3函數與導數、不等式——新情景問題（選填題）一、答題概要?1．情境特征?：（1）?新定義函數?：如優函數（例：f（s+t）＜f（s）+f（t））需結合導數驗證性質（單調性、凹凸性）；（2）跨知識融合?：常與數列（累加放縮）、幾何（斜率最值）結合，需靈活轉化條件．?2．核心策略?：（1）?導數分析?：求導判斷單調性，定位極值點/零點，結合端點值比較不等式；（2）?構造函數?：將不等式變形為“f（x）＞0”形式，構造輔助函數求導證單調性；（3）?特值排除法?：針對選填題，代入特殊值（如a=1、b=0）快速排除錯誤選項．?3．易錯點與驗證?：（1）?定義域限制?：尤其對數型、分式函數，需優先確定變量范圍；（2）?等號驗證?：極值點、邊界點處是否滿足等號條件，避免遺漏．?綜合應用方向?：含參不等式恒成立（分離參數求最值）、數列不等式放縮（數學歸納法+導數）等?．二、典例解析例1若正實數a，b滿足a＞b，且lnalnb＞0，則下列不等式一定成立的是（）A．logab＜0B．C．2ab+1＜2a+bD．ab－1＜ba－1解：顯然由已知得a＞b＞0，結合lnalnb＞0可知0＜b＜a＜1或1＜b＜a．abab1bOaB：ab＞1不一定，排除B．C：ab+1＜a+bab+1－a－b＜0（a－1）（b－1）＜0也不一定對，排除C．故選D．例2已知正數a，b滿足等式a2－b=2（2lnb－lna），則下列不等式中可能成立的有（）A．a＞b2＞B．b2＜a＜C．a＞b＞1D．b＜a＜1解：已知等式a2+2lna=b+4lnba2+lna2=b+lnb4．想到同構，但無法直接同構．設f（x）=x2+lnx2－（x+lnx4）=x2－x－2lnx．若0＜x＜1，則在（0，1）上單增，∴，∴f（x）在（0，1）上單減，∴f（x）＞f（1）=0x2+lnx2＞x+lnx4，x∈（0，1），由此，有a2+lna2=b+2lnb2＜b2+lnb2．說明：（1）構造函數g（x）=x+lnx，則g（x）在（0，1）上單增，a0.5Ob2所以g（a2）＜g（b2）0＜a2＜b20＜a0.5Ob2（2）（x＞0）．若h（a）＜00＜a＜1單調遞增（b2）＜（a）b2＜a，∴b2＜a＜＜1成立．若h（a）＞0無法確定a＞1還是0＜a＜1．（3）巧解：當a→1－時，化已知為，b只有唯一解b=1；當b→1+時，，a也只有唯一解a=1；故排除C、D．1by1ay憑直覺和數感A、B選項中，B項的字母取值范圍窄得多，知b2＜1by1ay例3函數的圖象大致為（）A．B．C．D．解：當x∈（0，1）時，，當x=時，y有最小值，排除C．當x∈[－1，0]時，設t=x+1∈[0，1]，這時f（x）=2f（t）=，當t=時，f（x）有最小值，排除B、A．選D．yOxyOyOxyOxA．B．yOxyOxyOxC．D．解：注意到分子是奇函數，分母是偶函數，所以函數f（x）是奇函數，排除B、D．令x=1，分子、分母均為正，排除C，故選A．例5（多選題）已知定義在（0，+∞）上的函數滿足，則下列不等式一定正確的有（）A．9f（3）＞f（1）B．C．D．解：從題目外形可知，不容易求得f（x），又無特殊值可試．故變變形，構造．構造g（x）=x2f（x），則．進一步構造h（x）=x2+3lnx－1，x＞0，顯然h（x）在（0，+∞）上為增函數，h（1）=0．于是當x＞1時，h（x）＞h（1）=0，g′（x）=h（x）＞0，g（x）為增函數；當0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，g′（x）＜0，g（x）為減函數．由g（3）＞g（1）和g（x）=x2f（x）知9f（3）＞f（1），A正確．對B，由和g（x）=x2f（x）在（0，1）遞減可知，所以B錯．對于C來說，與g（3）不在同一單調區間上，算式無法比較大小，C錯誤．D呢，由和g（x）=x2f（x）在（0，1）遞減可知，所以D對．綜上所述，選AD．例6已知a，b∈（1，+∞），2（a+b）=e2a+2lnb+1，則（）A．1＜b＜aB．a＜b＜2aC．2a＜b＜eaD．