試論數(shù)學(xué)史在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用目錄TOC\h\z\t"一級標(biāo)題,1,二級標(biāo)題,2,三級標(biāo)題,3,參考文獻,4"1緒論 11.1研究背景及問題的提出 11.2研究意義 21.3研究方法 22數(shù)學(xué)史及其融入中學(xué)教學(xué)的意義 32.1數(shù)學(xué)史有關(guān)表述 32.2數(shù)學(xué)史的價值 32.3數(shù)學(xué)史在課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求 42.4數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的意義 53數(shù)學(xué)史在中學(xué)“數(shù)系”教學(xué)中的體現(xiàn)分析 53.1“數(shù)系”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性 53.2教科書中“數(shù)系”章節(jié)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容設(shè)置 63.3中學(xué)中“數(shù)系”教學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)史的意義 73.4高考中相關(guān)數(shù)學(xué)史的“數(shù)系”題目 73.5開發(fā)的教學(xué)案例 84數(shù)學(xué)史在中學(xué)“微積分”教學(xué)中的體現(xiàn)分析 164.1“微積分”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性 164.2教科書中“微積分”章節(jié)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容設(shè)置 164.3中學(xué)中“微積分”教學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)史的意義 174.4開發(fā)的教學(xué)案例：導(dǎo)數(shù)的概念 185結(jié)論與建議 22

摘要：隨著數(shù)學(xué)史不斷融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們對數(shù)學(xué)史越來越重視.實際上，數(shù)學(xué)史已經(jīng)融入了中學(xué)數(shù)學(xué)教材中.但是，數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)案例是十分罕見的.本文首先介紹了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究背景、研究意義；其次對數(shù)學(xué)史的一些內(nèi)容做了簡單介紹；最后，以“數(shù)系”和“微積分”為例，探討了如何將數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)教學(xué)緒論1.1研究背景及問題的提出數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷史悠久、源遠流長，在我國，數(shù)學(xué)一直占據(jù)著十分重要的地位．我國數(shù)學(xué)史研究的開創(chuàng)者李儼（1892-1963，福州人），花費了畢生心血在中國數(shù)學(xué)史的研究工作上.18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在一次演講中提出數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系．2009年，康世剛和胡桂花在對我國“數(shù)學(xué)史與中小學(xué)數(shù)學(xué)教育”研究的現(xiàn)狀分析與思考一文中提到：人們越來越重視數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用．2013年，沈佳薪在數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教科書的現(xiàn)狀研究——以人教版、北師大版、華東師大版、蘇教版為例一文中提到：數(shù)學(xué)史與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合的研究發(fā)現(xiàn)能夠有效的激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)探索精神[1].因此，集中精力研究如何結(jié)合數(shù)學(xué)史與中學(xué)數(shù)學(xué)正常教學(xué)內(nèi)容有著重要的意義.2017年，劉付麗清在數(shù)學(xué)史融入中學(xué)微積分教學(xué)的實踐研究一文中提到：微積分本身作為在大學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，經(jīng)過近些年的發(fā)展，已經(jīng)逐漸下放更多的內(nèi)容到中學(xué)階段.微積分的發(fā)展歷史有著巨大的人文及思想價值.微積分不僅僅作為一項知識存在，它對于現(xiàn)實生活產(chǎn)生了巨大的影響，推動了無數(shù)理論和實際科學(xué)的發(fā)展.數(shù)學(xué)史所涉及到的內(nèi)容是十分廣闊的.數(shù)學(xué)史不單單只是數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史那么簡單，它還包括許多的數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)家們的故事．當(dāng)今社會，數(shù)學(xué)史隨我們實際社會生活的發(fā)展而不斷的發(fā)展.