第9章平面直角坐標(biāo)系【2大考點8種題型】【人教版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考點1平面直角坐標(biāo)系】 1【題型1定位法的應(yīng)用】 3【題型2坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)特征】 4【題型3根據(jù)已知點的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作圖】 5【考點2圖形在坐標(biāo)系中的平移】 6【題型4坐標(biāo)系中的平移】 7【題型5關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點】 8【題型6在平面直角坐標(biāo)系中作圖】 9【題型7在平面直角坐標(biāo)系中求圖形的面積】 11【題型8坐標(biāo)中的規(guī)律探究】 13【考點1平面直角坐標(biāo)系】1.有序數(shù)對有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對叫做有序數(shù)對.2.坐標(biāo)數(shù)軸上的點與實數(shù)（包括有理數(shù)與無理數(shù)）一一對應(yīng)，數(shù)軸上的每一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，這個實數(shù)叫做這個點在數(shù)軸上的坐標(biāo).3.平面直角坐標(biāo)系①在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系.②水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸為y軸或縱軸，取向上方向為正方向；③兩坐標(biāo)軸的交點為平面直角坐標(biāo)系的原點(坐標(biāo)軸上的點不屬于任何象限，原點既在x軸上，又在y軸上).4.點的坐標(biāo)有了平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的點就可以用一個有序數(shù)對來表示，a點對應(yīng)x軸的數(shù)值為橫坐標(biāo)，b點對應(yīng)y軸的數(shù)值為縱坐標(biāo)，有序數(shù)對就叫做點A的坐標(biāo)，記作（a,b）.書寫時先橫后縱再括號，中間隔開用逗號.5.坐標(biāo)平面圖坐標(biāo)平面圖是由兩條坐標(biāo)軸和四個象限構(gòu)成的，也可以說坐標(biāo)平面內(nèi)的點可以分為六個區(qū)域：x軸上，y軸上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在這六個區(qū)域中，除x軸與y軸的一個公共點（原點）之外，其他區(qū)域之間都沒有公共點.6.坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的對于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點M，都有唯一的一對有序?qū)崝?shù)（x，y）（即點M的坐標(biāo)）的坐標(biāo)和它對應(yīng)；反過來，對于任意一對有序?qū)崝?shù)（x，y）在坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的一點M，即坐標(biāo)為(x，y)的點和它對應(yīng)，也就是說，坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的.7.象限平面直角坐標(biāo)系把坐標(biāo)平面分成四個象限，從右上部分開始，按逆時針方向分別叫第一象限(或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）.注：ⅰ、坐標(biāo)軸（x軸、y軸）上的點不屬于任何一個象限.ⅱ、平面直角坐標(biāo)系的原點發(fā)生改變，則點的坐標(biāo)相應(yīng)發(fā)生改變；坐標(biāo)軸的單位長度發(fā)生改變，點的坐標(biāo)也相應(yīng)發(fā)生改變.8.坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置特點①坐標(biāo)原點的坐標(biāo)為（0，0）；②第一象限內(nèi)的點，x、y同號，均為正；③第二象限內(nèi)的點，x、y異號，x為負(fù)，y為正；④第三象限內(nèi)的點，x、y同號，均為負(fù)；⑤第四象限內(nèi)的點，x、y異號，x為正，y為負(fù)；⑥橫軸（x軸）上的點，縱坐標(biāo)為0，即（x，0），所以，橫軸也可寫作：y=0（表示一條直線）⑦縱軸（y軸）上的點，橫坐標(biāo)為0，即（0，y）,所以，縱橫也可寫作：x=0（表示一條直線）9.點到坐標(biāo)軸的距離坐標(biāo)平面內(nèi)的點的橫坐標(biāo)的絕對值表示這點到縱軸（y軸）的距離，而縱坐標(biāo)的絕對值表示這點到橫軸（x軸）的距離.注:①已知點的坐標(biāo)求距離，只有一個結(jié)果，但已知距離求坐標(biāo)，則因為點的坐標(biāo)有正有負(fù)，可能有多個解的情況，應(yīng)注意不要丟解.②坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點A（x?，y?）、B(x?，y?)之間的距離公式為：d=10.坐標(biāo)平面內(nèi)對稱點坐標(biāo)的特點①一個點A（a,b）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為A＇（a,-b）,特點為：x不變，y相反；②一個點A（a,b）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為A＇（-a,b）,特點為：y不變，x相反；③一個點A（a,b）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為A＇（-a,-b），特點為：x、y均相反.11.平行于坐標(biāo)軸的直線的表示①平行于橫軸（x軸）的直線上的任意一點，其橫坐標(biāo)不同，縱坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：y=a（a為縱坐標(biāo)）的形式，a的絕對值表示這條直線到x軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點橫坐標(biāo)之差的絕對值；②平行于縱軸（y軸）的直線上的任意一點，其縱坐標(biāo)不同，橫坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：x=b（b為橫坐標(biāo)）的形式，b的絕對值表示這條直線到y(tǒng)軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點縱坐標(biāo)之差的絕對值.12.象限角平分線的特點①第一、三象限的角平分線可表示為y=x的形式，即角平分線上的點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)相等（同號）②第二、四象限的角平分線可表示為y=-x的形式，即角平分線的點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)(異號)【題型1定位法的應(yīng)用】【例1】（24-25七年級·全國·單元測試）閱讀與理解：如圖，一只甲蟲在5×5的方格（每個方格邊長均為1）上沿著網(wǎng)格線爬行．若我們規(guī)定：在如圖網(wǎng)格中，向上（或向右）爬行記為“+”，向下（或向左）爬行記為“－”，并且第一個數(shù)表示左右方向，第二個數(shù)表示上下方向．例如：從A到B記為：A→B+1,+4從D到C記為：D→C?1,+2

思考與應(yīng)用：(1)圖中A→C（，）；B→C（，）；D→A（，）．(2)若甲蟲從A到P的行走路線依次為：+3,+2→+1,+3→(3)若甲蟲的行走路線為A→+1,+4【變式1-1】（24-25七年級·新疆烏魯木齊·期末）兩個小伙伴拿著如下密碼表玩聽聲音猜動物的游戲，若聽到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的動物是“狗”，則聽到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”時，表示的動物是．（寫漢字）4QRSUVX3TBEINP2WDAHLMY1OCGFJKZ1234567【變式1-2】（24-25七年級·廣東廣州·期中）如圖，若點A(2,1)表示放置2個胡蘿卜，1棵青菜；點B(4,2)表示放置4個胡蘿卜，2棵青菜．