ea＜b＜e2a解：分別聚合a、b，有e2a－2a+1=2b－2lnb=2elnb－2lnb～e2lnb－2lnb，（～代表等價、漸近、相等、相關或某數學函數服從概率分布）所以，差一點就可構成a～lnbea～b，排除A、B、C，選D．另法：對e2a－2a+1=2b－2lnb=2elnb－2lnb．構造f（x）=ex－x+1，g（x）=2ex－2x，左邊=f（2a）．由g（x）≥f（x）g（lnb）≥f（lnb）lnb＜2ab＜e2a．法三：由已可得e2a－2a－1=2（b－lnb－1）=2（elnb－lnb－1）．函數f（x）=ex－x－1f′（x）=ex－1＞0，表明f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（0）=0．∵b＞1lnb＞0f（lnb）＞0，∴f（2a）=2f（lnb）＞f（lnb），∴2a＞lnbb＜e2a．另一方面，有e2a－2a－1＞2（ea－a－1），∴f（2a）=2f（lnb）＞2f（a）a＜lnbea＜b．綜上，有ea＜b＜e2a．例7已知實數a，b滿足ea+a=b+lnb+1，則下列選項中一定正確的是（）A．b＞eaB．b＜eaC．b＜a+1D．b＞a+1解：從結構上看ea+a=b+lnb+1，可知a，b不是同級（加減、乘除、乘方開方、指數對數）別的、完全不相當（相關）．（ae，ea），而是ea與b（或a與lnb）相關，故排除C、D．另外，當b＞ea時，lnb＞ab+lnb＞ea+a了，與已知矛盾，排除A，選B．法二：構造f（x）=x+lnx，則有f（ea）=f（b）+1，顯然f（x）是增函數，由f（ea）＞f（b）得ea＞b，選B．法二：構造函數f（x）=x+lnx+1，則f（x）在x∈（0，+∞）內單調遞增．∵b+lnb+1=ea+a，∴f（b）=f（ea）－1＜f（ea）b＜ea，表明A錯誤，B正確．令a=0，則f（b）=e0+0=1，但f（1）=2＞1f（b）＜f（1），即0＜b＜1，進面b＜a+1，D錯誤．令a=－3，則f（b）=e－3－3＜0，仿上可得0＜b＜1b＞a+1，C錯誤，所以一定正確的是B．說明：選項可以改成用對數形式給出，如a＜lnb，a＜ln（b+1），a＞1+lnb，a＜2lnb，求解思路完全相同．例8（多選題）已知函數f（x）=x3+bx2+x+d，b、d∈R，下列說法正確的是（）A．存在b、d使得f（x）是奇函數B．對任意b、d，f（x）的圖象是中心對稱圖形C．若x1，x2為f（x）的兩個極值點，則x12+x22＞1D．若f（x）在R上單調，則≤b≤解：顯然，存在b=d=0，f（x）=x3+x是奇函數，A正確．中心對稱點設為x0f（x0+x）+f（x0－x）=2f（x0），我們知道，三次函數的對稱中點應該是其拐點二次極值點．f′′（x）=6x+2b=0x=，B正確．∵f（x）的兩個極值點是導函數的兩個零點，求導有f′（x）=3x2+2bx+1，∴x1x2=，∴x12+x22≥2︱x1x2︱=，無法保證x12+x22＞1，C錯誤．要使f（x）在R上單調，只要f′（x）=3x2+2bx+1非負△=4b2－12≤0≤b≤，∴D正確．例9已知正實數x，y滿足x+y=1，則下列不等式恒成立的是（）A．x2+y2≥B．xxyy≤xyyxC．xxyy≤D．xyyx≤解：特殊地，取x=y=，算一算，排除A．或者有x2+y2=（x+y）2－2xy=1－2xy≥1－（x2+y2）x2+y2≥．判斷B：作商，可知當1＞x＞y＞0時，，x－y＞0，∴，∴xxyy＞xyyx，B錯誤．取對數，有xlgx+ylgy－（xlgy+ylgx）=x（lgx－lgy）－y（lgx－lgy）=（lgx－lgy）（x－y），當x=y時取等號；當x＜y或x＞y時均有左＞右，故B、C均錯，選D．例10已知函數f（x）=ex+e－x－2cosx，若不相等的實數a，b，c構成等比數列，則，f（b），f（0）的大小關系為．解：注意到定義域x∈R關于原點對稱，f（－x）=f（x），f（x）是偶函數，f（x）≥2－2=0．f′（x）=ex－e－x+2sinx，f′′（x）=ex+e－x+2cosx≥0，∴f′（x）是R上的增函數，f′（0）=0，所以0是f（x）的最小值點．根據對稱性，不妨設a、b、c＞0，ac=b2，∴≥，≥b＞0，進而R＞S＞T．