讓人惋惜的是，在教育工作者們長期的教育教學(xué)活動中，他們只在意教會學(xué)生如何去解答數(shù)學(xué)問題，忽略了能否通過恰當(dāng)?shù)姆绞剑寣W(xué)生知道某個知識點是怎么來的.所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中介紹一些數(shù)學(xué)背景知識或數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷、數(shù)學(xué)成就是很有必要的，這樣的方式能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)及其相關(guān)知識.因此，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但可以讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生及發(fā)展，而且有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)這門課程.通常地，數(shù)學(xué)教材中介紹得比較多的是數(shù)學(xué)家及他們的事跡，很少有與數(shù)學(xué)史相關(guān)的數(shù)學(xué)教學(xué)案例．本文以2012年出版的人教版義務(wù)教育教科書，及2004年出版的人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實驗教科書為基礎(chǔ)，以“數(shù)系”、“微積分”兩部分為例，探討數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究．1.2研究意義在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，將數(shù)學(xué)史融于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中是一個新的特色.對于數(shù)學(xué)史內(nèi)容編排還是比較靈活的，可以由老師根據(jù)本班學(xué)生的情況而定，讓學(xué)生了解到相對比較完整的數(shù)學(xué)發(fā)展史.現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書都是按章節(jié)進行分章教學(xué)，學(xué)生很難去把這些零零散散的知識點串通起來．但是，數(shù)學(xué)史的融入就可以很好地解決這個棘手的問題.第一，數(shù)學(xué)史能幫助學(xué)生更輕松地理解數(shù)學(xué)知識.學(xué)生之所以不喜歡數(shù)學(xué)，是因為他們覺得數(shù)學(xué)很枯燥而且難以接受．因此，有的學(xué)生一開始就認為自己學(xué)不好數(shù)學(xué)，從而對數(shù)學(xué)這個科目出現(xiàn)認知偏差.這個時候，教師如果可以將數(shù)學(xué)史的內(nèi)容融入到教學(xué)過程中，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)其實數(shù)學(xué)是一門有趣的學(xué)科，從而幫助學(xué)生更容易的理解數(shù)學(xué)的相關(guān)知識.通過數(shù)學(xué)史的融入，不但能讓學(xué)生更深刻的記憶數(shù)學(xué)知識，而且還可以讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識來源于我們實踐生活．第二，可以建立跨學(xué)科聯(lián)系.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中可以建起數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的橋梁，這不但可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，還可以幫助學(xué)生更好地理解其他學(xué)科.比如，歷史上被蘋果砸到的物理學(xué)家牛頓.在物理學(xué)上，牛頓提出了牛頓運動定律；在數(shù)學(xué)上，他與萊布尼茨共同創(chuàng)立了微積分.第三，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.在教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)家們之所以能取得好的研究成果，是因為他們愿意將自己的一生奉獻于探索知識的道路上.因此，學(xué)生在得到啟發(fā)后，轉(zhuǎn)變自己原本的學(xué)習(xí)態(tài)度.呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史的方式各式各樣，可以利用講述故事的方式，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，在理解數(shù)學(xué)的過程中不斷提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家鍥而不舍的探索精神，從而改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀．1.3研究方法本文采用的研究方法：案例分析法、文獻法.案例分析法：本文給出了將數(shù)學(xué)史融入“數(shù)系”、“微積分”章節(jié)的教學(xué)案例，這些案例是在參閱許多與數(shù)學(xué)史有關(guān)的資料后總結(jié)出來的，但愿能為數(shù)學(xué)教師的教學(xué)盡一份綿薄之力.文獻法：收集與“數(shù)系”、“微積分”相關(guān)的資料及文獻，參考前人的研究成果，進行自己的分析與研究.