(1)請寫出其他各點C，D，E，F(xiàn)所表示的意義；(2)若一只小兔子從A到達(dá)B（順著方格線走）有以下幾種路徑可選擇：①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B．問：走哪條路徑吃到的胡蘿卜最多？走哪條路徑吃到的青菜最多？【變式1-3】（24-25七年級·貴州安順·期中）如圖，雷達(dá)探測器測得六個目標(biāo)A，B，C，D，E，F(xiàn)出現(xiàn)，按照規(guī)定的目標(biāo)表示方法，目標(biāo)C，F(xiàn)的位置表示為C6,120°，F(xiàn)(1)按照此方法表示目標(biāo)A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______；(2)若目標(biāo)C的實際位置是北偏西30°距觀測站1800m，目標(biāo)F的實際位置是南偏西60°距觀測站1500m，寫出目標(biāo)A，B，D，(3)若另有目標(biāo)G在東南方向距觀測站750m處，目標(biāo)H在南偏東20°距觀測站900m處，寫出G，【題型2坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)特征】【例2】（24-25七年級·新疆烏魯木齊·期中）已知點P2a?2,a+5(1)點P在y軸上，求出點P的坐標(biāo)；(2)點Q的坐標(biāo)為4,5，直線PQ∥y軸；求出點P的坐標(biāo)；(3)若點P在第二象限，且它到x軸、y軸的距離相等，求a的值．【變式2-1】（24-25七年級·河南許昌·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點Mm(1)當(dāng)m=?12時，點(2)若點M在x軸上，求m的值；(3)若點M在第一、三象限的角平分線上，求m的值．【變式2-2】（24-25七年級·陜西渭南·期末）已知，點P2m?6,m+2(1)若點P在y軸上，則m的值為______；(2)若點P的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大6，則點P在第幾象限？【變式2-3】（24-25七年級·四川宜賓·期末）點Pa+3,2a?2在第二，四象限角平分線上，則a=【題型3根據(jù)已知點的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作圖】【例3】（24-25七年級·貴州黔東南·期中）如圖是某學(xué)校的平面示意圖，已知旗桿的位置是?2,2，實驗室的位置是1,3．(1)根據(jù)所給條件在圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示位置：食堂是______，圖書館是______；(3)已知辦公樓的位置是0,2，教學(xué)樓的位置是2,1，在圖中標(biāo)出辦公樓和教學(xué)樓的位置；(4)如果1個單位長度表示30m，那么宿舍樓到教學(xué)樓的實際距離為______m【變式3-1】（24-25七年級·全國·課后作業(yè)）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使點B、C的坐標(biāo)分別為0,0和4,0，寫出點A、D、E、F、G的坐標(biāo)，并指出它們所在的象限．【變式3-2】（24-25七年級·河南商丘·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A3a?1,1的橫坐標(biāo)與點B(1)求點A，B的坐標(biāo)；(2)點C?a?1,m在第三象限，且到x軸的距離為1，請在正方形網(wǎng)格圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出三角形ABC，并求出三角形ABC【變式3-3】（24-25七年級·廣東陽江·期末）廣東省廣州市的長隆野生動物世界是國內(nèi)最大的野生動物保護(hù)基地之一，擁有超過500種、逾2萬只陸生動物，是游客們了解廣州必到的勝地．如圖是長隆野生動物世界部分景點的分布示意圖，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，并且“五彩廣場”和“考拉園”的坐標(biāo)分別是?3,1和?1,?1．(1)根據(jù)題意，畫出正確的平面直角坐標(biāo)系．(2)“百虎山”的坐標(biāo)為______；“熊貓樂園”的坐標(biāo)為______．(3)小明現(xiàn)在在“熊貓樂園”，想要前往“百虎山”（只能走網(wǎng)格，每個網(wǎng)格為一個單位長度），可以先向上走_(dá)_____個單位長度，再向______走_(dá)_____個單位長度．【考點2圖形在坐標(biāo)系中的平移】1.點的平移在平面直角坐標(biāo)系中，將點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x＋a，y）；將點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x－a，y）；“左減右加”將點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，y＋b）；將點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，y－b）.“下減上加”2.圖形的平移在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)如果把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加（或減去）一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標(biāo)都加（或減去）一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度.3.關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)關(guān)系4.坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用①已知三角形的頂點坐標(biāo)求三角形的面積將坐標(biāo)平面上的三角形的面積轉(zhuǎn)化為幾個圖形的面積的組合（相加）或分解（相減），即將要求的三角形面積轉(zhuǎn)化為一個大的多邊形（例如矩形或梯形）與一個或幾個較小的三角形面積之差；②已知多邊形各頂點坐標(biāo)求多邊形的面積將坐標(biāo)平面上的多邊形的面積分割成幾個規(guī)則的圖形組合的面積之和，或轉(zhuǎn)化為一個更大的多邊形（例如矩形或梯形）與一個或幾個較小的三角形面積之差.【題型4坐標(biāo)系中的平移】【例4】（24-25七年級·吉林長春·期末）如圖：A1,0，B0,2，若將線段AB平移至A1B1【變式4-1】（24-25七年級·山西朔州·期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將M5,2先向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，移動后的點的坐標(biāo)是（

A．8,4 B．3,5 C．2,0 D．2,3【變式4-2】（24-25七年級·安徽·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點Aa,b先向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后位于原點處，則點A的坐標(biāo)為【變式4-3】（24-25七年級·四川南充·期末）如圖，第二象限有兩點Am+3,n,Bm,n?2，將線段AB平移，使點A，B分別落在兩條坐標(biāo)軸上，則平移后點BA．3,0或0,2 B．?3,0或0,2C．?3,0或0,?2 D．3,0或0,?2【題型5關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點】【例5】（24-25七年級·湖南永州·期末）任意兩點關(guān)于它們所連線段的中點成中心對稱，在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點P(x1，y1)，Q