例11如果函數f（x）滿足對任意s、t∈（0，+∞），有f（s+t）＜f（s）+f（t），則稱f（x）為優函數．給出系列四個結論：①g（x）=ln（1+x）（x＞0）為優函數；②若f（x）為優函數，則f（2023）＜2023f（1）；③若f（x）為優函數，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增；④若在（0，+∞）上單調遞減，則f（x）為優函數．其中，所有正確結論的序號是．解：對任意s，t＞0，有g（s）+g（t）=ln（1+s）+ln（1+t）=ln（1+s+t+st）＞ln（1+s+t）=g（s+t），所以①正確；根據已知不等式，有f（2023）=f（2022+1）＜f（2022）+f（1）＜f（2021）+2f（1）＜f（2020）+3f（1）＜…＜2023f（1），所以②正確；構造滿足題意的優函數f（x）=1（x＞0），但f（x）=1在（0，+∞）上不單調遞增；表明③不正確；構造滿足題意在（0，+∞）上單調遞減的函數，顯然f（x）=1為優函數，表明④正確．故所有正確結論的序號是①②④．例12已知a，b∈R，若不等式xlnx－alnx≥x+b對任意x＞0恒成立，則的取值范圍是．解：（1）當a=0時，無意義；（2）當a＜0時，x→0+，不等式左邊→－∞，而右邊→b，不可能恒成立，故a＜0不成立；（3）當a＞0時，構造函數f（x）=xlnx－alnx－x－b≥0恒成立，只須f（x）min≥0即可．∵（x＞0）在（0，+∞）上單調遞增，，當x→+∞時，→+∞，所以存在零點x0＞1使得a=x0lnx0．又f（x）min=f（x0）=x0lnx0－alnx0－x0－b≥0，∴b≤x0lnx0－x0ln2x0－x0，x0＞1．于是≤，∴當x0=e時，∈（－∞，－1]．例13若函數有唯一的極值點t，則f（t）的取值范圍是．解：有唯一的正實數根（x＞0），在x∈（0，+∞）上無解ax+ex=0在x∈（0，+∞）上無解在x∈（0，+∞）上無解．設，x∈（0，+∞），∴，當x∈（0，1）時，，表明g（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，，表明g（x）單調遞增；所以g（x）當x=1時有最小值g（1）=e－a＜ea＞－e，進而，有f（x）∈（－2，+∞）．例14已知函數過點（0，m）有兩條直線與f（x）相切，則實數m的取值范圍是．解：（1）求導，x＞0；（2）設切點為（t，），t＞0；（3）切線方程為；（4）將點（0，m）代入上述切線方程，化簡整理得；（5）有兩解，的極值點是t=2，g（t）≥g（2）=ln2；（6）因此m≥ln2．例15函數其最大值的最小值為．解：（1－2y）x2－2ax－（1+y）=0△=4a2+4（1－2y）（1+y）≥02y2+y－1－a2≤0≤y≤，所以當a=0時，其最大值的最小值為．例16若關于x的不等式ex－1+a＞aln（ax－2a）（a＞0）恒成立，則實數a的取值范圍是．解：變變形．于是，構造f（x）=x+ex，得．∵f′（x）=ex+1＞0恒正，∴f（x）在R上單調遞增，∴．再構造函數g（x）=x－1－ln（x－2），x＞2．易知在x=3時，∴g（x）min=g（3）=2，∴lna＜2，故0＜a＜e2．法二：巧解、特解，設x－2=t＞0，t＞0，a＞0．取a=e時，et＞lnt，顯然成立；取a=e2時，et＞e（lnt+1）et－1＞lnt+1，作出圖象僅一點相等；∴a∈（0，e2）．例17已知直線l：x+my+n=0既是曲線y=lnx的切線，又是曲線y=ex－2的切線，則m+n的值為．解：設直線l與曲線y=lnx相切，切點為（x1，lnx1），則切線的斜率為，切線方程為；設直線l與曲線y=ex－2相切，切點為（x2，），則切線的斜率為，切線方程為；比較對應項的系數，得，，消去x1，得x2=1或x2=2，解得對應的x1=e或x1=1．當x1=e時，切線方程是x－ey=0m+n=－e；當x1=1時，切線方程是y=x+1m+n=－2．例18已知函數f（x）=aex－lnx+lna，若在定義域內總有f（x）≥0成立，則實數a的取值范圍是．