數(shù)學(xué)史及其融入中學(xué)教學(xué)的意義2.1數(shù)學(xué)史有關(guān)表述數(shù)學(xué)史是一門理論科學(xué)學(xué)科，聚焦在數(shù)學(xué)本身發(fā)展規(guī)律上，簡而言之就是研究數(shù)學(xué)的歷史.數(shù)學(xué)史研究對象除了豐富和廣泛的數(shù)學(xué)知識外，還包括教育、歷史、政治等人文社會科學(xué)[2].由于數(shù)學(xué)學(xué)科自身的發(fā)展，就形成了數(shù)學(xué)史.數(shù)學(xué)史隸屬于數(shù)學(xué)學(xué)科，也是數(shù)學(xué)文化之一，二者的關(guān)系并不割裂.數(shù)學(xué)史不僅是數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史那么簡單，數(shù)學(xué)史還蘊含了發(fā)展歷史中的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)解題技巧，數(shù)學(xué)的理性思維，數(shù)學(xué)的批判精神[3].學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史不但能提高學(xué)生的運算能力和思維能力，而且能教給學(xué)生許多純粹的數(shù)學(xué)知識不能教導(dǎo)的，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程學(xué)到更多的知識.2.2數(shù)學(xué)史的價值數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué).數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)發(fā)展與社會的關(guān)系及其自身發(fā)展規(guī)律的一門科學(xué).數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，它有著十分悠久的歷史.所以，讓學(xué)生去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史有很大作用與教育價值.讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史有以下幾個方面的作用：1.相較于其他學(xué)科，數(shù)學(xué)讓學(xué)生覺得枯燥且抽象.在數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)史，可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.2.通過對數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)家們追求真理時體現(xiàn)出來的鍥而不舍的精神.學(xué)生能深刻的意識到：數(shù)學(xué)家的精神是值得學(xué)習(xí)的.3.帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)中國數(shù)學(xué)成就的數(shù)學(xué)史，可以堅定學(xué)生的文化自信和增強學(xué)生的民族自豪感，同時，也可以培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義情懷.4.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史即可以吸取數(shù)學(xué)發(fā)展進程中的一些經(jīng)驗和教訓(xùn)，幫助人們少走彎路[4].數(shù)學(xué)史的教育價值：1.讓學(xué)生能更好的接受數(shù)學(xué)中的一些比較抽象的概念；2.通過向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維；3.數(shù)學(xué)史上有很多有趣的故事，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；4.可以讓學(xué)生明確自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，理解數(shù)學(xué)知識在實際生活中的價值，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).了解數(shù)學(xué)史就可以了解到數(shù)學(xué)知識的相關(guān)發(fā)展進程，從中受到啟發(fā).在借鑒前人成功的經(jīng)驗的同時，也可以避免失敗的教訓(xùn)，從而獲取更多的數(shù)學(xué)素養(yǎng).總之，為了更好地適應(yīng)現(xiàn)代教育的要求，在教學(xué)過程中穿插一些數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，可以起到比較好的效果[5].2.3數(shù)學(xué)史在課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求表2-1我國教育部門相關(guān)文件對數(shù)學(xué)史的要求數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，在不同的時期有不同的要求.內(nèi)容見表2-1.由表2-1可知，我國教育部對數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用越來越重視.數(shù)學(xué)史可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)人文情懷，幫助學(xué)生認識到數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價值、文化價值和審美價值，從而鼓勵學(xué)生自主探索，敢于質(zhì)疑的精神，培養(yǎng)其善于發(fā)現(xiàn)問題，不畏創(chuàng)新的能力[6].2.4數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的意義我國著名數(shù)學(xué)家李文林曾說過：“為教育而歷史”，也就是說，可以將數(shù)學(xué)史上的研究成就應(yīng)用到數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的意義有以下幾個方面：首先，融入數(shù)學(xué)史可以使看起來死板的數(shù)學(xué)變得活靈活現(xiàn),充分激發(fā)學(xué)生的初步興趣.