(x2，y2)的對稱中心的坐標(biāo)為x1（1）在平面直角坐標(biāo)系中，若點P1(0，-1)，P2(2，3)的對稱中心是點A，則點A的坐標(biāo)為；（2）另取兩點B(?1,2)，C(?1，0)．有一電子青蛙從點P1處開始依次作關(guān)于點A，B，C的循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點P1關(guān)于點A的對稱點P2處，接著跳到點P2關(guān)于點B的對稱點P3處，第三次再跳到點P3關(guān)于點C的對稱點P4處，第四次再跳到點P4關(guān)于點A的對稱點P5處，…，則點P2019的坐標(biāo)為【變式5-1】（24-25七年級·天津河?xùn)|·期末）在平面直角坐標(biāo)系中點P（－2，3）關(guān)于x軸的對稱點在第象限【變式5-2】（24-25七年級·廣東清遠(yuǎn)·期末）四盞燈籠的位置如圖．已知A，B，C，D的坐標(biāo)分別是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），移動y軸右側(cè)的一盞燈籠，使得y軸兩側(cè)的燈籠對稱，則移動的方法可以是（

）A．將B移到（－2，b） B．將B移到（－3.5，b）C．將C移到（－2，b） D．將D移到（－2，b）【變式5-3】（24-25七年級·全國·假期作業(yè)）剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點E的坐標(biāo)為(?2,?n)，其關(guān)于y軸對稱的點F的坐標(biāo)(2,?m+1)，則(n?m)2023=【題型6在平面直角坐標(biāo)系中作圖】【例6】（24-25七年級·河北滄州·期中）如圖，將三角形ABC平移后，三角形ABC內(nèi)任意一點P（x0，y0）的對應(yīng)點為P1（x0+5，y0﹣3）．（1）三角形ABC的面積為；（2）將三角形ABC平移后，頂點A，B，C的對應(yīng)點分別為A1，B1，C1，在圖中畫出三角形A1B1C1；（3）若三角形ABC外有一點M經(jīng)過同樣的平移后得到點M1（5，3），則點M的坐標(biāo)為；若連接線段MM1，PP1，則這兩條線段之間的關(guān)系是．【變式6-1】（24-25七年級·廣西北海·期末）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，△AOB的頂點均在格點上.（1）B點關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為；（2）將△AOB向左平移3個單位長度得到△A1O1B1，請畫出△A1O1B1；（3）在（2）平移過程中，線段OA所掃過的面積為.【變式6-2】（24-25七年級·江蘇南京·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC三個頂點在格點上．已知點A(1,1)，點C(2,3)．(1)畫出平面直角坐標(biāo)系（要求：畫出坐標(biāo)軸，標(biāo)注坐標(biāo)原點O）．(2)現(xiàn)將△ABC先向下平移4個單位長度，再沿y軸翻折得到△A1B1C1，在圖中畫出(3)若△ABC內(nèi)有一點P(a,b)，則點P經(jīng)過（2）中的平移、對稱后得到的點P1【變式6-3】（24-25七年級·河南洛陽·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC中，點A的坐標(biāo)是?4,2，點B的標(biāo)是?2,0，點C的坐標(biāo)是?1,4．將三角形ABC平移后得到三角形A′B′C′，其中點A(1)分別寫出點B′和點C′的坐標(biāo)：B′，(2)在坐標(biāo)系中畫出三角形A'(3)若點Pm,4?n是三角形ABC內(nèi)的一點，點P′2m?1,n?5是三角形A′B′C【題型7在平面直角坐標(biāo)系中求圖形的面積】【例7】（24-25七年級·湖北咸寧·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為1,?2，點B的坐標(biāo)為3,0．

(1)如圖1，平移線段AB到線段DC，使點A的對應(yīng)點為D，點B的對應(yīng)點為C，若點C的坐標(biāo)為?2,4，則點D的坐標(biāo)為；(2)如圖2，平移線段AB到線段DC，使點C在y軸的正半軸上，點D在第二象限內(nèi)．①此時點D的橫坐標(biāo)為，設(shè)點D的縱坐標(biāo)為y，點C的縱坐標(biāo)用y的代數(shù)式表示為；②連接BC，BD，若△BCD的面積為7，求點C，D的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，在y軸上是否存在一點P，使△PBD與△BCD的面積之比為12:7？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式7-1】（24-25七年級·江西南昌·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，有點Aa,?1，點B（1）當(dāng)A，B兩點關(guān)于直線x=?1對稱時，求△AOB的面積；（2）當(dāng)線段AB//y軸，且AB=3時，求a?b的值．【變式7-2】（24-25七年級·廣西河池·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B是x軸上兩點，A(?1,0)，B(3,0)，現(xiàn)同時將點A，B分別向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到A，B兩點的對應(yīng)點C，D，連接AC,BD,CD．(1)直接寫出點C，D的坐標(biāo)．(2)若平移后得到的四邊形ABDC為平行四邊形，求出四邊形ABDC的面積．(3)在x軸上是否存在點F，使△DFC的面積是△DFB的面積的2倍？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式7-3】（24-25七年級·湖北襄陽·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，線段AB兩端點在坐標(biāo)軸上，點A(?4,0)，點B(0,3)，將AB向右平移4個單位長度至OC的位置．(1)點C的坐標(biāo)是；(2)如圖2，過點C作CD⊥x軸于點D，在y軸上有一動點P，求三角形PCD的面積；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接AC，是否存在點P，使得三角形ACP的面積為22，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【題型8坐標(biāo)中的規(guī)律探究】【例8】（24-25七年級·黑龍江雞西·期末）小穎同學(xué)觀看臺球比賽，從中受到啟發(fā)，把它抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，小球起始時位于3,0處，沿所示的方向擊球，若不考慮阻力，小球運動的軌跡如圖所示，小球第一次碰到球桌邊時，小球的位置是0,3，那么小球第2024次碰到球桌邊時，小球所在的位置用坐標(biāo)表示是．【變式8-1】（24-25七年級·湖北宜昌·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A從原點O出發(fā)，沿x軸正方向按半圓形弧線不斷向前運動，其移動路線如圖所示，其中半圓的半徑為1個單位長度，這時點A1，A2，A3【變式8-2】（24-25七年級·湖北省直轄縣級單位·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點Px,y，我們把點P′?y+1,x+1叫做點P的伴隨點．已知點A1的伴隨點為A2，點A2的伴隨點為A3，點A3的伴隨點為A4，?，這樣依次得到點A1，A2，A3，?，【變式8-3】（24-25七年級·廣東汕頭·期末）如圖，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點從A0,1出發(fā)，按一定規(guī)律移動，依次得到A1?2,0，A2?4,2，A3?6,1，A4?8,3