解：顯然a、x＞0，g（x）=aex－lnx+lna≥0aex+lna≥lnxex+lnx+x+lna≥elnx+lnx．于是構造f（x）=ex+x，則f（x+lna）≥f（lnx）．由于f（x）是增函數，∴x+lna≥lnx即lna≥lnx－x在（0，+∞）上恒成立．設h（x）=lnx－x，則在（0，1）遞增，在（1，+∞）上遞減，所以h（x）≤h（1）=－1，因此lna≥－1，解得a≥a∈[，+∞）．例19已知m，n＞0，m+n=1，則的最小值為．解：降低分子次數，有，，所以，待求式=（m－2+n－1）+．接下來對已知變形為（m+2）+（n+1）=4，代換常數，有待求式==≥=．當且僅當，時，最小值為．法2由已知可設m=cos2，n=sin2，∈（0，），代入待求式有．去分母，整理，得（y+2）n2－（1+2y）n－（3n－1）=0，由△=（1+2y）2+4（y+2）（3n－1）≥0，16y2+24y－7≥0（4y－1）（4y+7）≥0y≤或y≥．例20若函數只有一個極值點，則a的取值范圍是．解：（1）對函數求導，得=．（2）若3是極值點，則a≤．∵，∴a≤．（3）若3不是極值點，則3是的一個根，此時a=．（4）綜上，a的取值范圍是（－∞，]∪{}．三、自主演練1．（2022北京卷）己知函數，則對任意實數x，有（）A．f（－x）+f（x）=0B．f（－x）－f（x）=0C．f（－x）+f（x）=1D．f（－x）－f（x）=解：f（－x）+f（x）=，故A錯誤，C正確．f（－x）－f（x）=，不是常數，故B、D錯誤．故選C．2．根據統計數據，在A小鎮當某件訊息發布后，t小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的100（1－2－kt）%，其中k是某個大于0的常數．今有某訊息，假設在發布后3小時之內已經有70%的人口聽到該訊息．又設最快要T小時后，有99%的人口已聽到該訊息，則T最接近下列選項的是（）．A．7.5小時B．9小時C．11.5小時D．13小時解：依題意100（1－2－3k）%=70%1－2－3k=0.72－3k=0.3．又100（1－2－kT）%=99%1－2－kT=0.992－kT=0.01（2－3k）=0.01（0.3）=0.01．兩邊取對數，得．3．曲線f（x）=x3－x2－2x+1，過點（－1，1）的直線l與曲線相切，且（－1，1）不是切點，則直線l的斜率為（）．A．2B．1C．－1D．－2解：設切點為（x0，x03－x02－2x0+1），則切線斜率為k=3x02－2x0－2，切線方程為y－（x03－x02－2x0+1）=（3x02－2x0－2）（x－x0），將點（－1，1）代入，得1－（x03－x02－2x0+1）=（3x02－2x0－2）（－1－x0），整理，得2（x0+1）2（x0－1）=0．∵x0≠－1，∴x0=1，所以這條切線的斜率為－1，選C．4．設a為常數，，f（x+y）=f（x）·f（a－y）+f（y）·f（a－x），則（）（多選題）A．B．恒成立C．f（x+y）=2f（x）·f（y）D．滿足條件的f（x）不止一個解：令x=y=0，可得f（0）=2f（0）·f（a），因為，所以，A正確．令y=0，可得f（x）=f（x）·f（a）+f（0）·f（a－x），代入，可得f（a－x）=f（x）．即原等式變形為f（x+y）=2f（x）·f（y），C正確．令y=x，可得f（2x）=2[f（x）]2≥0，即函數取值非負．令y=a－x，可得f（a）=2[f（x）]2，即，解得，選B．選ABC．5．設函數f（x）=ln︱2x+1︱－ln︱2x－1︱，則f（x）（）A．是偶函數，且在（，+∞）單調遞增 B．是奇函數，且在（，）單調遞減C．是偶函數，且在（－∞，）單調遞增 D．是奇函數，且在（－∞，）單調遞減解：由2x+1≠0且2x－1≠0，得x≠定義域關于原點對稱．又易得f（－x）=－f（x），所以f（x）為奇函數．由f（x）=，可得內層函數的圖象如圖，在（－∞，）上單調遞減，在（，）上單調遞增，則（，+∞）上單調遞減．又y=lnt是定義域內的增函數，由復合函數的單調性可得，f（x）在（－∞，）上單調遞減．故選D．