第第頁云南省昆明市2025屆高三“三診一模”摸底診斷測試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知向量a=(0,2)，b=(1,0)，則A．2 B．3 C．2 D．52．復(fù)數(shù)?1+iiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知集合A={?1?,?0?,?1?,?2}，B={yy=3x+1?,?x>0A．?1∈A∩B B．0∈A∩B C．1∈A∩B D．2∈A∩B4．某次測試成績X~N(105?,?225)，記成績120分以上為優(yōu)秀，則此次測試的優(yōu)秀率約為（）參考數(shù)據(jù)：若X~N(μ?,?σ2)，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827A．31.73% B．15.87% C．4.55%5．已知函數(shù)f(x)=xα?1（α>0），實數(shù)m，n滿足f(m)+f(n)=4，f(m)f(n)=3A．1 B．7 C．8 D．126．已知點F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，動點P滿足A．62 B．32 C．527．已知一個圓錐的頂點和底面圓都在球O的球面上，若圓錐的母線與球O的半徑之比為3，則圓錐與球O的體積之比等于（）A．132 B．3632 C．98．從幾何體的某一頂點開始，沿著棱不間斷、不重復(fù)地畫完所有棱的畫法稱為“一筆畫”．下列幾何體可以“一筆畫”的是（）A． B．C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．設(shè)A?,?B是一個隨機試驗中的兩個事件，若P(A)=12，P(B)=1A．P(B)=23 B．P(B|A)=1210．已知函數(shù)f(x)=cosA．f(x)圖象關(guān)于y軸對稱 B．2π是y=f(x)的一個周期C．f(x)在(0,π)單調(diào)遞減 D．f(x)圖象恒在x軸的上方11．“四葉草”形態(tài)優(yōu)美、寓意美好．已知曲線C:(x2+y2)3=4xy2，其形態(tài)極像“四葉草”，設(shè)O為坐標原點，PA．C有4條對稱軸 B．C圍成的面積大于4πC．AB=4 D．△OAB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)f(x)=xx2+a(x≠0)滿足13．圍棋是世界上最古老的棋類游戲之一．一副圍棋的棋子分黑白兩種顏色，現(xiàn)有6枚黑色棋子和2枚白色棋子隨機排成一行，每枚棋子排在每個位置可能性相等，則兩端是同色棋子的概率為．14．已知函數(shù)f(x)=lnx，曲線y=f(x)在A，B兩點（不重合）處的切線互相垂直，垂足為H，兩切線分別交y軸于C，D兩點，設(shè)△CDH面積為S，若S<λ恒成立，則λ的最小值為四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知△?ABC內(nèi)角A?,?B?,?C所對的邊分別為a?,?b?,?c，asin（1）求A；（2）若a=6，2AB?AC16．已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，直線l過F與C交于A，B兩點，O為坐標原點，直線OA交C（1）當l的傾斜角為π4時，求AB（2）求直線BD的斜率；（3）若O，F(xiàn)，B，D四點共圓，求該圓的半徑．17．如圖，四棱臺ABCD?A1B1C1D（1）證明：ED1?//（2）若側(cè)面DCC1D（i）證明：平面DCC1D（ii）求平面BDC1和平面18．已知函數(shù)f(x)=(a+2)ex+a（1）若a=0，求f(x)的極值；（2）討論f(x)的單調(diào)性．19．已知數(shù)列{an}，a1=9，an+1=3（1）證明：數(shù)列{a（2）求Sn（3）若bn=2nSn?n,n為奇數(shù),參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因為a=(0,2)，b所以a?所以a?故答案為：D.【分析】先求出向量a?b的坐標，再根據(jù)向量的模的坐標表示，從而得出2．【答案】A【解析】【解答】解：化簡復(fù)數(shù)?1+ii對于復(fù)數(shù)1+i，實部a=1，虛部b=1，因為實部1>0，虛部1>0，所以復(fù)數(shù)?1+ii在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(1,1)故答案為：A.【分析】先要將復(fù)數(shù)化簡為a+bi的形式，其中a為實部，b為虛部，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則進行化簡，再根據(jù)實部和虛部的正負確定其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限.3．【答案】D【解析】【解答】解：因為B={yy=3x+1?,?x>0}=y|y>1，又因為A={?1?,?0?,?1?,?2}，

