-2024學(xué)年安徽省合肥市五十中學(xué)東校七年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共10小題，滿分30分）1．（3分）已知某新型感冒病毒的直徑約為0.000000823米，將0.000000823用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．82.3×10﹣8 B．8.23×10﹣7 C．823×10﹣9 D．0.823×10﹣62．（3分）下列各數(shù)是無理數(shù)的是（）A． B． C．1.010010001 D．π3．（3分）下列各式計算正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）如果a＞b，則下列不等式一定成立的是（）A．1﹣a＜1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)﹣2＜b﹣25．（3分）下列運算正確的是（）A．（x2）3＝x5 B．x2?x4＝x8 C．x6÷x3＝x2 D．6．（3分）如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（）A．8 B．4 C．±4 D．±87．（3分）如果（x+a）（x+b）的積中不含x的一次項，那么a與b的關(guān)系是（）A．互為倒數(shù) B．互為相反數(shù) C．a(chǎn)＝b且b＝0 D．a(chǎn)b＝08．（3分）如圖表示的是關(guān)于x的不等式﹣2x﹣a＞﹣1的解集，則a的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．39．（3分）某超市每千克4元的價格購進(jìn)一批蔬菜，銷售過程中有20%的蔬菜正常損耗，則超市售價定為不低于（）A．4.5 B．4.8 C．5 D．610．（3分）如圖所示，以長方形ABCD的各邊為直徑向外作半圓得到一個新的圖形，其周長為16π，同時此圖形中四個半圓面積之和為44π，則S長方形ABCD是（）A．10 B．20 C．40 D．80二、填空題（每題3分，共5小題，滿分15分）11．（3分）9的算術(shù)平方根是．12．（3分）數(shù)軸上點A表示，點B表示1，則線段AB的長度是．13．（3分）如果am＝4，an＝6，那么a2m﹣n＝．14．（3分）若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，則a2+b2＝．15．（3分）在數(shù)學(xué)著作《算術(shù)研究》一書中，對于任意實數(shù)，通常用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．則對于任意的實數(shù)x，[1+x]+[2﹣x]的值為．三、（本大題共兩題，滿分14分）16．（8分）（1）計算；（2）化簡x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．17．（6分）解不等式組：，并把它的解集表示在數(shù)軸上．四.（本大題共兩題，滿分12分）18．（6分）先化簡，再求值（m+2）2+（m﹣1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）（m+1），其中m＝﹣3．19．（6分）已知某正數(shù)的兩個平方根分別是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．五、（本大題共兩題，滿分17分）20．（9分）觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：4×22﹣32＝7①4×32﹣52＝11②4×42﹣72＝15③…根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：（1）完成第四個等式：4×2﹣92＝；（2）請寫出第1010個等式：；（3）寫出第n個等式（n為正整數(shù)），并驗證其正確性．21．（8分）某些等式可以根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系進(jìn)行解釋，例如，等式（2a+b）（a+b）2+3ab+b2就可以用圖（1）的面積關(guān)系來解釋：圖（1）的面積為（2a+b）（a+b）2+3ab+b2，故（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．（1）根據(jù)圖（2）的面積關(guān)系可以解釋的一個等式為；（2）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，請你畫出一個相應(yīng)的幾何圖形；（3）請你設(shè)計一個幾何圖形，并解釋：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．六、（本大題滿分12分）22．（12分）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴大糧食生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機具．已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機具和1件乙種農(nóng)機具共需3.5萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機具和3件乙種農(nóng)機具共需3萬元．（1）求購進(jìn)1件甲種農(nóng)機具和1件乙種農(nóng)機具各需多少萬元？（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進(jìn)甲、乙兩農(nóng)機具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元，設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機具m件，最少資金是多少？