說明：本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合，考查復合函數單調性的求法．6．設函數f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數，f（x+2）為偶函數，當x∈[1，2]時，f（x）=ax2+b．若f（0）+f（3）=6，則=（）A． B． C． D．解：∵f（x+1）為奇函數，∴f（1）=0，且f（x+1）=－f（－x+1）．∵f（x+2）偶函數，∴f（x+2）=f（－x+2），∴f[（x+1）+1]=－f[－（x+1）+1]=－f（－x），即f（x+2）=－f（－x），∴f（－x+2）=f（x+2）=－f（－x）．令t=－x，則f（t+2）=－f（t），∴f（t+4）=－f（t+2）=f（t），因此f（x+4）=f（x）．當x∈[1，2]時，f（x）=ax2+b，于是f（0）=f（－1+1）=－f（2）=－4a－b，f（3）=f（1+2）=f（－1+2）=a+b．又f（0）+f（3）=6，∴－3a=6，解得a=－2，進而b=2，∴當x∈[1，2]時，f（x）=－2x2+2，，選D．說明：本題主要考查函數的奇偶性與周期性，考查轉化思想與運算求解能力．7．已知直線y=－x+2分別交函數y=ex和y=lnx的圖象于點A（x1，y1），B（x2，y2），則下列結論正確的是（）（多選題）A．x1+x2=2B．＜x1＜1C．D．x1lnx2+x2lnx1＜0解：函數y=ex與y=lnx互為反函數，則y=ex與y=lnx的圖象關于y=x對稱，將y=－x+2與y=x聯立，則x=1，y=1，由直線y=－x+2分別與函數y=ex和y=lnx的圖象交于點A（x1，y1），B（x2，y2），作出函數圖象：則A（x1，y1），B（x2，y2）的中點坐標為（1，1）．對于A，由，解得x1+x2=2，故A正確．對于B，將y=－x+2與y=ex聯立可得－x+2=ex，即ex+x－2=0．設f（x）=ex+x－2，且函數為單調遞增函數，因為f（0）=1+0－2=－1＜0，，故函數的零點在（0，）上，即0＜x1＜，故B錯誤．對于C，≥，因為x1≠x2，即等號不成立，所以，故C正確．由x1+x2=2，0＜x1＜，則1＜x2＜2，x1lnx2+x2lnx1=x1lnx2－x2ln=（x1－x2）lnx2＜0，故D正確．故選ACD8．設a＞0，a≠1，函數，，則（）．DA．f（x）和g（x）均為奇函數B．f（x）和g（x）均為偶函數C．f（x）是偶函數，但g（x）是奇函數D．f（x）是奇函數，但g（x）是偶函數解：f（x）的定義域（－∞，+∞），且；g（x）的定義域（－∞，0）∪（0，+∞），且．從而f（x）、g（x）分別是奇函數、偶函數．9．函數的大致圖象是（）xxyOxyOxyOxyOA．B．C．D．解：函數的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞）．分子是奇函數，分母也是奇函數，故函數f（x）是偶函數，于是排除A、C．當x→+∞時，→0+，→x，于是f（x）→→→+∞（x比lnx要高一階），排除D，選B．10．設，且f（1）=1，f（4）=7，則f（2014）=．解：由f（1）=1，f（4）=7，得，，由數學歸納法，可推導得f（n）=2n－1，n∈N*，所以f（2014）=4027．法二：求得f（2）=3，f（3）=5后，猜想f（n）=2n－1，n∈N*．假設f（n）=2n－1對任意n≤3k（k≥1）都成立，則f（3k+1）=3f（k+1）－2f（1）=2（3k+1）－1，f（3k+2）=3f（k+2）－2f（2）=2（3k+2）－1，f（3k+3）=3f（k+3）－2f（3）=2（3k+3）－1，所以f（n）=2n－1，n∈N*．11．已知f（x）為R→R的函數，滿足f（1－x）=1－2f（x），則=．解：f（1－x）=1－2f（x）f[1－（1－x）]=1－2f（1－x）f（x）=1－2f（1－x）．f（x）=1－2[1－2f（x）]=4f（x）－1，所以．12．設函數f（x）=ex+ae－x（a為常數）．若f（x）為奇函數，則a=；若f（x）是