陶行知先生曾經(jīng)說過：“興趣是最好的老師”，一個人一旦對事物產(chǎn)生了興趣，就很容易達成目標(biāo).所以，加入有趣的數(shù)學(xué)史材料，不但可以讓學(xué)生了解知識的產(chǎn)生與發(fā)展，還可以讓學(xué)生從中獲得樂趣.其次，數(shù)學(xué)史中定理的證明包含了很多巧妙的思想方法，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.3.數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以讓學(xué)生了解到劉徽、秦九韶等人在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的偉大成就，增強學(xué)生的民族自豪感，從而幫助他們樹立正確的情感態(tài)度價值觀.數(shù)學(xué)史在中學(xué)“數(shù)系”教學(xué)中的體現(xiàn)分析“數(shù)系”是中學(xué)數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)，它也是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ).它們在中學(xué)數(shù)學(xué)中的分布如表3-1.表3-1“數(shù)系”是中學(xué)數(shù)學(xué)中的分布3.1“數(shù)系”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性數(shù)系包括數(shù)的概念、數(shù)的運算以及規(guī)律等，是數(shù)的系統(tǒng)的簡稱.數(shù)系在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中不斷的擴充和完善，數(shù)系的擴充有兩個主要原因：分別出于社會生活發(fā)展和數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的必要．?dāng)?shù)系的發(fā)展出于數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展和社會生活發(fā)展的共同需要.在數(shù)的發(fā)展過程中，數(shù)系大致經(jīng)歷了如圖3-1的過程.因此，數(shù)系在數(shù)學(xué)中的地位是不可替代的.圖3-1數(shù)系圖3.2教科書中“數(shù)系”章節(jié)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容設(shè)置3.2.1初中教科書中“數(shù)系”數(shù)學(xué)史的內(nèi)容設(shè)置選取2012年教育部審定的初中教科書七年級上、下冊.具體內(nèi)容如表3-2.表3-2人教版初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容設(shè)置3.2.2高中教科書中“數(shù)系”數(shù)學(xué)史的內(nèi)容設(shè)置選取的是2005年人民教育出版社出版的A版高中數(shù)學(xué)教材．具體內(nèi)容如表3-3．表3-3人教A版高中數(shù)學(xué)教材“數(shù)系”數(shù)學(xué)史內(nèi)容設(shè)置3.3中學(xué)中“數(shù)系”教學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)史的意義數(shù)系的發(fā)展歷經(jīng)幾百年的歷史，“數(shù)系”這是一個概念，學(xué)生很難在幾十分鐘的課堂中就認清數(shù)的本質(zhì).最讓人難于接受的是，要打破原有的認知，去接收一個新的知識，這是很難的.例如，虛數(shù)的引入，在原有的認知里只存在實數(shù)，并無虛數(shù)一說，先學(xué)習(xí)虛數(shù)就需要打破原有的認知結(jié)構(gòu).所以，對學(xué)生而言，在“數(shù)系”這一章節(jié)融入數(shù)學(xué)史是十分重要的.“數(shù)系”的發(fā)展是數(shù)學(xué)家們創(chuàng)新精神的體現(xiàn).借助數(shù)學(xué)史，鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們的大膽質(zhì)疑精神，勇于探索精神，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識[7].3.4高考中相關(guān)數(shù)學(xué)史的“數(shù)系”題目例：2009年湖北卷理科第10題，文科第10題，如下圖3.5開發(fā)的教學(xué)案例3.5.1案例一：無理數(shù)的引入一.教學(xué)目標(biāo)1.讓學(xué)生認識無理數(shù)，并且學(xué)會判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)；2.帶學(xué)生簡單了解無理數(shù)產(chǎn)生的背景，認識學(xué)習(xí)無理數(shù)的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力；3.讓學(xué)生了解無理數(shù)，調(diào)動學(xué)生的積極性，激勵他們學(xué)習(xí).二.教學(xué)重點1.認識無理數(shù)；2.會判斷一個數(shù)是否為無理數(shù).三.