第9章平面直角坐標(biāo)系【2大考點8種題型】【人教版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考點1平面直角坐標(biāo)系】 1【題型1定位法的應(yīng)用】 3【題型2坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)特征】 7【題型3根據(jù)已知點的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作圖】 10【考點2圖形在坐標(biāo)系中的平移】 14【題型4坐標(biāo)系中的平移】 15【題型5關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點】 18【題型6在平面直角坐標(biāo)系中作圖】 20【題型7在平面直角坐標(biāo)系中求圖形的面積】 25【題型8坐標(biāo)中的規(guī)律探究】 32【考點1平面直角坐標(biāo)系】1.有序數(shù)對有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對叫做有序數(shù)對.2.坐標(biāo)數(shù)軸上的點與實數(shù)（包括有理數(shù)與無理數(shù)）一一對應(yīng)，數(shù)軸上的每一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，這個實數(shù)叫做這個點在數(shù)軸上的坐標(biāo).3.平面直角坐標(biāo)系①在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系.②水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸為y軸或縱軸，取向上方向為正方向；③兩坐標(biāo)軸的交點為平面直角坐標(biāo)系的原點(坐標(biāo)軸上的點不屬于任何象限，原點既在x軸上，又在y軸上).4.點的坐標(biāo)有了平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的點就可以用一個有序數(shù)對來表示，a點對應(yīng)x軸的數(shù)值為橫坐標(biāo)，b點對應(yīng)y軸的數(shù)值為縱坐標(biāo)，有序數(shù)對就叫做點A的坐標(biāo)，記作（a,b）.書寫時先橫后縱再括號，中間隔開用逗號.5.坐標(biāo)平面圖坐標(biāo)平面圖是由兩條坐標(biāo)軸和四個象限構(gòu)成的，也可以說坐標(biāo)平面內(nèi)的點可以分為六個區(qū)域：x軸上，y軸上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在這六個區(qū)域中，除x軸與y軸的一個公共點（原點）之外，其他區(qū)域之間都沒有公共點.6.坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的對于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點M，都有唯一的一對有序?qū)崝?shù)（x，y）（即點M的坐標(biāo)）的坐標(biāo)和它對應(yīng)；反過來，對于任意一對有序?qū)崝?shù)（x，y）在坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的一點M，即坐標(biāo)為(x，y)的點和它對應(yīng)，也就是說，坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的.7.象限平面直角坐標(biāo)系把坐標(biāo)平面分成四個象限，從右上部分開始，按逆時針方向分別叫第一象限(或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）.注：ⅰ、坐標(biāo)軸（x軸、y軸）上的點不屬于任何一個象限.ⅱ、平面直角坐標(biāo)系的原點發(fā)生改變，則點的坐標(biāo)相應(yīng)發(fā)生改變；坐標(biāo)軸的單位長度發(fā)生改變，點的坐標(biāo)也相應(yīng)發(fā)生改變.8.坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置特點①坐標(biāo)原點的坐標(biāo)為（0，0）；②第一象限內(nèi)的點，x、y同號，均為正；③第二象限內(nèi)的點，x、y異號，x為負(fù)，y為正；④第三象限內(nèi)的點，x、y同號，均為負(fù)；⑤第四象限內(nèi)的點，x、y異號，x為正，y為負(fù)；⑥橫軸（x軸）上的點，縱坐標(biāo)為0，即（x，0），所以，橫軸也可寫作：y=0（表示一條直線）⑦縱軸（y軸）上的點，橫坐標(biāo)為0，即（0，y）,所以，縱橫也可寫作：x=0（表示一條直線）9.點到坐標(biāo)軸的距離坐標(biāo)平面內(nèi)的點的橫坐標(biāo)的絕對值表示這點到縱軸（y軸）的距離，而縱坐標(biāo)的絕對值表示這點到橫軸（x軸）的距離.注:①已知點的坐標(biāo)求距離，只有一個結(jié)果，但已知距離求坐標(biāo)，則因為點的坐標(biāo)有正有負(fù)，可能有多個解的情況，應(yīng)注意不要丟解.②坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點A（x?，y?）、B(x?，y?)之間的距離公式為：d=10.坐標(biāo)平面內(nèi)對稱點坐標(biāo)的特點①一個點A（a,b）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為A＇（a,-b）,特點為：x不變，y相反；②一個點A（a,b）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為A＇（-a,b）,特點為：y不變，x相反；③一個點A（a,b）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為A＇（-a,-b），特點為：x、y均相反.11.平行于坐標(biāo)軸的直線的表示①平行于橫軸（x軸）的直線上的任意一點，其橫坐標(biāo)不同，縱坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：y=a（a為縱坐標(biāo)）的形式，a的絕對值表示這條直線到x軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點橫坐標(biāo)之差的絕對值；②平行于縱軸（y軸）的直線上的任意一點，其縱坐標(biāo)不同，橫坐標(biāo)均相等，所以，可表示為：x=b（b為橫坐標(biāo)）的形式，b的絕對值表示這條直線到y(tǒng)軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點縱坐標(biāo)之差的絕對值.12.象限角平分線的特點①第一、三象限的角平分線可表示為y=x的形式，即角平分線上的點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)相等（同號）②第二、四象限的角平分線可表示為y=-x的形式，即角平分線的點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)(異號)【題型1定位法的應(yīng)用】【例1】（24-25七年級·全國·單元測試）閱讀與理解：如圖，一只甲蟲在5×5的方格（每個方格邊長均為1）上沿著網(wǎng)格線爬行．若我們規(guī)定：在如圖網(wǎng)格中，向上（或向右）爬行記為“+”，向下（或向左）爬行記為“－”，并且第一個數(shù)表示左右方向，第二個數(shù)表示上下方向．例如：從A到B記為：A→B+1,+4從D到C記為：D→C?1,+2

思考與應(yīng)用：(1)圖中A→C（，）；B→C（，）；D→A（，）．(2)若甲蟲從A到P的行走路線依次為：+3,+2→+1,+3→(3)若甲蟲的行走路線為A→+1,+4【答案】(1)+3，+4；+2，0；?4，?2(2)見解析(3)16【分析】此題考查正負(fù)數(shù)的意義和有理數(shù)的加減混合運算，注意在方格內(nèi)對于運動方向規(guī)定的正負(fù)．（1）根據(jù)向上（或向右）爬行記為“+”，向下（或向左）爬行記為“－”解答即可．（2）由+3,+2→+1,+3→+1,?2可知從（3）由A→+1,+4【詳解】（1）解：由圖可知，A→C+3,+4，B→C+2,0，故答案為：+3，+4；+2，0；?4，?2；（2）解：若甲蟲從A到P的行走路線依次為：A→E→F→P，圖中P的即為所求．

