秘密★啟用前2024年普通高校招生考試適應性檢測數學試題滿分為150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡相應的位置上，用2B鉛筆將自己的準考證號填涂在答題卡上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；在試卷上作答無效．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫在答題卡上各題目指定區域內的相應位置上，超出指定區域的答案無效；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔和平整．一、單選題1.若全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用補集、交集的定義求解即得.【詳解】由，得或，而，所以.故選：B2.若，則（）A.1 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】由復數的四則運算以及模的計算公式即可得解.詳解】依題意，，則.故選：B.3.若三個不同的平面滿足則之間的位置關系是（）A. B.C.或 D.或與相交【答案】D【解析】【分析】利用正方體中的面面關系即可求解.【詳解】由可得或與相交，比如在正方體中，平面平面，平面平面，則平面平面，又平面平面，平面平面，但是平面與平面相交，故選：D4.展開式中，的系數為（）A. B.320 C. D.240【答案】A【解析】【分析】根據二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】因，所以通項公式為：，令，所以，設二項式的通項公式為：，令，所以，因此項的系數為：，故選：A.5.記為等差數列的前項和，已知，，則取最小值時，的取值為（）A.6 B.7 C.7或8 D.8或9【答案】C【解析】【分析】要求取最小值時，先求的通項，由可得，求得，進而求得，根據的正負情況即可得解.【詳解】根據等差數列的性質可得，所以，所以，所以，，當時，，當時，，所以當的取值為7或8時，取最小值.故選：C6.設，，，設a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數，由導數判斷單調性后比較．【詳解】解：構造函數，則，當時，，函數在上為減函數，而，，，又，所以，即，故選：A7.在平行四邊形中，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據向量的運算律及數量積定義計算即可.【詳解】設與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，由題意，所以，所以，即，所以，所以，因為，所以，所以，即.故選：A8.已知雙曲線的右頂點為，若直線與的兩條漸近線分別交于，兩點，且滿足，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，將直線方程與漸近線方程聯立，得到，兩點的坐標，根據向量的坐標運算以及離心率公式再進行求解即可．【詳解】易知雙曲線的漸近線方程為，聯立，解得，即，聯立，解得，即，因為，所以，即，因為，所以，解得，則雙曲線的離心率．故選：C．二、多選題9.已知函數的最小正周期大于，若曲線關于點中心對稱，則下列說法正確的是（）A. B.是偶函數C.是函數的一個極值點 D.在單調遞增【答案】ABC【解析】【分析】由最小正周期大于，關于點中心對稱，可知，對于，直接代入函數解析式求解即可；對于，利用函數奇偶性的定義判斷即可；對于，通過求導，令導函數為，求得的值，并判斷左右兩端函數的單調性即可判斷；對于，通過求函數的單調遞增區間即可求解.【詳解】因為的最小正周期大于，所以，即，又關于點中心對稱，所以，所以，因為，所以當時，，所以，對于，，故正確；對于，，由且是全體實數，所以是偶函數，故正確；對于，，令得，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以是函數的極大值點，故正確；對于，由，，得，函數的單調遞增區間為，，當時，，當時，，顯然函數在上不單調，故不正確.故選：.10.某學校為了解學生身高（單位：cm）情況，采用分層隨機抽樣的方法從4000名學生（該校男女生人數之比為）中抽取了一個容量為100的樣本.其中，男生平均身高為175，方差為184，女生平均身高為160，方差為179.則下列說法正確的是參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差分別為：，，，，，.記總的樣本平均數為，樣本方差為，則（）參考公式：A.抽取的樣本里男生有60人B.每一位學生被抽中的可能性為C.估計該學校學生身高的平均值為170D.估計該學校學生身高的方差為236【答案】ABD【解析】【分析】根據分層抽樣的公式，以及利用每層樣本的平均數和方差公式，代入總體的均值和方差公式，即可判斷選項.【詳解】對于項，抽取的樣本里男生有人，所以A項正確；對于B項，由題可知，每一位學生被抽中的可能性為，所以B項正確；對于C項，估計該學校學生身高的平均值為，所以C項錯誤；對于D，估計該學校學生身高的方差為，所以D項正確.故選：ABD11.已知函數的定義域為，其導函數為，若函數的圖象關于點對稱，，且，則（）A.的圖像關于點對稱 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據函數的圖象變換及其對稱性，可得判定A正確；結合和，化簡得到，可判定B不正確；令，得到，得到函數和是以4為周期的周期函數，結合，可判定C正確；結合，，，得到，結合是以4為周期的周期函數，進而求得的值，即可求解.【詳解】對于A中，設函數的圖象關于對稱，則關于對稱，可得關于對稱，因為函數的圖像關于點對稱，可得，解得，所以函數的圖象關于對稱，所以A正確；對于B中，由函數的圖象關于對稱，可得，因為，可得，則，兩式相減得，即，所以B不正確；對于C中，令，可得，因為，所以，所以函數是以4為周期的周期函數，由，可得，所以，因為函數是以4為周期的周期函數，則是以4為周期的周期函數，所以，由，可得，即，令，可得，所以，所以，所以，所以C正確；對于D中，因為，且函數關于對稱，可得，又因為，令，可得，所以，再令，可得，所以，由，可得，可得又由函數是以4為周期的周期函數，且，所以，所以D正確.