教學(xué)難點難點：帶領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，讓學(xué)生感知到無理數(shù)確實是存在于我們的實際生活之中的數(shù).四.教學(xué)過程(一)故事情景，引入新課師:歷史上有一個十分出名的畢達哥拉斯學(xué)派，他們有一個信條：“萬物皆數(shù)，即宇宙間的一切現(xiàn)象都可以歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比.”在2500多年前，人們對數(shù)學(xué)就已經(jīng)有了那么高等的認識.人們對數(shù)學(xué)就已經(jīng)有了那么高等的認識.同學(xué)們，調(diào)動你們的知識，思考一下在他們那個時代，當(dāng)時已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)？生1：整數(shù)和分?jǐn)?shù).師:好.那么大家同意他們的看法嗎?生2:我不贊同.當(dāng)時，他們或許還不知道存在負數(shù)呢.師:這位同學(xué)的想象力十分豐富，但實際上，當(dāng)時他們已經(jīng)知道了負數(shù).例如，一個人做生意把本金全虧掉，還欠了別人100塊，這個人的財產(chǎn)就用-100來表示.也就是說，當(dāng)時他們已經(jīng)認識到有理數(shù)了.看來同學(xué)們都很厲害，那么快就掌握了那時候的最高學(xué)問.(學(xué)生笑了起來，似乎有些自豪.)師：現(xiàn)在讓我們大家一起來做一個小游戲吧.請每一位同學(xué)在你的草稿本上任意寫出一個分?jǐn)?shù)，與你的同桌交換本子，然后，各自將本子上這個數(shù)表示成小數(shù).你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象嗎?生3:老師，我和周圍的同學(xué)發(fā)現(xiàn)這些數(shù)有的表示出來是有限小數(shù)，有的表示出來是無限循環(huán)小數(shù).師:原來有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)就是畢達哥斯學(xué)派所指的數(shù).那么，同學(xué)們猜猜看，他們還沒有發(fā)現(xiàn)什么數(shù)呢?生4:老師，我知道了，是無理數(shù).師:(表現(xiàn)得很驚訝)為什么呀?生4:有有理數(shù)的話，那就有無理數(shù)呀.既然我們知道了有理數(shù)，那還不知道的就是無理數(shù).師:這位同學(xué)很擅長利用類比思想考慮問題嘛，真棒！那我來問問同學(xué)們，除了有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，還存在別的什么數(shù)是畢達哥斯學(xué)派沒想到的呢？生5:老師，他們還沒有想到無限不循環(huán)小數(shù).而且，無限不循環(huán)小數(shù)是不可以用兩個整數(shù)之比表示出來的.師：好，這位同學(xué)說得很對，一個數(shù)如果是無限不循環(huán)小數(shù)的話，那它就不能用整數(shù)之比來表示.顯而易見，在那個時候畢達哥拉斯學(xué)派并沒有意識到這一點.其實，在2300多年前，人類開始了最早的研究.我們剛剛已經(jīng)證實了畢達哥斯學(xué)派的學(xué)說確實是存在漏洞的，那么當(dāng)時有沒有人出來反駁呢？（停頓一下，讓學(xué)生激烈的討論一番，然后教師開始講述故事）其實啊，在當(dāng)時呢，的確出現(xiàn)過那么一位“勇士”.生6：誰啊，老師？師：傳說，無理數(shù)最早是由畢達哥斯學(xué)派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)的.他發(fā)現(xiàn)一個事實：邊長為1的正方形的對角線長不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示，即若正方形的邊長為1，則該正方形對角線的長不可以由任意一個有理數(shù)表示出來.然后呢，希伯索斯的這個發(fā)現(xiàn)動搖了畢達哥拉斯學(xué)派的信條，而畢達哥拉斯深信任何數(shù)都可以由整數(shù)或分?jǐn)?shù)表示出來.于是，引發(fā)持續(xù)了兩千多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機.在現(xiàn)代，隨著社會的進步和發(fā)展，不斷有學(xué)者來解決，并且正視此問題.這場危機最終也的發(fā)展起到了積極的作用.我們將類似于希伯索斯發(fā)現(xiàn)的這個數(shù)稱為無理數(shù)，于是，無理數(shù)就產(chǎn)生了.（二）探究新知活動1：讓學(xué)生自己動手操作，切身感受無理數(shù)的實際背景師：現(xiàn)在，我們來玩?zhèn)€小游戲.請同學(xué)們拿出兩個邊長為1的小正方形，通過剪、拼的方式得到一個大正方形.（注：①所剪塊數(shù)盡可能的少；②拼接成功后，材料不準(zhǔn)有剩余，并且所得的大正方形必須是一個整體，無空缺、無缺失.）給學(xué)生一定的時間交流討論.在此過程中，觀察學(xué)生是否主動探究，是否樂意與他人交流討論，并且及時給予他們肯定及鼓勵.學(xué)生盡可能自己剪拼，完成拼圖.（在有困難的時候，也可以與同桌交流討論，完成拼圖.）請同學(xué)代表來展示自己的作品，并說出自己是如何得到大正方形的.師：邊長為1的正方形的對角線等于多少？生：是.師：由前面同學(xué)們拼的大正方形面積可以知道，“”，那么等于多少呢？同學(xué)們發(fā)揮自己的想象力，好好的思考一下，的值究竟為多少呢？活動2：讓學(xué)生感知無理數(shù)的存在師：現(xiàn)在，我們得到了這個大正方形，對這個大正方形你可以提出哪些問題？生：它的面積、周長、邊長、對角線等.師：大正方形的面積、對角線很容易就能確定，那么它的邊長呢？它的值是多少呢？是屬于什么數(shù)呢？師：之前，我們都學(xué)過一些什么數(shù)呀，你們可以將它們分類出來嗎?