所以A∩B=故答案為：D.【分析】先根據(jù)一次函數(shù)求值域的方法求出集合B，再根據(jù)交集的運算法則得出集合A∩B，則由元素與集合的關(guān)系，從而找出正確的選項.4．【答案】B【解析】【解答】解：因為120=105+15=μ+σ，所以由正態(tài)分布性質(zhì)得120分以上的概率為12故優(yōu)秀率約為15.87%故答案為：B.【分析】根據(jù)正態(tài)分布對應(yīng)的概率密度函數(shù)圖象的對稱性，再結(jié)合題中的參考數(shù)據(jù)和概率之和等于1的性質(zhì)，從而得出此次測試的優(yōu)秀率.5．【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)題意，可得mα+n∴fmn故答案為：B.【分析】由已知條件代入函數(shù)解析式，再結(jié)合指數(shù)冪的運算法則可得mnα的值，從而代入函數(shù)解析式得出f6．【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)P(x,y)，由PF1?PF因為實軸長為2的雙曲線右支，則方程為x2?y2=1(x>0)，

所以點P到坐標原點的距離是54故答案為：A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合雙曲線的定義，從而求出點P的軌跡方程，再根據(jù)代入法點P的縱坐標求出點P的坐標，再結(jié)合兩點距離公式得出當點P的縱坐標是12時的點P7．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)圓錐底面半徑和高分別為r,?，

則母線l=r2顯然球O為圓錐外接球，設(shè)半徑為R，

由(??R)2+r又因為圓錐的母線與球O的半徑之比為3，即lR聯(lián)立可得l=3R，將l=3R代入將l=3R和?=32R再求圓錐體積V1與球O體積V2之比：圓錐體積V1則V1V2=13π故答案為：C.

【分析】先根據(jù)已知條件畫出草圖，從而建立等式關(guān)系，再逐步推導(dǎo)出圓錐和球的相關(guān)參數(shù)，最后由圓錐和球的體積公式，從而求出圓錐與球O的體積之比.8．【答案】C【解析】【解答】解：從一頂點出發(fā)的邊數(shù)為雙數(shù)的頂點叫偶點，凡是偶點組成的圖形一定可以一筆畫，

故C正確；從一頂點出發(fā)的邊數(shù)為單數(shù)的頂點叫奇點，凡是奇點組成的圖形，

必須滿足只有兩個奇點，其余點為偶點才可以一筆畫，因為選項A、選項B、選項D的圖形中，每個點都是奇點，所以不能一筆畫.故答案為：C.【分析】根據(jù)一筆畫的要求，先找到都是偶點的圖形，一定可以一筆畫，再驗證奇點的圖形是否符合一筆畫的條件，從而找出可以“一筆畫”的幾何體.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因為P(A)=12，P(B)=1所以P(B因為P(B|A)=P因為P(B)=P(AB+A所以PA因為PA+B故答案為：ABC.【分析】根據(jù)對立事件求概率公式，則判斷選項A；根據(jù)條件概率公式判斷出選項B；根據(jù)全概率公式判斷出選項C；根據(jù)和事件的概率公式判斷出選項D，從而找出正確的選項.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因為函數(shù)f(x)=cos(sinf(?x)=所以fx為偶函數(shù)，則f(x)圖象關(guān)于y因為fx+2π所以2π是y=f(x)的一個周期，故B正確；因為f0fπ又因為1∈0,π2，所以sin1>0，所以f0所以f(x)在(0,π)不可能單調(diào)遞減，故C錯誤；因為?1≤sin當0≤sinx≤1時，π2又因為sinx+所以cosx<π2由y=sinx在?π所以f(x)=cos當?1≤sinx≤0時，π2又因為cosx?所以cosx<π2由y=sinx在?π2,所以f(x)=cos綜上可得：對?x∈R，f(x)>0恒成立，即f(x)圖象恒在x軸的上方，故D正確.故答案為：ABD.【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷出選項A；計算fx+2π11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：依題意，如圖所示：

對于A，將x換為?x方程不變，所以曲線關(guān)于y軸對稱；將y換為?y方程不變，所以曲線關(guān)于x軸對稱；將x換為y，y換為x方程不變，所以曲線關(guān)于y=x對稱；將x換為?y，y換為?x方程不變，所以曲線關(guān)于y=?x對稱，所以曲線C有4條對稱軸，故A正確；對于B，∵x2+所以曲線C包含在圓x2+y2=4的內(nèi)部，

因為圓x2+對于C，設(shè)點Pm,n，則kOP=所以直線AB:y?n=?mnx?m令x=0，得y=m2+令y=0，得x=m2+由m2+n23∴AB對于D，由選項C可知，AB=4，

又因為x2+∴S△OAB=12AB?故答案為：ACD.