（3）解：∵甲蟲的行走路線為A→+1,+4∴甲蟲走過的總路程=1+4+2+0+1+2+4+2=16．【變式1-1】（24-25七年級·新疆烏魯木齊·期末）兩個小伙伴拿著如下密碼表玩聽聲音猜動物的游戲，若聽到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的動物是“狗”，則聽到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”時，表示的動物是．（寫漢字）4QRSUVX3TBEINP2WDAHLMY1OCGFJKZ1234567【答案】貓【分析】本題考查了有序數(shù)對的應(yīng)用．根據(jù)題意確定所對應(yīng)的字母位置是解題的關(guān)鍵．由咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的動物是“狗”，即表示2，2，1，1，【詳解】解：∵咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的動物是“狗”，即表示2，2，∴“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示2，1，故答案為：貓．【變式1-2】（24-25七年級·廣東廣州·期中）如圖，若點A(2,1)表示放置2個胡蘿卜，1棵青菜；點B(4,2)表示放置4個胡蘿卜，2棵青菜．

(1)請寫出其他各點C，D，E，F(xiàn)所表示的意義；(2)若一只小兔子從A到達(dá)B（順著方格線走）有以下幾種路徑可選擇：①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B．問：走哪條路徑吃到的胡蘿卜最多？走哪條路徑吃到的青菜最多？【答案】(1)點C(2,2)表示放置2個胡蘿卜，2棵青菜；點D(3,2)表示放置3個胡蘿卜，2棵青菜；點E(3,1)表示放置3個胡蘿卜，1棵青菜；點F(4,1)表示放置4個胡蘿卜，1棵青菜(2)走③吃到的胡蘿卜最多，走①吃的青菜最多【分析】（1）由題可知，數(shù)對中第一個數(shù)表示胡蘿卜的個數(shù)，第二個數(shù)表示青菜的棵數(shù)，由此可解；（22）根據(jù)第（1）問中求出的結(jié)果計算即可【詳解】（1）解：點C(2,2)表示放置2個胡蘿卜，2棵青菜；點D(3,2)表示放置3個胡蘿卜，2棵青菜；點E(3,1)表示放置3個胡蘿卜，1棵青菜；點F(4,1)表示放置4個胡蘿卜，1棵青菜；（2）解：走①A→C→D→B可以吃到2+2+3+4=11個胡蘿卜，1+2+2+2=7棵青菜；走②A→E→D→B可以吃到2+3+3+4=12個胡蘿卜，1+1+2+2=6棵青菜；走③A→E→F→B吃到2+3+4+4=13個胡蘿卜，1+1+1+2=5棵青菜；因此走③吃到的胡蘿卜最多，走①吃的青菜最多．【點睛】本題考查有序數(shù)對，明白第一個數(shù)表示胡蘿卜的個數(shù)，第二個數(shù)表示青菜的棵數(shù)是關(guān)鍵．【變式1-3】（24-25七年級·貴州安順·期中）如圖，雷達(dá)探測器測得六個目標(biāo)A，B，C，D，E，F(xiàn)出現(xiàn)，按照規(guī)定的目標(biāo)表示方法，目標(biāo)C，F(xiàn)的位置表示為C6,120°，F(xiàn)(1)按照此方法表示目標(biāo)A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______；(2)若目標(biāo)C的實際位置是北偏西30°距觀測站1800m，目標(biāo)F的實際位置是南偏西60°距觀測站1500m，寫出目標(biāo)A，B，D，(3)若另有目標(biāo)G在東南方向距觀測站750m處，目標(biāo)H在南偏東20°距觀測站900m處，寫出G，【答案】(1)5,30°，2,90°，4,240°，3,300°(2)目標(biāo)A的實際位置為北偏東60°距觀測站1500m，目標(biāo)B的實際位置為正北方向距觀測站600m，目標(biāo)D的實際位置為南偏西30°距觀測站1200m，目標(biāo)E的實際位置為南偏東(3)G2.5,315°，【分析】本題考查了用有序數(shù)對表示位置、用方向角和距離確定物體的位置，理解題意、熟練掌握用有序數(shù)對表示位置、用方向角和距離確定物體的位置是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“目標(biāo)C，F(xiàn)的位置表示為C6,120°，F(xiàn)5,210°”，表示目標(biāo)A，B，D，（2）根據(jù)“目標(biāo)C的實際位置是北偏西30°距觀測站1800m，目標(biāo)F的實際位置是南偏西60°距觀測站1500m”，求出每一圈表示300m，觀察圖形，根據(jù)用方向角和距離確定物體的位置，寫出目標(biāo)A，B，D（3）根據(jù)“目標(biāo)G在東南方向距觀測站750m處，目標(biāo)H在南偏東20°距觀測站900m處”，觀察圖形并計算，寫出G，【詳解】（1）解：∵目標(biāo)C，F(xiàn)的位置表示為C6,120°，F(xiàn)∴按照此方法表示：A5,30°，B2,90°，D4,240°故答案為：5,30°，2,90°，4,240°，3,300°；（2）解：∵C6,120°，F(xiàn)5,210°，目標(biāo)C的實際位置是北偏西30°距觀測站1800m，目標(biāo)F的實際位置是南偏西60°∴18006又∵A5,30°，B2,90°，D4,240°∴300×5=1500m，300×2=600m，300×4=1200m∴目標(biāo)A的實際位置為北偏東60°距觀測站1500m，目標(biāo)B的實際位置為正北方向距觀測站600m，目標(biāo)D的實際位置為南偏西30°距觀測站1200m，目標(biāo)E的實際位置為南偏東30°（3）解：∵目標(biāo)G在東南方向距觀測站750m處，目標(biāo)H在南偏東20°距觀測站900∴300°+330°2=315°，750m300m∴G2.5,315°，H【題型2坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)特征】【例2】（24-25七年級·新疆烏魯木齊·期中）已知點P2a?2,a+5(1)點P在y軸上，求出點P的坐標(biāo)；(2)點Q的坐標(biāo)為4,5，直線PQ∥y軸；求出點P的坐標(biāo)；(3)若點P在第二象限，且它到x軸、y軸的距離相等，求a的值．【答案】(1)(0,6)；(2)(4,8)；(3)?1．【分析】（1）根據(jù)題意得：點P在y軸上，得到2a?2=0，解出a的值，由此得到答案．（2）根據(jù)直線PQ∥y軸，得到2a?2=4，解出a的值，由此得到答案．（3）根據(jù)點P在第二象限，且它到x軸、y軸的距離相等，得到2a?2<0，a+5>0，故2?2a=a+5，解出a的值，由此得到答案．本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)及立方根，熟知坐標(biāo)軸上的點及平行于坐標(biāo)軸的直線上的點的坐標(biāo)特征，是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：∵點P在y軸上，∴2a?2=0，解得：a=1，則a+5=1+5=6，∴點P的坐標(biāo)為：(0,6)；（2）解：∵直線PQ∥y軸，∴直線PQ上所有點的橫坐標(biāo)都相等，∴2a?2=4，解得：a=3，則a+5=8，即點P的坐標(biāo)為(4,8)；（3）解：∵點P在第二象限，且它到x軸、y軸的距離相等，∴2a?2<0，a+5>0，|2a?2|=|a+5|，即2?2a=a+5，解得：a=?1．【變式2-1】（24-25七年級·河南許昌·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點Mm(1)當(dāng)m=?12時，點(2)若點M在x軸上，求m的值；(3)若點M在第一、三象限的角平分線上，求m的值．【答案】(1)二(2)m=?(3)m=?3【分析】此題考查了點與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，坐標(biāo)軸上的點的特征，第一、三象限的角平分線上的點的特征．（1）將m=?1（2）根據(jù)點在x軸上縱坐標(biāo)為0求解；（3）根據(jù)第一、三象限的角平分線上的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相等求解．【詳解】（1）當(dāng)m=?12時，Mm，2m+3（2）∵點M在x軸上，∴2m+3=0解得：m=?3（3）∵點M在第一、三象限的角平分線上，∴m=2m+3，解得：m=?3．