專題10.5用二元一次方程組解決問(wèn)題（8大知識(shí)點(diǎn)11類題型）（知識(shí)梳理與題型分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)1】和差倍分問(wèn)題：分析：此類問(wèn)題的關(guān)鍵是找出題目中的和、差、倍、分關(guān)系。基本等量關(guān)系式為：較大量較小量=相差量，總量=倍數(shù)×倍量。解法：設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列出兩個(gè)方程，組成二元一次方程組求解。【知識(shí)點(diǎn)2】產(chǎn)品配套問(wèn)題：分析：重點(diǎn)是明確配套的比例關(guān)系，即加工總量成比例。解法：設(shè)生產(chǎn)不同部件的數(shù)量為未知數(shù)，根據(jù)配套關(guān)系列出方程，求解得到生產(chǎn)各部件的數(shù)量。【知識(shí)點(diǎn)3】速度問(wèn)題：分析：涉及路程、速度和時(shí)間的關(guān)系，基本關(guān)系式為路程=速度×?xí)r間。包括相遇問(wèn)題（兩者行駛路程之和等于總路程）、追及問(wèn)題（兩者行駛路程之差等于初始距離或特定路程差）等。解法：設(shè)兩個(gè)物體的速度分別為未知數(shù)，根據(jù)題目中的路程和時(shí)間信息列出方程組求解。【知識(shí)點(diǎn)4】航速問(wèn)題：分析：要考慮順流（風(fēng)）和逆流（風(fēng)）時(shí)的速度變化。順流（風(fēng)）時(shí)，航速=靜水（無(wú)風(fēng)）時(shí)的速度+水（風(fēng)）速；逆流（風(fēng)）時(shí)，航速=靜水（無(wú)風(fēng)）時(shí)的速度水（風(fēng)）速。解法：設(shè)船在靜水中的速度和水流速度（或飛機(jī)在無(wú)風(fēng)時(shí)的速度和風(fēng)的速度）為未知數(shù)，根據(jù)順流和逆流的路程、時(shí)間等條件列出方程組求解。【知識(shí)點(diǎn)5】工程問(wèn)題：分析：基本關(guān)系式是工作總量=工作效率×工作時(shí)間，有時(shí)需把工作總量看作1。解法：設(shè)甲、乙等不同工作主體的工作效率為未知數(shù)，根據(jù)工作總量、工作時(shí)間等信息列出方程組求解。【知識(shí)點(diǎn)6】盈虧問(wèn)題：分析：關(guān)鍵是從盈（過(guò)剩）、虧（不足）兩個(gè)角度來(lái)把握事物的總量。解法：設(shè)物品的數(shù)量和分配的對(duì)象數(shù)量為未知數(shù)，根據(jù)盈和虧的情況列出方程組求解。【知識(shí)點(diǎn)7】數(shù)字問(wèn)題：分析：首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。對(duì)于兩位數(shù)，可表示為十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)可表示為百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字等。解法：設(shè)數(shù)字的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字為未知數(shù)，根據(jù)數(shù)字之間的關(guān)系列出方程組求解。【知識(shí)點(diǎn)8】幾何問(wèn)題：分析：基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式。如長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=2×（長(zhǎng)+寬），面積=長(zhǎng)×寬；三角形的面積=底×高÷2等。解法：設(shè)幾何圖形的相關(guān)邊長(zhǎng)、角度等為未知數(shù)，根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)和已知條件列出方程組求解。考點(diǎn)與題型目錄【題型1】方案問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）...........................................2【題型2】行程問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）...........................................2【題型3】工程問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）...........................................3【題型4】數(shù)字問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）...........................................3【題型5】年齡問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）...........................................4【題型6】分配問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）...........................................4【題型7】銷售、利潤(rùn)問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）.....................................5【題型8】和差倍分問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）.......