第第頁貴州省貴陽市2024屆高三下學期適應性考試數(shù)學試卷（一）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合A={1，3，A．{1，2，C．{1，3} 2．已知z是復數(shù)，若(1+i)z=2，則z=（）A．1?i B．1+i C．2i D．2?2i3．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知A．150 B．140 C．130 D．1204．向量a=(6，2)A．(2，?1) B．(1，?125．已知圓C：(x?1)A．直線l過定點(?1，?1) B．直線l與圓C．若直線l平分圓C的周長，則m=?4 D．直線l被圓C截得的最短弦的長度為36．2023年8月至10月貴州榕江舉辦了“超級星期六”全國美食足球友誼賽.已知第一賽季的第一個周六（8月26日）共報名了貴州貴陽烤肉隊等3支省內(nèi)和遼寧東港草莓隊等3支省外美食足球代表隊.根據(jù)賽程安排，在8月26日舉行三場比賽，每支球隊都要參賽，且省內(nèi)代表隊不能安排在同一場，則比賽的安排方式有（）A．6種 B．9種 C．18種 D．36種7．將函數(shù)fx=sinx的圖像先向右平移π3個單位長度，再把所得函數(shù)圖象上的每個點的縱坐標不變，橫坐標都變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0)倍，得到函數(shù)gx的圖像.若函數(shù)A．0,16 B．0,13 C．8．已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，且f'x+eA．?∞,1 B．1,+∞ C．13,1 二、多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．設樣本數(shù)據(jù)1，3，5，6，A．若x=6，則m=7 B．若m=2024，則C．若m=7，則s2=11 D．若m=12，則樣本數(shù)據(jù)的10．已知a>0,b>0，且a+b=2，則（）A．2a+2C．log2a+log11．在三棱錐P?ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AB=3，平面ABC內(nèi)動點D的軌跡是集合M={D||DA|=2|DB|}.已知CA．動點D的軌跡是圓 B．平面PCD1C．三棱錐P?ABC體積的最大值為3 D．三棱錐P?D三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知tanα=2，則1sin2α=13．已知一個圓臺的上?下底面半徑分別為1和3，高為23.若圓臺內(nèi)有一個球，則該球體積的最大值為14．設F1,F2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點，B為橢圓四、解答題：共5個小題，滿分77分.解答應寫出相應的文字說明，證明過程或演算步驟.15．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為（1）求角A；（2）若a=2，求△ABC面積的最大值.16．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=2.（1）證明：平面PCD⊥平面PAD；（2）求平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值.17．猜燈謎，是我國獨有的民俗文娛活動，是從古代就開始流傳的元宵節(jié)特色活動.每逢農(nóng)歷正月十五傳統(tǒng)民間都要把謎語寫在紙條上并貼在彩燈上供人猜.在一次猜燈謎活動中，若甲?乙兩名同學分別獨立競猜，甲同學猜對每個燈謎的概率為23，乙同學猜對每個燈謎的概率為1（1）甲?乙任選1個獨立競猜，求甲?乙恰有一人猜對的概率；（2）活動規(guī)定：若某人任選2個進行有獎競猜，都猜對則可以在A箱中參加抽取新春大禮包的活動，中獎概率是23；沒有都猜對則在B箱中參加抽取新春大禮包的活動，中獎概率是1（3）甲?乙各任選2個獨立競猜，設甲?乙猜對燈謎的個數(shù)之和為X，求X的分布列與數(shù)學期望.18．已知雙曲線C的方程為x2a2?y（1）求雙曲線C的方程；（2）過原點O的直線與C交于S，T兩點，已知直線AS和直線AT的斜率存在，證明：直線AS和直線（3）過點(0，1)的直線交雙曲線C于P，Q兩點，直線AP，AQ與19．英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：ex=1+x+x22!+x（1）證明：ex（2）設x∈0,+∞，證明：（3）設Fx=gx?a1+x2

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因為集合A={1，3，故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合交集的運算法則，進而得出集合A和集合B的交集.2．【答案】A【解析】【解答】解：因為z是復數(shù)，又因為(1+i)z=2，則z=21+i=21?i1?i3．【答案】D【解析】【解答】解：設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2+a8=14，a15=27，4．【答案】C【解析】【解答】解：因為向量a=(6，2)在向量b=(2，?1)上的投影向量為a→·b→5．【答案】B【解析】【解答】解：對于A，由直線l：m(x+y+1)+y?x=0，解得x=?12y=?12，所以直線l過定點?12，?12，所以A錯；

對于B，由A可知直線l過定點?12，?12，

將定點坐標代入圓的標準方程可知(?12?1)2+(?12?2)

