高級中學名校試題PAGEPAGE1甘肅省嘉峪關市2024-2025學年高一下學期第一次月考數學試題一、單選題.1.若復數滿足，則的虛部為（）A. B. C.1 D.i【答案】A【解析】由，可得，所以，所以，所以的虛部為.故選：A.2.如圖，四邊形是正方形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知.故選：B.3.已知向量滿足，則實數的值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】由可得.故選：D.4.已知的內角，，的對邊分別是，，，且，則的形狀是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】因為，不妨設，，則為最大角，由余弦定理可得，即為鈍角，所以是鈍角三角形.故選：C.5.已知向量滿足，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】向量滿足，所以.故選：B.6.已知平面向量，不共線，，，，則（）A.三點共線 B.三點共線C.三點共線 D.三點共線【答案】D【解析】對于A，，與不共線，A不正確；對于B，，，則與不共線，B不正確；對于C，，，則與不共線，C不正確；對于D，，即，又線段AC與CD有公共點C，所以三點共線，D正確．故選：D．7.如圖，為測量山高MN，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點．從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測．已知山高，兩座山都垂直地面，則山高MN長度為（）.A.150 B. C.300 D.【答案】A【解析】在直角中，，BC＝100，可得，在中，，，則，由正弦定理有：，即，故，在直角△中，，可得().故選：A.8.在中，點滿足，過點的直線與、所在的直線分別交于點、，若，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下圖所示：，即，，，，，，，、、三點共線，則.，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：B.二、多選題.9.已知復數，以下結論正確的是（）A.是純虛數B.C.D.在復平面內，復數對應的點位于第三象限【答案】ABD【解析】，對于A，，純虛數，A正確；對于B，，B正確：對于C，，C錯誤：對于D，，對應的點為，位于第三象限，D正確.故選：ABD.10.對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則C.若，，，則符合條件的有兩個D.若，則是鈍角三角形【答案】ABD【解析】對于A，若，因為函數在上為單調函數，所以，所以為等腰三角形，所以A正確；對于B，若，可得，由正弦定理，可得，可得，所以B正確；對于C，因為，所以符合條件的有0個，所以C不正確；對于D，若，由正弦定理得，則，因為，所以，所以是鈍角三角形，所以D正確.故選：ABD.11.下列說法中錯誤的有（）A.已知，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是B.已知向量，，則不能作為平面的一個基底C.若，，則D.是所在平面內一點，且滿足，則是的內心【答案】AC【解析】對A選項，，，且與的夾角為銳角，且與不共線，，則且，解得且，故A選項錯誤；對B選項，，則不能作為平面的一個基底，故B選項正確；對C選項，因為向量，所以不一定滿足，故C選項錯誤.對D選項，因為，由可知，垂直與角的外角平分線，所以點在角的平分線上，同理點在角的平分線上，點在角的平分線上，所以是的內心，故D選項正確.故選：AC.三、填空題.12.設復數滿足，則________.【答案】【解析】，則，故.13.已知，，向量在方向上的投影向量是（是與方向相同的單位向量），則______．【答案】12【解析】由題意知，在方向上的投影向量為，所以，所以.14.在中，，.①若，則角的大小為_____；②若角有兩個解，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】①由正弦定理可得，，；②在中，，，如下圖所示：若使得角有兩個解，則，即.四、解答題.15.已知復數，.（1）求；（2）復數，對應的向量分別是，，其中為坐標原點，當時，求的值.解：（1）∵，∴.（2）∵，.，∵，∴.16.已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．（1）求A；（2）若，的面積為，求a的值．解：（1）由得，由正弦定理得．由余弦定理得．，．（2）由于的面積為，，，由余弦定理得：．．17.如圖，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，求.解：（1）因為，，所以，所以，所以，故.（2），，為菱形，，所以，.18.已知銳角的內角的對邊分別為，且.（1）求；（2）當時，求周長的取值范圍.解：（1）∵，∴，∴，∵，∴，，∴.（2）∵，∴.∵為銳角三角形，∴，∴由正弦定理可得：，周長，∵，∴，∴周長的取值范圍是.19.如圖所示，設，是平面內相交成角的兩條數軸，，分別是與，軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系為仿射坐標系，若在仿射坐標系下，則把有序數對叫做向量的仿射坐標，記為．已知在仿射坐標系下，．（1）求向量，仿射坐標；（2）當時，