【變式2-2】（24-25七年級·陜西渭南·期末）已知，點P2m?6,m+2(1)若點P在y軸上，則m的值為______；(2)若點P的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大6，則點P在第幾象限？【答案】(1)3(2)第二象限【分析】本題主要考查了y軸上坐標(biāo)的特點，根據(jù)點的坐標(biāo)判斷點所在的象限，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．（1）根據(jù)在y軸上的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)為0，計算出m，即可得到P的坐標(biāo)；（2）根據(jù)P的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大6，列出等式，求出m，然后根據(jù)四個象限點的符號特點進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：∵點P2m?6,m+2在y∴2m?6=0，解得：m=3；故答案為：3（2）解：∵點P2m?6,m+2∴m+2?解得：m=2，∴點P的坐標(biāo)為?2,4，∴點P在第二象限．【變式2-3】（24-25七年級·四川宜賓·期末）點Pa+3,2a?2在第二，四象限角平分線上，則a=【答案】?【分析】此題考查象限角平分線上點坐標(biāo)特點，一、三象限角平分線上點的縱橫坐標(biāo)相等；二，四象限角平分線上點的縱橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．第二、四象限角平分線上點的坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此列出關(guān)于a的方程求解．【詳解】解：∵點Pa+3,2a?2∴a+3+2a?2=0，∴3a+1=0∴a=?1故答案為：?1【題型3根據(jù)已知點的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作圖】【例3】（24-25七年級·貴州黔東南·期中）如圖是某學(xué)校的平面示意圖，已知旗桿的位置是?2,2，實驗室的位置是1,3．(1)根據(jù)所給條件在圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示位置：食堂是______，圖書館是______；(3)已知辦公樓的位置是0,2，教學(xué)樓的位置是2,1，在圖中標(biāo)出辦公樓和教學(xué)樓的位置；(4)如果1個單位長度表示30m，那么宿舍樓到教學(xué)樓的實際距離為______m【答案】(1)作圖見詳解(2)?5,4，2,4(3)作圖見詳解(4)240【分析】本題主要考查坐標(biāo)表示地理位置，平面直角坐標(biāo)系的特點，（1）根據(jù)旗桿的位置是?2,2，實驗室的位置是1,3即可確定平面直角坐標(biāo)系；（2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系即可求解；（3）根據(jù)坐標(biāo)表示地理位置的方法即可求解；（4）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點，確定宿舍樓與教學(xué)樓之間有幾個單位長度，由此即可求解．【詳解】（1）解：已知旗桿的位置是?2,2，實驗室的位置是1,3，∴建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，即大門為坐標(biāo)原點；（2）解：根據(jù)（1）中的平面直角坐標(biāo)系可得，食堂?5,4，圖書館2,4，故答案為：?5,4，2,4；（3）解：辦公樓的位置是0,2，教學(xué)樓的位置是2,1，如圖所示，（4）解：1個單位長度表示30m，那么宿舍樓到教學(xué)樓的實際距離為30×8=240故答案為：240．【變式3-1】（24-25七年級·全國·課后作業(yè)）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使點B、C的坐標(biāo)分別為0,0和4,0，寫出點A、D、E、F、G的坐標(biāo)，并指出它們所在的象限．【答案】見解析【分析】本題考查了直角坐標(biāo)系，解題的關(guān)鍵是掌握直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征，根據(jù)點B、C的坐標(biāo)分別為0,0和4,0，建立直角坐標(biāo)系即可求解．【詳解】解：建立直角坐標(biāo)系如圖：A?2,3在第二象限，D6,1在第一象限，E5,3在第一象限，F(xiàn)【變式3-2】（24-25七年級·河南商丘·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A3a?1,1的橫坐標(biāo)與點B(1)求點A，B的坐標(biāo)；(2)點C?a?1,m在第三象限，且到x軸的距離為1，請在正方形網(wǎng)格圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出三角形ABC，并求出三角形ABC【答案】(1)2,1；?2,1(2)圖見解析；4【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，相反數(shù)的定義，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)相反數(shù)的定義，建立方程，求出a的值．（1）先根據(jù)點A3a?1,1的橫坐標(biāo)與點B2a?4,1的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，得出3a?1+2a?4=0，求出（2）先求出點C的坐標(biāo)為?2,?1，然后根據(jù)A、B的坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系，畫出△ABC，利用三角形的面積公式求出△ABC的面積即可．【詳解】（1）解：∵點A3a?1,1的橫坐標(biāo)與點B∴3a?1+2a?4=0，解得a=1，∴3a?1=2，2a?4=?2，∴點A，B的坐標(biāo)分別為2,1，?2,1.（2）解：∵點C?a?1,m在第三象限，且到x∴m=?1，由（1）得，a=1，∴?a?1=?2，∴點C的坐標(biāo)為?2,?1，建立平面直角坐標(biāo)系并畫出的三角形ABC，如圖所示.（畫法不唯一）∴三角形ABC的面積為：1【變式3-3】（24-25七年級·廣東陽江·期末）廣東省廣州市的長隆野生動物世界是國內(nèi)最大的野生動物保護(hù)基地之一，擁有超過500種、逾2萬只陸生動物，是游客們了解廣州必到的勝地．如圖是長隆野生動物世界部分景點的分布示意圖，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，并且“五彩廣場”和“考拉園”的坐標(biāo)分別是?3,1和?1,?1．(1)根據(jù)題意，畫出正確的平面直角坐標(biāo)系．(2)“百虎山”的坐標(biāo)為______；“熊貓樂園”的坐標(biāo)為______．(3)小明現(xiàn)在在“熊貓樂園”，想要前往“百虎山”（只能走網(wǎng)格，每個網(wǎng)格為一個單位長度），可以先向上走_(dá)_____個單位長度，再向______走_(dá)_____個單位長度．【答案】(1)詳見解析(2)0,3，1,?2(3)5，左，1【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，能根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“五彩廣場”和“考拉園”的坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系即可．（2）根據(jù)（1）中所建坐標(biāo)系即可解決問題．（3）根據(jù)“熊貓樂園”和“百虎山”的坐標(biāo)即可確定；【詳解】（1）解：因為“五彩廣場”和“考拉園”的坐標(biāo)分別是?3,1和?1,?1，所以平面直角坐標(biāo)系如圖所示．（2）解：由（1）中所建平面直角坐標(biāo)系可知，“百虎山”的坐標(biāo)為0,3，“熊貓樂園”的坐標(biāo)為1,?2．