【分析】通過方程中的變換得出新曲線的對稱軸，則判斷出選項A；由該曲線在以原點為圓心，半徑為2的圓內(nèi)，故該曲線的面積小于圓的面積，則判斷出選項B；設(shè)點Pm,n，再利用已知條件求出直線AB的方程，再結(jié)合賦值法得出點A,B的坐標，則根據(jù)m2+n23=12．【答案】1【解析】【解答】解：因為函數(shù)f(x)=xx2則xx2+a=1x1x2+a=故答案為：1.【分析】根據(jù)f(x)=f(1x)推導(dǎo)出a?113．【答案】4【解析】【解答】解：若兩端的棋子顏色不同，

那么兩端的棋子的顏色分布有2種可能，中間的棋子的顏色分布有C6所以兩端棋子顏色不同的概率為2×6C82故答案為：47【分析】先根據(jù)題意計算出兩端棋子顏色不同的概率，再結(jié)合組合數(shù)公式得出中間的棋子的顏色分布，則根據(jù)古典概率公式和對立事件求概率公式，從而得出兩端是同色棋子的概率.14．【答案】1【解析】【解答】解：由函數(shù)f(x)=|lnx|=?lnx,0<x<1lnx,x>1，

對y=?lnx(0<x<1)求導(dǎo)得y'=?1對y=lnx(x>1)求導(dǎo)得y'=1因為兩切線垂直，則?1x1?1x2=?1，所以x1x2=1，此時C(0,1?ln由y=?1x1x+1?lnx1y=1x2x?1+lnx2又因為x2>1，x2由S<λ恒成立，則λ∈[1,+∞).則故答案為：1.

【分析】先根據(jù)已知條件求出x1x2的值，從而得到|CD|的值，再求出xH=2x2+15．【答案】（1）解：由正弦定理和二倍角公式得sinA因為A?,?B∈(0?,?π)，所以sinA>0，sinB>0，

???????故cosA=（2）解：由2AB?AC=15，得由余弦定理得a2所以(b+c)2=a所以△?ABC周長為a+b+c=15.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角的方法和二倍角的正弦公式化簡，再結(jié)合三角形中角A和角B的取值范圍和三角函數(shù)值在各象限的符號，從而得出角A的余弦值，進而得出角A的值.（2）由2AB?AC=15和數(shù)量積的定義得出bc的值，再結(jié)合余弦定理得出（1）由正弦定理及二倍角公式得sinA因為A?,?B∈(0?,?π)，所以sinA>0，sinB>0，故所以A=π（2）由2AB?AC=15，得由余弦定理得a2所以(b+c)2=a所以△?ABC周長為a+b+c=15.16．【答案】（1）解：由題意知，拋物線C焦點F坐標為(1,0)，直線l的方程為x=y+1，聯(lián)立y2=4xx=y+1，則y2?4y?4=0，

所以AB=（2）解：設(shè)直線AB的方程為x=my+1，Ax1,聯(lián)立y2=4xx=my+1，y2?4my?4=0，

所以y則直線AD方程為y=y1x1x，

所以y2=y（3）解：由題意知，O(0,0)，F(xiàn)(1,0)，B(x2,y2)，D(?1,y2)，

不妨設(shè)A在第一象限，因為O，F(xiàn)，B，D四點共圓，直線DB平行x軸，x2?12=12，即x2=2，所以B(2,?22)，

則【解析】【分析】（1）先將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，再根據(jù)韋達定理和弦長公式計算出AB的值.

（2）先求出B、D兩點坐標，再將直線OA與準線方程聯(lián)立求出點D坐標，再結(jié)合直線AB與拋物線方程求出點B的坐標.

（3）若O，F(xiàn)，B，D四點共圓，則根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出相關(guān)關(guān)系，從而求出圓的半徑.（1）由題意知，拋物線C焦點F坐標為(1,0)，直線l的方程為x=y+1，聯(lián)立y2=4xx=y+1，則y2?4y?4=0所以AB=（2）設(shè)直線AB的方程為x=my+1，Ax1,聯(lián)立y2=4xx=my+1，y2?4my?4=0，所以y直線AD方程為y=y1x1x所以y2=y（3）由題意知，O(0,0)，F(xiàn)(1,0)，B(x2,y2因為O，F(xiàn)，B，D四點共圓，直線DB平行x軸，故可設(shè)圓心坐標為(12,b)x2?12=1R2解得b2=258，故17．【答案】（1）證明：取BD中點為M，連結(jié)EM，C1M，、