................................5【題型9】幾何問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）...........................................6【題型10】圖表信息題（二元一次方程組的應(yīng)用）........................................6【題型11】古代問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）..........................................7第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】方案問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）【例1】（2324七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）某地區(qū)因強(qiáng)降雨天氣引起洪水災(zāi)害，有名群眾被困，某救援隊(duì)立即前往救援．已知艘小型船和艘大型船一次可救援名群眾，艘小型船和艘大型船一次可救援名群眾．（1）每艘小型船和每艘大型船各能載多少名群眾？（2）若安排艘小型船和艘大型船一次救援完所有被困群眾，且恰好每艘船都載滿，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所有的安排方案．【變式1】（2025·遼寧沈陽(yáng)·一模）小明在文具店購(gòu)買筆記本和水性筆（兩種物品都買）；其中筆記本每本元，水性筆每支元，小明一共花費(fèi)了元，則小明共有幾種購(gòu)買方案？下列答案正確的是（）A．種 B．種 C．種 D．種【變式2】（2425七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）某貨運(yùn)公司臨時(shí)接到一個(gè)任務(wù)，從工廠同時(shí)運(yùn)送A，B兩種貨物各20箱到展館．貨運(yùn)公司調(diào)派甲貨車運(yùn)送A種貨物，乙貨車運(yùn)送B種貨物，A種貨物每箱，B種貨物每箱．因?yàn)閮煞N貨物包裝箱完全一樣，裝運(yùn)工人一時(shí)疏忽，使得兩車雖然所裝貨物數(shù)量正確，但部分貨物卻裝混了．運(yùn)送途中安檢時(shí)，兩車過(guò)地秤，發(fā)現(xiàn)甲車比乙車的貨物重，則甲車有箱貨物裝錯(cuò)．【題型2】行程問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）【例2】（2425七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）甲，乙在的環(huán)形跑道上跑步，兩人從某起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．如果同向而行，那么經(jīng)過(guò)甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么經(jīng)過(guò)兩人第一次相遇．（1）求甲，乙兩人的速度；（2）甲，乙同向而行時(shí)，丙也在跑道上跑步，且與甲，乙方向一致．若出發(fā)后甲追上丙，出發(fā)后乙追上丙，則出發(fā)時(shí)丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？【變式1】（2425七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）甲，乙兩船相距，相向而行，后相遇；同向而行，甲后追上乙．水流速度忽略不計(jì)，甲，乙兩船的速度分別為（

）A． B．C． D．【變式2】（2425七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）甲地到乙地由一段平路與一段上坡路組成，小明步行往返一次用了5小時(shí)，若在平路上每小時(shí)走4千米，上坡每小時(shí)走3千米，下坡每小時(shí)走6千米，那么小明這5小時(shí)共走千米．【題型3】工程問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）【例3】（2025七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）一家商店進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共元，若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做天可以完成，需付費(fèi)用元，問(wèn)：（1）甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付多少錢？（2）已知甲組單獨(dú)完成需天，乙組單獨(dú)完成需天，單獨(dú)請(qǐng)哪個(gè)組，商店所需費(fèi)用最少？（3）若裝修完后，商店每天可贏利元，你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店？請(qǐng)你幫助商店決策．（可用（1）（2）問(wèn)的條件及結(jié)論）【變式1】（2223七年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）羊城某工程公司下屬的甲工程隊(duì)、乙工程隊(duì)分別承包了白云區(qū)人和鎮(zhèn)的工程、工程，甲工程隊(duì)晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程隊(duì)晴天需天完成，雨天工作效率下降，實(shí)際上兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)開工，同時(shí)完工，兩個(gè)工程隊(duì)各工作了（