故答案為：0,3，1,?2．（3）解：根據(jù)“熊貓樂園”的坐標(biāo)為1,?2，“百虎山”的坐標(biāo)為0,3，可以得出從“熊貓樂園”前往“百虎山”可以先向上走5個單位長度，再向左走1個單位長度，故答案為：5；左；1．【考點2圖形在坐標(biāo)系中的平移】1.點的平移在平面直角坐標(biāo)系中，將點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x＋a，y）；將點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x－a，y）；“左減右加”將點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，y＋b）；將點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，y－b）.“下減上加”2.圖形的平移在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)如果把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加（或減去）一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標(biāo)都加（或減去）一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度.3.關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)關(guān)系4.坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用①已知三角形的頂點坐標(biāo)求三角形的面積將坐標(biāo)平面上的三角形的面積轉(zhuǎn)化為幾個圖形的面積的組合（相加）或分解（相減），即將要求的三角形面積轉(zhuǎn)化為一個大的多邊形（例如矩形或梯形）與一個或幾個較小的三角形面積之差；②已知多邊形各頂點坐標(biāo)求多邊形的面積將坐標(biāo)平面上的多邊形的面積分割成幾個規(guī)則的圖形組合的面積之和，或轉(zhuǎn)化為一個更大的多邊形（例如矩形或梯形）與一個或幾個較小的三角形面積之差.【題型4坐標(biāo)系中的平移】【例4】（24-25七年級·吉林長春·期末）如圖：A1,0，B0,2，若將線段AB平移至A1B1【答案】2【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，掌握平移中點的變化規(guī)律：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)點A和A1的坐標(biāo)確定出橫向平移規(guī)律，點B和B1的坐標(biāo)確定出縱向平移規(guī)律，即可求出a、【詳解】解：∵A1,0，A13,b，B∴平移規(guī)律為向右3?1=2個單位，向上4?2=2個單位，∴a=0+2=2，b=0+2=2∴2a?b=2×2?2=2．故答案為：2．【變式4-1】（24-25七年級·山西朔州·期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將M5,2先向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，移動后的點的坐標(biāo)是（

A．8,4 B．3,5 C．2,0 D．2,3【答案】C【分析】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的變化．根據(jù)平移變換與坐標(biāo)變化規(guī)律：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減，可得答案．【詳解】解：∵點M5,2∴先向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到的點的坐標(biāo)是5?3,2?2，即2,0，故選：C．【變式4-2】（24-25七年級·安徽·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點Aa,b先向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后位于原點處，則點A的坐標(biāo)為【答案】?1,?2【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標(biāo)都加（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．利用點平移的坐標(biāo)規(guī)律，把A點的橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)加上1，得到原點坐標(biāo)，則a+1=0,b+2=0，求出a=?1,b=?2,即可得到點A的坐標(biāo)．【詳解】解：∵點Aa,b∴a+1=0,b+2=0．∴a=?1,b=?2∴點A的坐標(biāo)為點?1,?2故答案為：?1,?2．【變式4-3】（24-25七年級·四川南充·期末）如圖，第二象限有兩點Am+3,n,Bm,n?2，將線段AB平移，使點A，B分別落在兩條坐標(biāo)軸上，則平移后點BA．3,0或0,2 B．?3,0或0,2C．?3,0或0,?2 D．3,0或0,?2【答案】C【分析】設(shè)平移后點A、B的對應(yīng)點分別是A′、B′．分兩種情況進(jìn)行討論：①A′在y軸上，B′在x軸上；②A′在x軸上，B′在y軸上．【詳解】解：設(shè)平移后點A、B的對應(yīng)點分別是A′、B′．分兩種情況：①A′在y軸上，B′在x軸上，則A′橫坐標(biāo)為0，B′縱坐標(biāo)為0，∵點A′與點A的橫坐標(biāo)的差為：0?m+3∴m+?m?3∴點B平移后的對應(yīng)點的坐標(biāo)是?3,0；②A′在x軸上，B′在y軸上，則A′縱坐標(biāo)為0，B′橫坐標(biāo)為0，∵0?n=?n，∴n?2+?n∴點B平移后的對應(yīng)點的坐標(biāo)是0,?2；綜上可知，點B平移后的對應(yīng)點的坐標(biāo)是?3,0或0,?2．故選C．【點睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)圖形的平移，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點的平移規(guī)律相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．【題型5關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點】【例5】（24-25七年級·湖南永州·期末）任意兩點關(guān)于它們所連線段的中點成中心對稱，在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點P(x1，y1)，Q

(x2，y2)的對稱中心的坐標(biāo)為x1（1）在平面直角坐標(biāo)系中，若點P1(0，-1)，P2(2，3)的對稱中心是點A，則點A的坐標(biāo)為；（2）另取兩點B(?1,2)，C(?1，0)．有一電子青蛙從點P1處開始依次作關(guān)于點A，B，C的循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點P1關(guān)于點A的對稱點P2處，接著跳到點P2關(guān)于點B的對稱點P3處，第三次再跳到點P3關(guān)于點C的對稱點P4處，第四次再跳到點P4關(guān)于點A的對稱點P5處，…，則點P2019的坐標(biāo)為【答案】(1,1)(?4,1)【分析】（1）根據(jù)對稱中心的坐標(biāo)公式代入計算即可（2）利用中心對稱的性質(zhì)依次計算出，然后找到規(guī)律，利用規(guī)律即可解題．【詳解】（1）∵點P1(0，-1)，P2(2，3)∴A的坐標(biāo)為(0+2（2）由題意可知P1∵點P2，P3關(guān)于點B對稱∴P∵點P3，P4關(guān)于點C對稱∴P同理可求P所以六次一個循環(huán)∵2019÷6=336?3∴故答案為：(1,1)；(?4,1)．【點睛】本題主要考查點的坐標(biāo)規(guī)律的探索，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（24-25七年級·天津河?xùn)|·期末）在平面直角坐標(biāo)系中點P（－2，3）關(guān)于x軸的對稱點在第象限【答案】三【分析】先根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得對稱點的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)符號判斷所在象限即可．【詳解】解：點P（-2，3）關(guān)于x軸的對稱點為（-2，-3），（-2，-3）在第三象限．故答案為：三【點睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號，以及關(guān)于x軸的對稱點橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．【變式5-2】（24-25七年級·廣東清遠(yuǎn)·期末）四盞燈籠的位置如圖．已知A，B，C，D的坐標(biāo)分別是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），移動y軸右側(cè)的一盞燈籠，使得y軸兩側(cè)的燈籠對稱，則移動的方法可以是（