【分析】利用已知條件，將直線變形得出關(guān)于定點坐標的方程組，從而得出定點的坐標，進而判斷出選項A；利用直線上的定點與圓的位置關(guān)系，進而判斷出直線與圓的位置關(guān)系，從而判斷出選項B；利用直線平分圓C的周長，則必過圓心，將圓心坐標代入直線方程得出實數(shù)m的值，從而判斷出選項C；當直線l被圓C截得最短弦時，圓心與定點的連線與直線l垂直，再利用兩點距離公式得出圓心到定點的距離，再結(jié)合弦長公式得出直線l被圓C截得的最短弦的長度，從而判斷出選項D，進而找出說法正確的選項.6．【答案】D【解析】【解答】解：根據(jù)題意，分兩步完成：

第一步：先將3支省內(nèi)代表隊安排在三場比賽，每場一支代表隊，有A33=3×2×1=6種安排方法；

第二步：再將3支省外代表隊安排在三場比賽，每場一支代表隊，有A33故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，再結(jié)合排列數(shù)公式，進而得出比賽的安排方式的種數(shù).7．【答案】B【解析】【解答】解：函數(shù)fx=sinx的圖像先向右平移π3個單位長度，可得y=sinx?因為x∈?π2又因為函數(shù)gx在?π2,0上單調(diào)遞增，所以?π故答案為：B.【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換求得函數(shù)gx的解析式，再根據(jù)x∈8．【答案】D【解析】【解答】解：因為函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，所以f?x=fx，

所以又因為函數(shù)f'x+ex因為y=e?x為減函數(shù)，y=e令f'x=0，解得x=0，則當x>0時，f'x根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)fx在?所以fa>f2a?1，即fa>f2a?1，即所以不等式的解集為?∞故答案為：D.【分析】根據(jù)函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，f'?x=?f'x9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因為樣本數(shù)據(jù)1，3，5，6，9，11，m的平均數(shù)為x，中位數(shù)為x0，方差為s2，

對于A，因為x=6，則x=1+3+5+6+9+11+m7=6，所以，m=7，所以A對；

對于B，因為m=2024，則中位數(shù)為x0故答案為：ABD.

【分析】利用已知條件結(jié)合平均數(shù)公式、中位數(shù)公式、方差公式、分位數(shù)求解方法，進而找出正確的選項.10．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、2a+2B、1a+1C、log2D、a2+b故答案為：BCD.【分析】根據(jù)基本不等式求解判斷即可.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：對于A，因為AB=3，所以在平面ABC內(nèi)，以AB所在直線為x軸，以線段AB的中垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，

則A?32，0，B32，0，Dx，y，由DA=2DB可得x+322+y2=2x?322+y2，

化簡可得x?522+y2=4，即點D的軌跡為圓，所以A正確；

對于B，根據(jù)以上證明可知，點D1和D2是圓x?522+y2=4與x軸的兩個交點，如上圖，

由條件可知，點C在圓上，則∠D1CD2=90°，又因為PC⊥故答案為：ABC.

【分析】利用已知條件結(jié)合空間建系的方法得出點的坐標，再結(jié)合空間兩點距離公式和圓的定義得出動點D的軌跡，從而判斷出選項A；利用圓的性質(zhì)和點與圓的位置關(guān)系以及線面垂直的定義，從而證出線線垂直，進而得出二面角D1?PC?D2的平面角，從而證出面面垂直，進而判斷出選項B；利用點到直線的距離結(jié)合幾何法求最值的方法，再由三角形的面積公式得出三角形?ABC的最大面積，再根據(jù)三棱錐的體積公式得出三棱錐12．【答案】5【解析】【解答】解：已知tanα=2，

則1sin2α故答案為：54.

【分析】利用已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和二倍角的正弦公式，進而得出113．【答案】4【解析】【解答】解：畫出圓臺的軸截面如圖所示：

