至少有多少本？【對應練習2】媽媽買了一盒巧克力，無論平均分給5個人還是7個人，都剛好分完，那么這盒巧克力最少有多少顆？【對應練習3】為慶祝“五一”，張老師買來一些糖果，如果每位小朋友分4顆或6顆，都正好分完。這些糖果的顆數在30－40之間，張老師買來多少顆糖果？【考點十】最小公倍數的應用其二：人數問題。【方法點撥】分析已知條件，列出乘法算式。【典型例題】籃球隊的同學們分組練習，分成6人一組或8人一組都多4人，已知籃球隊的人數在50－60人之間，籃球隊有多少人？【對應練習1】學校參加市運動會的開幕式體操表演，一排站12人或站16人，都能正好站成整排，參加體操表演的學生在90~100人之間，請問有多少人參加體操表演？【對應練習2】一次會餐有三種飲料，餐后統計，三種飲料共用65瓶。已知平均每2人用一瓶A飲料，每3人用一瓶B飲料，每4人用一瓶C飲料。有多少人參加會餐？【對應練習3】三（1）班參加跳繩比賽的人數在40－50人之間，如果把參賽的人數分成6人一組或分成8人一組，都正好分完。三（1）班參加跳繩比賽的有多少人？【考點十一】最小公倍數的應用其三：日期問題。【方法點撥】日期問題也是典型的公倍數問題，注意分析有沒有到下個月，以及每個月最后一天是幾號。【典型例題1】問題一。我市7路和10路公共汽車的起點站都在汽車西站。這兩路公共汽車同時發車后，過多少分鐘兩路車第二次同時發車？7路：每隔6分鐘發一次車10路：每隔8分鐘發一次車【對應練習1】那西公交8路車和3路車早上6：25同時從公交車站出發，若8路車每35分鐘發一次，3路車每20分鐘發一次，請問下一次同時發車至少是幾時幾分？【對應練習2】偃師802路和803路公交車早上7時同時從起始站發車，802路車每10分鐘發一輛，803路車每15分鐘發一輛。這兩路車第二次同時發車是什么時間？【對應練習3】1路車每5分鐘發一次車，2路車每8分鐘發一次車，15路車每10分鐘發一次車。6時，1路、2路、15路車第一次同時發車，它們第二次同時發車是幾時幾分？【典型例題2】問題二。甲、乙、兩人到圖書館去借書，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他們兩人在圖書館相遇，那么下一次都到圖書館是幾月幾日？【對應練習1】暑假期間，小林和小軍都去參加游泳訓練。小林每6天去一次，小軍每8天去一次。7月31日兩人同時參加了游泳訓練后，幾月幾日他們又再次相遇？【對應練習2】小明和小紅都喜歡去圖書館看書，小明每5天去一次，小紅每4天去一次，5月3日，他們一起到了圖書館，下次遇到是在幾月幾日?【對應練習3】爸爸和媽媽都不是按雙休日休息，爸爸每工作3天輪休1天，媽媽每工作4天輪休1天，3月5日爸爸媽媽同時休息。按此計算，3，4兩個月爸爸和媽媽同時休息的有幾天？分別是哪幾天？【考點十二】最小公倍數的應用其四：同余數問題。【方法點撥】同余數問題：余數相同時，減去余數得到整除。遇到有剩余且剩余的數量一樣多時，先求最小公倍數，再把剩余的加上。【典型例題】現在有一筐蘋果，無論是平均分給8個人，還是平均分給14個人，結果都剩下1個。這筐蘋果至少有多少個？【對應練習1】慶祝“建黨100周年”文藝匯演節目排練中，舞蹈隊形排列不管是5人一隊，還是6人一隊，都多3人。這個舞蹈隊至少有多少人？【對應練習2】把一箱蘋果平均分給一些小朋友，不管是每人分4個蘋果，還是每人分7個蘋果，都多3個。這箱蘋果至少有多少個？【對應練習3】五年級三班買來一批樹苗，分給