由E為AD的中點得EM//AB，在四棱臺中，由已知條件得D1C1//AB，D1C1所以四邊形EMC1D又因為MC1?平面BDC1所以ED1?//（2）證明：（i）因為ED1:D1所以ED⊥D1D又因為AD⊥DC，D1D∩DC=D，DC,D所以AD⊥平面DCC由AD?平面ABCD，故平面DCC1D解：（ii）過D點作直線DZ⊥平面ABCD，

以D為坐標原點建立如圖坐標系D?xyz，

不妨設(shè)A1B1因為平面DCC1D1⊥平面ABCD且側(cè)面DC則D1(0,1,22所以DD1=(0,1,2設(shè)平面ADD1A則由DD1?令z=1，得平面ADD1A同理，得平面BDC1的一個法向量為設(shè)平面BDC1和平面ADD1A1的夾角為所以平面BDC1和平面ADD【解析】【分析】（1）取BD中點為M，先證出四邊形EMC1D1為平行四邊形，從而得出ED（2）（i）由勾股定理可得ED⊥D1D，即AD⊥D1D，再利用AD⊥DC證出AD⊥平面DCC1D1，由面面垂直的判斷定理證出平面DCC1D1⊥平面ABCD.

（ii）過點D作直線DZ⊥（1）取BD中點為M，連結(jié)EM，C1M，由E為AD的中點得EM//AB，在四棱臺中，由已知得D1C1//AB，D1所以四邊形EMC1D又MC1?平面BDC1所以ED1?//（2）（i）因為ED1:所以ED⊥D1D又AD⊥DC，D1D∩DC=D，DC,D所以AD⊥平面DCC由AD?平面ABCD，故平面DCC1D（ii）過D點作直線DZ⊥平面ABCD，以D為坐標原點建立如圖坐標系D?xyz，不妨設(shè)A1B1因為平面DCC1D1⊥平面ABCD則D1(0,1,22所以DD1=(0,1,2設(shè)平面ADD1A則由DD1?令z=1，得平面ADD1A同理，得平面BDC1的一個法向量為設(shè)平面BDC1和平面ADD1A所以平面BDC1和平面ADD18．【答案】（1）解：當a=0時，f(x)=2ex?2x則f'(x)=2ex?2，

當x<0時，f'(x)<0，當x>0時，f'(x)>0，所以f(x)有極小值，無極大值，極小值為f(0)=2.（2）解：f'①當a≤?2時，a+2≤0，(a+2)e當x∈?∞,0時，ex<1當x∈0,+∞時，ex>1，②當?2<a<?1時，a+2>0，aa+2<?1，則f'當x∈(?∞,0)時，ex?1<0，ex+當x∈(0,ln?aa+2)時，ex?1>0，當x∈(ln(?aa+2),+∞)時，ex③當a=?1時，f'(x)=(ex④當?1<a<0時，a+2>0，?1<aa+2<0當x∈(?∞,ln(?aa+2))時，ex當x∈(ln(?aa+2),0)時，ex?1<0，當x∈(0,+∞)時，ex?1>0，ex+⑤當a≥0時，(a+2)e當x∈?∞,0時，ex<1當x∈0,+∞時，ex>1，【解析】【分析】（1）利用a的值得出函數(shù)的解析式，在結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)f(x)的極值.（2）先求出f'(x)，分a≤?2、?2<a<?1、a=?1、?1<a<0和a≥0五種情況討論，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，從而討論出函數(shù)（1）a=0時，f(x)=2ex?2xf'(x)=2ex?2當x<0時，f'(x)<0，當x>0時，f'(x)>0，所以f(x)有極小值，無極大值，極小值為f(0)=2；（2）f'①當a≤?2時，a+2≤0，(a+2)e當x∈?∞,0時，ex<1當x∈0,+∞時，ex>1，②當?2<a<?1時，a+2>0，aa+2<?1，f'x∈(?∞,0)時，ex?1<0，exx∈(0,ln?aa+2)時，ex?1>0x∈(ln(?aa+2),+∞)時，e③當a=?1時，f'(x)=(ex④當?1<a<0時，a+2>0，?1<aa+2<0x∈(?∞,ln(?aa+2))時，ex∈(ln(?aa+2),0)時，ex?1<0x∈(0,+∞)時，ex?1>0，ex⑤當a≥0時，(a+2)ex