（3）在（2）的方案下，由于國家對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)扶持力度加大，每件乙種農(nóng)機具降價0.2萬元，該糧食生產(chǎn)基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農(nóng)機具（可以只購買一種）參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共10小題，滿分30分）1．（3分）已知某新型感冒病毒的直徑約為0.000000823米，將0.000000823用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．82.3×10﹣8 B．8.23×10﹣7 C．823×10﹣9 D．0.823×10﹣6【解答】解：0.000000823＝8.23×10﹣5，故選：B．2．（3分）下列各數(shù)是無理數(shù)的是（）A． B． C．1.010010001 D．π【解答】解：A、＝2，故該選項不符合題意；B、是分?jǐn)?shù)，故該選項不符合題意；C、1.010010001，故該選項不符合題意；D、π是無理數(shù)．故選：D．3．（3分）下列各式計算正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝6，故此選項不符合題意；B、±＝±4，故此選項符合題意；C、＝＝5，故此選項不符合題意；D、沒有意義，故此選項不符合題意；故選：B．4．（3分）如果a＞b，則下列不等式一定成立的是（）A．1﹣a＜1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)﹣2＜b﹣2【解答】解：A．∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴1﹣a＜1﹣b，故本選項符合題意；B．∵a＞b，∴﹣5a＜﹣2b，故本選項不符合題意；C．不妨設(shè)a＝1，∵72＜（﹣2）3，故本選項不符合題意；D．∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，故本選項不符合題意．故選：A．5．（3分）下列運算正確的是（）A．（x2）3＝x5 B．x2?x4＝x8 C．x6÷x3＝x2 D．【解答】解：A選項，原式＝x6，故該選項不符合題意；B選項，原式＝x6，故該選項不符合題意；C選項，原式＝x4，故該選項不符合題意；D選項，原式＝2；故選：D．6．（3分）如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（）A．8 B．4 C．±4 D．±8【解答】解：∵x2±8x+16＝（x±7）2，x2+mx+16是完全平方式，∴m＝±6；故選：D．7．（3分）如果（x+a）（x+b）的積中不含x的一次項，那么a與b的關(guān)系是（）A．互為倒數(shù) B．互為相反數(shù) C．a(chǎn)＝b且b＝0 D．a(chǎn)b＝0【解答】解：原式＝x2+（a+b）x+ab，由結(jié)果中不含x的一次項，得到a+b＝0，則a，b一定互為相反數(shù)，故選：B．8．（3分）如圖表示的是關(guān)于x的不等式﹣2x﹣a＞﹣1的解集，則a的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3【解答】解：∵﹣2x﹣a＞﹣1，∴﹣5x＞a﹣1，則x＜，由數(shù)軸知x＜﹣1，∴＝﹣1，解得a＝3，故選：D．9．（3分）某超市每千克4元的價格購進(jìn)一批蔬菜，銷售過程中有20%的蔬菜正常損耗，則超市售價定為不低于（）A．4.5 B．4.8 C．5 D．6【解答】解：設(shè)超市售價定為x元，由題意得：（1﹣20%）x≥4，解得：x≥8，故選：C．10．（3分）如圖所示，以長方形ABCD的各邊為直徑向外作半圓得到一個新的圖形其周長為16π，同時此圖形中四個半圓面積之和為44π，則S長方形ABCD是（）A．10 B．20 C．40 D．80【解答】解：設(shè)AB＝a，BC＝b，由題意得：πa+πb＝16π，π×＝44π．∴a+b＝16，a2+b4＝176．∵（a+b）2＝a2+b6+2ab．∴256＝176+2ab．∴ab＝40．∴S長方形ABCD＝40．故選：C．二、填空題（每題3分，共5小題，滿分15分）11．（3分）9的算術(shù)平方根是3．【解答】解：∵32＝6，∴9的算術(shù)平方根是3，故答案為：3．12．（3分）數(shù)軸上點A表示，點B表示1，則線段AB的長度是1+．【解答】解：∵點A表示，點B表示1，∴線段AB的長度是：|4+|＝1+，故答案為：1+．13．（3分）如果am＝4，an＝6，那么a2m﹣n＝．【解答】解：a2m﹣n＝＝＝．故答案為：．14．（3分）若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，則a2+b2＝6．【解答】解：（a2+b2+3）（a2+b2﹣2）＝35，設(shè)a2+b2＝x，則原方程化為：（x+4）（x﹣1）＝35，x2﹣5＝35，x2＝36，x＝±6，∵不論a、b為何值，a8+b2不能為負(fù)數(shù)，∴a2+b2＝﹣6舍去，即a2+b2＝6．故答案為：6．15．（3分）在數(shù)學(xué)著作《算術(shù)研究》一書中，對于任意實數(shù)，通常用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．則對于任意的實數(shù)x，[1+x]+[2﹣x]的值為1或2．