要使球的體積最大，則球需要與AD，CD，BC相切，

設圓O的半徑為R，則OE=OF，作OG⊥AB，BH⊥CD，

因為圓臺高為23，所以BH=23，CH=CE?BG=3?1=2，

所以，BC=BH2+CH2=12+4=4，又因為OE⊥CD，OF⊥BC，

所以，?OCE??OCF，所以，CF=EC=3，所以，BF=BC?CF=1，

又因為OQ=2故答案為：43

【分析】根據(jù)題意，作出圓臺的軸截面，分析可知，當球與AD，CD，BC相切時，其體積最大，再結(jié)合已知條件求出球的半徑，從而由球的體積公式得出該球的體積的最大值.14．【答案】5【解析】【解答】解：易知F2(c,0)，B(0,b)，F(xiàn)1直線BF1的斜率為bc，則直線BF1消元整理可得(b2c故xA=?2a2可得AF2=(c+可得c?(c+2a2即3a2c同除a4得5e2?1=0，且故答案為：55【分析】根據(jù)題意求出A點坐標，再利用已知條件構(gòu)造齊次方程求離心率即可.15．【答案】（1）解：由正弦定理，得sinAsinC=3又C∈(0，π)，即tanA=3又A∈(0，π)，所以（2）解：由余弦定理，得cosA=b所以b2由基本不等式知b2于是bc=b當且僅當b=c=2時等號成立.所以△ABC的面積S=1當且僅當b=c=2時，面積S取得最大值3.【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合正弦定理和三角形中角C的取值范圍，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，進而結(jié)合三角形中角A的取值范圍，從而得出角A的值；

（2）利用已知條件結(jié)合余弦定理和均值不等式求最值的方法，進而得出bc的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式得出三角形△ABC面積的最大值.16．【答案】（1）證明：因為PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD，所以PA⊥CD，又因為底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD，又因為PA∩AD=A，且PA,AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD；（2）解：以A為原點，AB,AD,AP所在直線為x軸?y軸?z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則A0,0,0所以PC=設平面PBC的法向量為n=x1,y1,z1，

設平面PCD的法向量為m=x2,y2,z2，

設平面PBC與平面PCD的夾角為θ，

則cosθ=|即平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為1010【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明CD⊥平面PAD即可；（2）以點A為原點，建立空間直角坐標系，分別求平面PBC與平面PCD的法向量，代入二面角的向量公式求解即可.（1）證明：因為PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD，所以PA⊥CD.因為底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD.又PA∩AD=A，且PA,AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.（2）以A為原點，AB,AD,AP所在直線為x軸?y軸?z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A0,0,0所以PC=設平面PBC的法向量為n=n?PC取x1=2，得設平面PCD的法向量為m=m?PC取y2=1，得設平面PBC與平面PCD的夾角為θ，則cos所以平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為101017．【答案】（1）解：設A=“甲猜對一個燈謎”，B=“乙消對一個燈謎”，

則P(A)=因為甲?乙恰有一人猜對的事件為AB+AB=P所以，甲?乙恰有一人猜對的概率為12（2）解：設C=“甲猜對兩道題”，D=“甲中獎”，

則P==所以，甲同學抽中新春大禮包的概率47108（3）解：由（1）知P(A)=2易知甲?乙猜對燈謎的個數(shù)之和X的可能取值為0，1，2P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(x=4)=所以X的分布列為X01234P111311因此，X的數(shù)學期望E(X)=0×1【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合對立事件、獨立事件和互斥事件求概率公式，進而得出甲?乙恰有一人猜對的概率；

（2）利用已知條件結(jié)合條件概型求概率公式和對立事件和互斥事件求概率公式，進而得出甲同學抽中新春大禮包的概率；

（3）由（1）知事件A和事件B的概率，再利用已知條件得出甲?乙猜對燈謎的個數(shù)之和X的可能取值，再利用獨立事件求概率公式得出隨機變量X的分布列，再結(jié)合隨機變量的分布列求數(shù)學期望公式，進而得出隨機變量X的數(shù)學期望.18．【答案】（1）解：因為虛軸長2b=2，所以b=1.又因為點A(?4，?1)在雙曲線上，所以解得a2故雙曲線C的方程為x2（2）證明：設S(x0所以k因為S(x0，x于是kAS所以直線AS和直線AT的斜率之積為定值，定值是18（3）證明：設P(x1，y1y=kx+1，則Δ=所以y1y1直線AP的方程為y=y1+1x1x同理可得點N的橫坐標為x所以x===將①②③式代入上式，并化簡得到x所以MN的中點的橫坐標為x=x故MN的中點是定點(?2，【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合虛軸長得出b的值，再利用代入法和雙曲線的標準方程得出a的值，進而得出雙曲線C的標準方程；

（2）設出點S的坐標，再結(jié)合對稱性得出點T的坐標，再由兩點求斜率公式和代入法以及雙曲線的標準方程，進而證出直線AS和直線AT的斜率之積為定值，并求出此定值；

（3）設出點P，Q的坐標和直線PQ的斜截式方程，再聯(lián)立直線與雙曲線方程結(jié)合判別式法得出直線的斜率的取值范圍，再利用韋達定理和直線AP的方程賦值求出點M，N的橫坐標的方法，從而結(jié)合中點坐標公式證出MN的中點為定點，并求出定點的坐標.19．【答案】（1）證明：設?x=e當x>0時，?'x>0，當x<0則?x在?∞,0因此?x≥?0（2）證明：由泰勒公式知ex=1+x+于是e?x=1?x+由①②得f