）天．A． B． C． D．【變式2】（2425七年級(jí)上·河南商丘·期末）兩組工人按計(jì)劃本月應(yīng)共生產(chǎn)680個(gè)零件，實(shí)際第一組超額、第二組超額完成了本月任務(wù)，因此比原計(jì)劃多生產(chǎn)118個(gè)零件，則本月原計(jì)劃第一組生產(chǎn)個(gè)零件、第二組生產(chǎn)個(gè)零件．【題型4】數(shù)字問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）【例4】（2425七年級(jí)下·河北唐山·階段練習(xí)）某兩位數(shù)，已知十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為11，把十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字互換位置后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，新的兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)大45．（1）試通過(guò)列一元一次方程的方法求出原來(lái)的兩位數(shù)；（2）若設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，依據(jù)題意列出關(guān)于x，y的方程組（無(wú)需求解），并檢驗(yàn)（1）中求得的結(jié)果是否滿足所列的方程組．【變式1】（2425七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）佳佳坐在勻速行駛的車上，將每隔一段時(shí)間看到的里程碑上的數(shù)描述如下：時(shí)刻里程碑上的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)，數(shù)字之和為7十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相比時(shí)看到的剛好顛倒比看到的兩位數(shù)中間多了個(gè)0則時(shí)看到的兩位數(shù)是（

）A．15 B．16 C．25 D．34【變式2】（2425八年級(jí)上·廣東佛山·期末）有一個(gè)三位數(shù)，將最左邊的數(shù)字移到最右邊，則它比原來(lái)的數(shù)小，又知原來(lái)的三位數(shù)的百位上的數(shù)的倍比十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)組成的兩位數(shù)小，則原來(lái)的數(shù)是．【題型5】年齡問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）【例5】（2324七年級(jí)上·福建三明·期中）在我國(guó)傳統(tǒng)文化中，“喜壽”、“米壽”、“白壽”分別是歲、歲、歲的雅稱．小花在她年齡是她媽媽年齡的時(shí)，曾為奶奶賀喜壽，她在年齡為媽媽年齡的時(shí)，又為奶奶賀米壽，則小花在歲時(shí)，將為奶奶賀白壽．【變式1】（2223七年級(jí)下·江蘇宿遷·期末）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（

）A．38歲 B．39歲 C．40歲 D．41歲【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2324七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）一名34歲的男子帶著他的兩個(gè)孩子一同接受采訪，下面是兩個(gè)孩子與記者的對(duì)話：根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，哥哥和妹妹的年齡分別是．【題型6】分配問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）【例6】（2425七年級(jí)下·甘肅天水·階段練習(xí)）食品安全標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)乎民生的重大的事情，在食品中添加過(guò)量的添加劑對(duì)人體健康有害，但在日常生活中適量的、科學(xué)的添加一些添加劑對(duì)人體健康無(wú)害而且有利于提高食品的口感，方便儲(chǔ)存和運(yùn)輸?shù)龋筹嬃霞庸S需生產(chǎn)A、B兩種飲料共1500桶，需加入同種食品添加劑3400克，其中飲料每桶需添加添加劑2克，飲料每桶需添加添加劑3克，求飲料加工廠生產(chǎn)了兩種飲料各多少桶？【變式1】（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）一服裝廠用某種布料生產(chǎn)玩偶A與玩偶B組合成一批盲盒，一個(gè)盲盒搭配1個(gè)玩偶A和2個(gè)玩偶B，已知每米布料可做1個(gè)玩偶A或3個(gè)玩偶B，現(xiàn)計(jì)劃用136米這種布料生產(chǎn)這批盲盒（不考慮布料的損耗），設(shè)用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，則下列方程組正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2324七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）有大、小兩種型號(hào)的貨車，輛大貨車與輛小貨車一次可以運(yùn)貨，輛大貨車與輛小貨車一次可以運(yùn)貨，則輛大貨車與輛小貨車一次可以運(yùn)貨t．