故選：ACD.【點睛】知識結論拓展：有關函數圖象的對稱性的有關結論（1）對于函數，若其圖象關于直線對稱（時，為偶函數），則①；②；③.（2）對于函數，若其圖象關于點對稱（時，為奇函數），則①；②；③.（3）對于函數，若其圖象關于點對稱，則①；②；③.三、填空題12.已知圓臺的側面積與軸截面的面積之比為，若上、下底面的半徑分別為1和2，則母線長為__________．【答案】2【解析】【分析】設圓臺母線長為，根據圓臺的側面積公式和梯形面積公式分別計算側面積和軸截面面積，由條件列方程求母線長.【詳解】設圓臺的母線長為，高為，則，因為圓臺上、下底面的半徑分別為1和2，所以圓臺的側面積，軸截面面積，由已知，化簡得，所以解得．故答案為：2.13.已知曲線在處的切線與圓相交于、兩點，則____________．【答案】【解析】【分析】先求出函數在處的切線方程，再由圓內弦長公式求得即可.【詳解】由，定義域為，，則切線斜率，又，所以切線方程為：，化簡為：；又因為圓的圓心，半徑，設圓心到直線的距離為，則，則.故答案為：14.德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學王子．他年幼時，在的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律而生成．此方法也稱為高斯算法．現有函數，設數列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先計算出的圖象關于點中心對稱，利用倒序相加求出，從而得到，結合對勾函數的單調性得到，求出的取值范圍.【詳解】因為，所以的圖象關于點中心對稱．因為，所以，兩式相加得，所以．由，得，所以．令，則當時，單調遞減；當時，單調遞增．又，所以，所以，即的取值范圍是．故答案為：【點睛】結論點睛：函數的對稱性：若，則函數關于中心對稱，若，則函數關于對稱.四、解答題15.的內角的對邊分別為．分別以為邊長的正三角形的面積依次為，且．（1）求角；（2）若，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，化簡得到，利用余弦定理求得，即可求解；（2）設，在和中，利用正弦定理化簡得到，結合三角函數基本關系式，聯立方程組，求得的值.【小問1詳解】解：由分別以為邊長的正三角形的面積依次為，則，可得，由余弦定理得，因為，所以.【小問2詳解】解：設（其中為銳角），在和中，由正弦定理可得且，于是，又因為，所以，化簡得，根據同角三角函數的基本關系式，可得，因為，聯立方程組，解得，即.16.某校為慶祝元旦，舉辦了游園活動，活動中有一個填四字成語的游戲，游戲規則如下：該游戲共兩關，第一關中四字成語給出其中三個字，參與游戲者需填對所缺的字，才能進入第二關；第二關中四字成語給出其中兩個字，剩余兩個字全部填對得10分，只填一個且填對得5分，只要填錯一個或兩個都不填得0分．（1）已知小李知道該成語的概率是，且小李在不知道該成語的情況下，填對所缺的字的概率是，在小李通過第一關的情況下，求他知道該成語的概率．（2）在過第二關時，小李每個字填與不填是等可能的，且每個字填對與填不對也是等可能的．記表示小李在第二關中得到的分數，求的分布列及數學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數學期望為.【解析】【分析】（1）利用全概率公式和條件概率公式計算即可；（2）首先得到的可能取值為0，5，10，再根據獨立事件的乘法公式一一計算分布列，最后得到其數學期望.【小問1詳解】記事件為“小李通過第一關”，事件為“小李知道該成語”，則，由全概率公式可得，則所求概率為.【小問2詳解】設事件表示小明填了個字，表示填到的字都是正確的.的可能取值為0，5，10，，，.隨機變量的分布列為故.17.如圖，四棱臺的底面為菱形，，點為中點，．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接、，即可證明平面，從而得到，再由勾股定理逆定理得到，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】連接、，因為四邊形為菱形，所以是邊長為的正三角形，因為為中點，所以，，又因為，平面，所以平面，又平面，所以，又，，，所以，所以，又因為平面，所以平面.【小問2詳解】因為直線兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，所以設平面的一個法向量為，則，即，令，得，所以，由題意知，是平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知函數（1）當時，求函數的極值；（2）設函數有兩個極值點，且，若恒成立，求最小值．【答案】（1）極大值；極小值（2）【解析】【分析】（1）將代入函數解析式，對函數求導，利用導數即可判斷函數單調性，求得極值.（2）對函數求導，結合已知條件得方程有兩個相異的正根，利用為韋達定理求得，再結合，求出范圍，進而確定的范圍，由，得，構造函數，利用導數判斷函數單調性確定函數最值，即可求解.【小問1詳解】當時，有，令，即，解得或，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增；所以時，取得極大值，極大值為，時，取得極小值，極小值為.【小問2詳解】因為，所以由已知函數有兩個極值點，所以方程有兩個相異的正根所以，即或，又，所以，，所以；所以對稱軸為，二次函數與軸交點為、，且，所以在對稱軸的右側，則有，因為，即，所以，其中，令，則，令，解得均不在定義域內，所以時，，在上單調遞減，，所以，即最小值為.19.已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓的短軸長為，離心率為.點為橢圓上的一個動點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，設，.（1）求橢圓的方程；（2）證明：為定值；（3）已知，用表示的面積，并求出的最大值.【答案】（1）（2）證明見解析（3），【解析】分析】（1）根據條件得到，求出，即可求出結果；（2）設，，利用條件得，，再利用，在橢圓上，即可得到，，從而證明結果；（3）利用，再根據條件得到，最后使用不等式求出最大值.【小問1詳解】由題知，得到，又，解得，所以橢圓的方程為.