（回顧與有理數(shù)相關(guān)的知識）有有理數(shù)有有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)0負整數(shù)正分?jǐn)?shù)負分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)生1：有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù).生2：整數(shù)可以分為負整數(shù)、正整數(shù)和0.生3：分?jǐn)?shù)可以分為正、負分?jǐn)?shù).師：那現(xiàn)在，請同學(xué)們思考一下（小正方形對角線的長）是不是有理數(shù)呢？如果的話，那它是屬于整數(shù)還是分?jǐn)?shù)呢？下面我們來分別討論一下.證明：在三角形ABC中，，，.不為整數(shù).證：由三角形的三邊關(guān)系，我們可以得到且故不為整數(shù).師：不是整數(shù)，是分?jǐn)?shù)嗎？生4：是.師：你能找出是分母為多少的分?jǐn)?shù)嗎？（鴉雀無聲）師引導(dǎo)：我們可以從分母最小的分?jǐn)?shù)開始尋找.1.是分母為2的分?jǐn)?shù)嗎？計算：，.結(jié)論：不是分母為2的分?jǐn)?shù).2.是分母為3的分?jǐn)?shù)嗎？計算：，.結(jié)論：不是分母為3的分?jǐn)?shù).3.是分母為4的分?jǐn)?shù)嗎？計算：，.結(jié)論：不是分母為4的分?jǐn)?shù).4.是分母為5、6的分?jǐn)?shù)嗎？通過計算，得到結(jié)論：不是分母為5、6的分?jǐn)?shù).5.是分母為多少的分?jǐn)?shù)？歸納發(fā)現(xiàn)：不是分?jǐn)?shù).總結(jié)：既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，那就說明不是有理數(shù).這時，我們需要引入一個新數(shù)來定義它，我們就把這個新的數(shù)叫做無理數(shù).有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別：（1）有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).（2）任意一個有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，但是無理數(shù)不能化為分?jǐn)?shù)的形式.（三）鞏固練習(xí)[例1]下面這些數(shù)，哪些數(shù)為有理數(shù)，哪些數(shù)為無理數(shù)？，，，，，，，，，，(兩個3之間依次多一個1).解:有理數(shù)：，，，，，，.無理數(shù)：，，，.師:通過例1的練習(xí)，你能得到關(guān)于無理數(shù)的哪些結(jié)論?生:1.無理數(shù)有正、負之分；2.無理數(shù)有無限多個；3.帶有根號的數(shù)并不都是無理數(shù).[例2]下列說法對不對?如果不對，請舉反例.(1)無限小數(shù)都是無理數(shù);(2)無理數(shù)都是無限小數(shù);(3)無理數(shù)都是帶根號的數(shù);(4)帶根號的數(shù)都是無理數(shù).解:(1)不對.是無限小數(shù)，但它是有理數(shù).（2）對.（3）不對.和都沒有根號，但是，它們卻都是無理數(shù).（4）不對.，都帶根號，但它們都是有理數(shù).（四）課堂小結(jié)（1）什么無理數(shù)；（2）給定一個數(shù)，你怎么去判斷它是有理數(shù)還是無理數(shù).3.5.2案例二：復(fù)數(shù)的引入一.教學(xué)目標(biāo)1.認識虛數(shù)；能夠區(qū)分虛數(shù)的實部與虛部；2.了解虛數(shù)的產(chǎn)生過程；3.由數(shù)學(xué)史引入復(fù)數(shù)，讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)如何產(chǎn)生，從而激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.二.教學(xué)重點重點：認識虛數(shù).三.教學(xué)難點難點：學(xué)會分辨實部和虛部.四.教學(xué)過程(一)回顧舊知，引入新課數(shù)集的產(chǎn)生如下圖：正整數(shù)（自然數(shù)）正整數(shù)（自然數(shù)）0負整數(shù)正分?jǐn)?shù)負分?jǐn)?shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)無理數(shù)數(shù)實數(shù)虛數(shù)正無理數(shù)負無理數(shù)自然數(shù)是通過計數(shù)產(chǎn)生的;負整數(shù)是通過減法產(chǎn)生的；分?jǐn)?shù)是通過除法產(chǎn)生的，從而形成了有理數(shù).在古希臘，人們通常用線段來表示正有理數(shù)，而在表示邊長為1的正方形的對角線時遇到了困難，于是便引入了無理數(shù)的概念.（二）探究新知問題：在我們解一元二次方程時，求根公式中是怎么來的？當(dāng)時呢？生1：當(dāng)，方程有實數(shù)解.生2：當(dāng)，方程沒有實數(shù)解.師：是的，歷史上，對于的二次方程，當(dāng)判別式時，認為沒有解.后來，有數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)解三次方程需要用到負數(shù)開平方，同時，負數(shù)開平方運算也可以代入到解二次方程中.下面，我們用方程來討論判別式小于零時的方程的解.師：一般地，一元二次方程沒有實數(shù)根.在實數(shù)的范圍內(nèi)，不存在有一個實數(shù)的平方等于一個負數(shù).同學(xué)們思考一下：什么樣的數(shù)，它的平方會等于呢？

生3：實數(shù)，實數(shù)，是一個實際存在的數(shù).那會不會這個不存在的數(shù)叫做虛數(shù)？師：這個同學(xué)很有想象力，非常好.這個時候需要引入一個新數(shù)，我們把它稱為虛數(shù)單位，記作.