【題型7】銷售、利潤(rùn)問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）【例7】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）文海中學(xué)開設(shè)的校本課程，購(gòu)買了，兩種型號(hào)的機(jī)器人模型，已知型機(jī)器人模型單價(jià)比型機(jī)器人模型單價(jià)多元，購(gòu)買臺(tái)型機(jī)器人模型的費(fèi)用比購(gòu)買臺(tái)型機(jī)器人模型的奇用多元．（1）請(qǐng)問(wèn)型，型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元？（2）現(xiàn)在學(xué)校要求買、兩種機(jī)器人模型，剛好用完一萬(wàn)現(xiàn)金，有幾種方案呢？【變式1】（2425七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知兩件服裝的成本共500元，某服裝店老板分別以和的利潤(rùn)率定價(jià)后進(jìn)行銷售，共獲利130元，則兩件服裝的成本分別為（

）A．300元，200元 B．200元，300元 C．250元，250元 D．240元，260元【變式2】（2425七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）甲，乙兩件服裝的成本共500元，商店老板決定將甲服裝按的利潤(rùn)率定價(jià)，乙服裝按的利潤(rùn)率定價(jià)．在實(shí)際出售時(shí)，為吸引顧客，兩件服裝均按九折出售，這樣商店共獲得157元的利潤(rùn)．在這個(gè)情境中，甲，乙兩件服裝的成本分別是元和元．【題型8】和差倍分問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）【例8】（2025·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)）2024年10月30日，搭載“神舟十九號(hào)”載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十九運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，將航天員蔡旭哲、宋令東和王浩澤順利送入太空，“神舟十九號(hào)”載人飛船發(fā)射取得圓滿成功.某電商平臺(tái)經(jīng)銷商看準(zhǔn)商機(jī)，迅速推出“天宮”和“神舟”兩款模型玩具，已知銷售店老板從玩具生產(chǎn)商購(gòu)進(jìn)1個(gè)“天官”模型的費(fèi)用比購(gòu)進(jìn)1個(gè)“神舟”模型的費(fèi)用多20元；購(gòu)進(jìn)3個(gè)“天宮”模型的費(fèi)用與購(gòu)進(jìn)4個(gè)“神舟”模型的費(fèi)用相等.分別求“天宮”模型和“神舟”模型的進(jìn)貨單價(jià).【變式1】（2324七年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·期末）汽車運(yùn)輸公司有A，B兩種車型的旅游大客車，已知兩種車型的座位數(shù)不同，1輛A型車和1輛B型車可乘坐105人，2輛A型車和1輛B型車可乘坐150人，則A，B兩種車型大客車的座位數(shù)分別為（

）A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45【變式2】（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）李師傅加工1個(gè)甲種零件和1個(gè)乙種零件的時(shí)間分別是固定的，現(xiàn)知道李師傅加工3個(gè)甲種零件和5個(gè)乙種零件共需；加工4個(gè)甲種零件和9個(gè)乙種零件共需，則李師傅加工8個(gè)甲種零件和16個(gè)乙種零件共需．【題型9】幾何問(wèn)題（二元一次方程組的應(yīng)用）【例9】（2425八年級(jí)下·寧夏銀川·開學(xué)考試）用如圖①中的長(zhǎng)方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②的豎式和橫式的兩種無(wú)蓋紙盒．現(xiàn)在倉(cāng)庫(kù)里有張長(zhǎng)方形紙板和張正方形紙板，如果做兩種紙盒若干個(gè)，恰好使庫(kù)存的紙板用完，求豎式和橫式的紙盒各做了多少個(gè)？【變式1】（2425七年級(jí)下·浙江紹興·階段練習(xí)）有四個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形和兩個(gè)完全相同的大長(zhǎng)方形按如圖所示的方式擺放，若小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（2425七年級(jí)下·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖是由7個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形和陰影部分無(wú)縫隙拼合而成的一個(gè)大長(zhǎng)方形，則圖中陰影部分的面積為．【題型10】圖表信息題（二元一次方程組的應(yīng)用）【例10】（2425七年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）甲、乙兩家公司組織員工游覽某景點(diǎn)的門票售價(jià)如下：人數(shù)人人人以上票價(jià)元/人元/人元/人（1）若甲公司有人游覽，則共付門票費(fèi)______元；若乙公司共付門票費(fèi)元，則乙公司有______人游覽；（2）若甲、乙兩家公司共有人游覽，其中甲公司不超過(guò)人，兩家公司先后共付門票費(fèi)元，求甲、乙兩家公司游覽的人數(shù)．【變式1】（2425七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）若a、b表示非零常數(shù)，的值隨x的取值而發(fā)生變化，如表