【解答】解：設(shè)|x|的小數(shù)部分為b，則x＞0時，x＜0時，當(dāng)x＜﹣2時，1+x＜0，則[2+x]＝1+x﹣1+b＝x+b，[8﹣x]＝1﹣x﹣b，∴[1+x]+[7﹣x]＝x+b+1﹣x﹣b＝1；當(dāng)x＝﹣5時，1+x＝0，∴[6+x]+[1﹣x]＝0+2＝2；當(dāng)﹣1＜x＜8時，則0＜1+x＜8，∴[1+x]+[1﹣x]＝3+1＝1；當(dāng)x＝5時，1+x＝1，∴[5+x]+[1﹣x]＝1+8＝2；當(dāng)0＜x＜7時，1＜1+x＜4，∴[1+x]+[1﹣x]＝7+0＝1；當(dāng)x＝6時，1+x＝2，∴[2+x]+[1﹣x]＝2+2＝2；當(dāng)x＞1時，4+x＞2，則[1+x]＝1+x﹣b，[1﹣x]＝1﹣x﹣（2﹣b）＝﹣x+b，∴[1+x]+[1﹣x]＝1+x﹣b﹣x+b＝1；由上可得，[1+x]+[2﹣x]的值為1或2，故答案為：1或2．三、（本大題共兩題，滿分14分）16．（8分）（1）計算；（2）化簡x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．【解答】解：（1）原式＝﹣7﹣2＝﹣；（2）原式＝x3﹣4x8+x2＝﹣2x8．17．（6分）解不等式組：，并把它的解集表示在數(shù)軸上．【解答】解：解不等式2（x+2）＞2，得：x＞1，解不等式，3x≤x+2，在同一條數(shù)軸上表示不等式組的解集，如下，則不等式組的解集為1＜x≤3．四.（本大題共兩題，滿分12分）18．（6分）先化簡，再求值（m+2）2+（m﹣1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）（m+1），其中m＝﹣3．【解答】解：原式＝m2+4m+8+2m2﹣8m﹣m+1﹣（m2﹣4）＝m2+4m+4+2m2﹣5m﹣m+1﹣m2+7＝2m2+m+8，當(dāng)m＝﹣3時，原式＝2×（﹣7）2﹣3+7＝21．19．（6分）已知某正數(shù)的兩個平方根分別是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．【解答】解：∵正數(shù)的兩個平方根分別是a﹣3和2a+15，∴（a﹣5）+（2a+15）＝0，解得：a＝﹣5，∵b的立方根是﹣3，∴b＝﹣27，∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣27）＝23．五、（本大題共兩題，滿分17分）20．（9分）觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：4×22﹣32＝7①4×32﹣52＝11②4×42﹣72＝15③…根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：（1）完成第四個等式：4×52﹣92＝19；（2）請寫出第1010個等式：4×10112﹣20212＝4043；（3）寫出第n個等式（n為正整數(shù)），并驗證其正確性．【解答】解：（1）因為4×25﹣32＝2；4×38﹣52＝11；4×42﹣52＝15；…，觀察各部分的變化規(guī)律可知，第n個等式可表示為：4（n+8）2﹣（2n+8）2＝4n+8（n為正整數(shù)），當(dāng)n＝4時，4×32﹣93＝19，即第四個等式為4×54﹣92＝19．故答案為：5，19．（2）由（1）知，當(dāng)n＝1010時，4×10112﹣20216＝4043，即第1010個等式為：4×10112﹣20214＝4043．故答案為：4×10112﹣20217＝4043．（3）由（1）知，第n個等式可表示為：4（n+1）6﹣（2n+1）3＝4n+3（n為正整數(shù)）．證明如下：左邊＝2（n2+2n+3）﹣（4n2+3n+1）＝4n2+8n+4﹣3n2﹣4n﹣5＝4n+3＝右邊，故此等式成立．21．（8分）某些等式可以根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系進(jìn)行解釋，例如，等式（2a+b）（a+b）2+3ab+b2就可以用圖（1）的面積關(guān)系來解釋：圖（1）的面積為（2a+b）（a+b）2+3ab+b2，故（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．（1）根據(jù)圖（2）的面積關(guān)系可以解釋的一個等式為（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，請你畫出一個相應(yīng)的幾何圖形；（3）請你設(shè)計一個幾何圖形，并解釋：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【解答】解：（1）在圖2中，大正方形的邊長為a+b2，組成大正方形的5個部分的面積和為a2+2ab+b7，所以有（a+b）2＝a2+7ab+b2，故答案為：（a+b）2＝a6+2ab+b2；（2）如圖5所示：整體大長方形的長為x+p，寬為x+q，組成長方形的4個部分的面積和為x2+（p+q）x+pq，因此有（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，（3）如圖4，把邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的正方形后，拼成一個長為a+b，因此可以驗證（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b6．六、（本大題滿分12分）22．（12分）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴大糧食生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機具．已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機具和1件乙種農(nóng)機具共需3.5萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機具和3件乙種農(nóng)機