我們對上面引入的新數(shù)作規(guī)定:.復(fù)數(shù)的概念：我們把形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中叫做復(fù)數(shù)的實部，叫做復(fù)數(shù)的虛部.我們將復(fù)數(shù)的全體叫做復(fù)數(shù)集，用字母來表示.復(fù)數(shù)集是實數(shù)集的擴展，在擴展中引入一個新數(shù)“”，即虛數(shù)單位.對于復(fù)數(shù)：（1）虛部為0的復(fù)數(shù)叫實數(shù)；（2）虛部不為0的復(fù)數(shù)叫虛數(shù)；（3）實部為0的復(fù)數(shù)叫純虛數(shù).復(fù)數(shù)相等的定義：兩個復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實部與虛部分別對應(yīng)相等，即當(dāng)且僅當(dāng)且.（三）鞏固練習(xí)例1（填空）我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中：（1），分別是它的（）和（）.（2）當(dāng)（）時，為實數(shù)；（3）當(dāng)（）時，為虛數(shù)；（4）當(dāng)（）時，為純虛數(shù).答：（1）實部，虛部.（2）；（3）；（4）.例2仔細觀察下面這些數(shù)，判斷它們哪些為復(fù)數(shù)，實數(shù)，虛數(shù)，純虛數(shù)？并且在每個數(shù)后面寫出它們的實部與虛部.，，，，，，，.解：復(fù)數(shù)：，實部為，虛部為.，實部為，虛部為.，實部為，虛部為.，實部為，虛部為.，實部為，虛部為.，實部為，虛部為.，實部為，虛部為.，實部為，虛部為.實數(shù)：，，.虛數(shù)：，，，，.純虛數(shù)：，.例3如果要使得復(fù)數(shù)為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，那么實數(shù)應(yīng)該各取何值？解：1.時，復(fù)數(shù)為實數(shù).即2.時，復(fù)數(shù)為虛數(shù).即3.時，復(fù)數(shù)為實數(shù).即例4若，則，的值為?解：由題意，可有解得所以，的值為1，7.（四）課堂小結(jié)（1）復(fù)數(shù)；（2）是實部，是虛部.數(shù)學(xué)史在中學(xué)“微積分”教學(xué)中的體現(xiàn)分析微積分是大學(xué)高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它是連接高中與大學(xué)的知識.中學(xué)微積分知識點分布在高中課程的選修課本中，本文選取導(dǎo)數(shù)這一節(jié)作為代表.4.1“微積分”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性微積分是高中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，它是連接高中與大學(xué)的一個知識點.在進入高中后，學(xué)習(xí)微積分是相當(dāng)有必要的.首先，在高中課程中融入微積分知識，可以為在大學(xué)學(xué)習(xí)微積分奠定基礎(chǔ)；其次，學(xué)習(xí)微積分知識有益于更好理解初等數(shù)學(xué)中的知識；再次，學(xué)習(xí)微積分知識有利深刻理解物理知識；最后，微積分中蘊含了許多數(shù)學(xué)思想，這些思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維.在高中畢業(yè)之后，一些學(xué)生選擇繼續(xù)深造就進入了大學(xué)，這時高中學(xué)習(xí)到微積分知識就能很好的遷移到大學(xué)微積分知識中，便可以作為學(xué)習(xí)大學(xué)微積分的基礎(chǔ)；另一些學(xué)生則選擇進入社會工作，這時微積分知識可以作為掌握新技術(shù)和更新知識的基礎(chǔ).微積分不只是應(yīng)用于數(shù)學(xué)這門學(xué)科，它還應(yīng)用于研究物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域.在現(xiàn)代研究中，微積分已經(jīng)成為了一個必不可缺的工具.微積分中蘊含了許多培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維能力的思想方法.在高中開設(shè)微積分課程不僅是科技發(fā)展對數(shù)學(xué)課程的要求，也是實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)發(fā)展性與教育性目標(biāo)的要求[8].“微積分”是歐式幾何后，所有數(shù)學(xué)中的一個最大的創(chuàng)造[9].4.2教科書中“微積分”章節(jié)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容設(shè)置選取的是2005年人民教育出版社出版的A版教材，“微積分”的內(nèi)容分布在選修1-1，2-2及3-1《數(shù)學(xué)史選講》的章節(jié).以理科教科書選修2-2，選修3-1《數(shù)學(xué)史選講》為例，具體內(nèi)容如表4-1.表4-1人教A版高中數(shù)學(xué)課本“微積分”數(shù)學(xué)史內(nèi)容設(shè)置4.3中學(xué)中“微積分”教學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)史的意義回顧歷史，在2000年前，古希臘和中國就產(chǎn)生了微積分的思想.微積分是人類文明發(fā)展史上理性智慧的精華，它的出現(xiàn)不僅更新了數(shù)學(xué)的面貌，而且顯著地促進了整個科學(xué)技術(shù)的發(fā)展[10].微積分的發(fā)展歷程和我們實際生活中的問題是緊密相連的.在源遠流長的數(shù)學(xué)史上，許多數(shù)學(xué)家留下了一些耐人尋味的故事，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師可以利用這些趣事引起學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.微積分的產(chǎn)生起源于極限思想，最早可追溯到我國的戰(zhàn)國時期.魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯的“窮竭法”，阿基米德的“平衡法”等都蘊含著微積分的基本思想[11].在教學(xué)過程提及這些思想，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高教學(xué)效率.所以，在微積分教學(xué)課堂滲透數(shù)學(xué)史，學(xué)生會提高對微積分的興趣，感受其重要性，了解微積分的文化價值，感受微積分蘊含的文化魅力[12].在微積分的教學(xué)過程中，教師如果只呈現(xiàn)給學(xué)生微積分定理，那么這堂課就會變得枯燥無味，學(xué)生很難消化這個定理的內(nèi)容.但如果教師講述與微積分相關(guān)的發(fā)展史，學(xué)生就能感受到數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程，這樣的方式不僅利于學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念，還可以增加課堂的趣味性.許多老師沒有關(guān)注到學(xué)生的認知規(guī)律，循規(guī)蹈矩地按教材內(nèi)容進行教學(xué)，讓學(xué)生覺得微積分乏味，從而提不起學(xué)習(xí)微積分的興趣.大多數(shù)人覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只是為了應(yīng)付考試，等到他們離開學(xué)校就用不到在數(shù)學(xué)上學(xué)習(xí)到的知識了.事實上，他們這樣的想法是不正確的.對我們而言，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不只是為了考試，更重要的是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中我們形成了數(shù)學(xué)觀念和精神，這才是我們不斷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正目的.不少數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)時歷經(jīng)失敗，甚至有的數(shù)學(xué)家窮極一生也沒能摸索出自己想要的答案，這是一個漫長而又艱苦的過程.在教師教學(xué)過程中，為學(xué)生們講述數(shù)學(xué)家們面對的困難時不屈不撓的精神，可以啟發(fā)學(xué)生不要在學(xué)習(xí)中稍微遇到一小點挫折就退縮，幫助他們正確看待在學(xué)習(xí)上遇到的挫折.4.4開發(fā)的教學(xué)案例：導(dǎo)數(shù)的概念一.教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程；知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)；學(xué)會求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)；2.先理解導(dǎo)數(shù)的概念背景，培養(yǎng)解決問題的能力；再熟悉基本定義和其幾何上的意義，同時灌輸轉(zhuǎn)化問題的思想和能力；最后求切線的方程，教會學(xué)生問題之間的轉(zhuǎn)化和替代；3.讓學(xué)生感受事物間的聯(lián)系，體驗數(shù)學(xué)的美.二.教學(xué)重點重點：瞬時變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念.三.教學(xué)難點難點：導(dǎo)數(shù)的概念.四.教學(xué)過程(一)回顧歷史，引入新課在古代就產(chǎn)生了微分和積分思想.17世紀(jì)時，微積分成為了一門學(xué)科.導(dǎo)數(shù)和極限是微積分的兩個重要組成部分.導(dǎo)數(shù)的概念是牛頓和萊布尼茨建立的.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲著重于幾何學(xué)來考慮，而英國數(shù)學(xué)家牛頓則是側(cè)重于運動學(xué).（二）探究新知問題1已知：小球做自由落體運動的方程為：，，求：小球在時刻（）的瞬時速度.設(shè)為的鄰近時刻，則小球在時間段上的平均速度為若時，平均速度的極限存在，則極限為該物體在時刻的瞬時速度.上述問題可以歸結(jié)到求形如的極限問題.在物理上，電流強度、物質(zhì)比熱、線密度等問題都可以化為討論形如上述的極限問題.也正是為了進一步研究這類問題，才產(chǎn)生了“導(dǎo)數(shù)”概念.導(dǎo)數(shù)定義[13]：，為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即若上述極限不存在，則稱在點處不可導(dǎo).（三）鞏固練習(xí)例1求在點處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線在點處的切線方程.解：由定義例2設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，存在，證明：.證：因為所以又例3討論函數(shù)在處的連續(xù)性，可導(dǎo)性.解：首先討論在處的連續(xù)性即在處連續(xù).再討論在處的可導(dǎo)性此極限不存在即在處不可導(dǎo).問：此處怎樣修改在的表達式，可變成在處可導(dǎo)？答：，，即可.（四）課堂小結(jié)（1）瞬時速度；平均、