）A．將B移到（－2，b） B．將B移到（－3.5，b）C．將C移到（－2，b） D．將D移到（－2，b）【答案】D【分析】注意到A，B關(guān)于y軸對稱，只需要C，D關(guān)于y軸對稱即可，可以將點C（2，b）向左平移到（－3.5，b），平移5.5個單位，或可以將D（3.5，b）向左平移到（－2，b），平移5.5個單位．【詳解】解：∵A，B，C，D這四個點的縱坐標(biāo)都是b，∴這四個點在一條直線上，這條直線平行于x軸，∵A（－1，b），B（1，b），∴A，B關(guān)于y軸對稱，只需要C，D關(guān)于y軸對稱即可，∵C（2，b），D（3.5，b），∴可以將點C（2，b）向左平移到（－3.5，b），平移5.5個單位，或可以將D（3.5，b）向左平移到（－2，b），平移5.5個單位，故選D．【點睛】本題考查了生活中的平移和關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)關(guān)系，注意關(guān)于y軸對稱的兩個點的坐標(biāo)的關(guān)系：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．【變式5-3】（24-25七年級·全國·假期作業(yè)）剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點E的坐標(biāo)為(?2,?n)，其關(guān)于y軸對稱的點F的坐標(biāo)(2,?m+1)，則(n?m)2023=【答案】?1【分析】本題考查點的坐標(biāo)規(guī)律、代數(shù)式求值，利用關(guān)于y軸對稱的點縱坐標(biāo)相同，可得n?m=?1，即可求出答案．【詳解】解：∵點E的坐標(biāo)為(?2,?n)，其關(guān)于y軸對稱的點F的坐標(biāo)(2,?m+1)，∴?n=?m+1，∴n?m=?1，∴(n?m)故答案為：?1．【題型6在平面直角坐標(biāo)系中作圖】【例6】（24-25七年級·河北滄州·期中）如圖，將三角形ABC平移后，三角形ABC內(nèi)任意一點P（x0，y0）的對應(yīng)點為P1（x0+5，y0﹣3）．（1）三角形ABC的面積為；（2）將三角形ABC平移后，頂點A，B，C的對應(yīng)點分別為A1，B1，C1，在圖中畫出三角形A1B1C1；（3）若三角形ABC外有一點M經(jīng)過同樣的平移后得到點M1（5，3），則點M的坐標(biāo)為；若連接線段MM1，PP1，則這兩條線段之間的關(guān)系是．【答案】（1）8.5；（2）見解析；（3）(0,6)，平行且相等【分析】（1）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積得到△ABC的面積；（2）利用點P和P1的特征確定平移的方向與距離，再利用此平移規(guī)律作圖即可；（3）把點M1先向左平移5個單位，再向上平移3個單位得到M，從而得到M點的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)判斷線段MM1，PP1之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）△ABC的面積＝4×5?1（2）如圖，△A1B1C1為所作；（3）把點M1先向左平移5個單位，再向上平移3個單位得到M點的坐標(biāo)為(0,6)，由平移的性質(zhì)知，MM1與PP1平行且相等．故答案為：8.5，(0,6)；平行且相等．【點睛】本題考查作圖-平移變換，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握由點的坐標(biāo)確定平移的方向與平移距離．【變式6-1】（24-25七年級·廣西北海·期末）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，△AOB的頂點均在格點上.（1）B點關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為；（2）將△AOB向左平移3個單位長度得到△A1O1B1，請畫出△A1O1B1；（3）在（2）平移過程中，線段OA所掃過的面積為.【答案】（1）（-3,1）；（2）作圖見解析；（3）9【詳解】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特點即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出△A1O1B1即可；（3）利用平行四邊形的面積公式即可得出結(jié)論.解：（1）∵B（3，1），∴B點關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為（-3，1）.故答案為（-3，1）；（2）如圖△A1O1B1即為所求；（3）線段OA所掃過的面積=3×3=9.故答案為9.【變式6-2】（24-25七年級·江蘇南京·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC三個頂點在格點上．已知點A(1,1)，點C(2,3)．(1)畫出平面直角坐標(biāo)系（要求：畫出坐標(biāo)軸，標(biāo)注坐標(biāo)原點O）．(2)現(xiàn)將△ABC先向下平移4個單位長度，再沿y軸翻折得到△A1B1C1，在圖中畫出(3)若△ABC內(nèi)有一點P(a,b)，則點P經(jīng)過（2）中的平移、對稱后得到的點P1【答案】(1)見詳解(2)(0,1)(3)(?a,b?4)【分析】本題考查作圖?軸對稱變換、平移變換，（1）根據(jù)點A，C的坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系即可．（2）根據(jù)平移和軸對稱的性質(zhì)畫圖即可；由圖可得線段CC（3）由平移和軸對稱可知，點P(a,b)經(jīng)過（2）中的平移后得到的點的坐標(biāo)為(a,b?4)，再沿y軸翻折得到點P1的坐標(biāo)為(?a,b?4)【詳解】（1）解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．（2）如圖，△A由圖可知，線段CC1的中點坐標(biāo)為故答案為：(0,1)．（3）點P(a,b)先向下平移4個單位長度得到的點的坐標(biāo)為(a,b?4)，再沿y軸翻折得到點P1的坐標(biāo)為(?a,b?4)故答案為：(?a,b?4)．【變式6-3】（24-25七年級·河南洛陽·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC中，點A的坐標(biāo)是?4,2，點B的標(biāo)是?2,0，點C的坐標(biāo)是?1,4．將三角形ABC平移后得到三角形A′B′C′，其中點A(1)分別寫出點B′和點C′的坐標(biāo)：B′，(2)在坐標(biāo)系中畫出三角形A'(3)若點Pm,4?n是三角形ABC內(nèi)的一點，點P′2m?1,n?5是三角形A′B′C【答案】(1)3,?3，4,1(2)見解析(3)m=6，n=3【分析】本題主要考查平移作圖和點的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)和變化規(guī)律．（1）根據(jù)點的平移變化規(guī)律即可求解；（2）根據(jù)（1）得到的B′、C（3）根據(jù)點的平移變化規(guī)律，列出方程即可求解．【詳解】（1）解：∵A?4,2的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為∴點A向右平移5個單位，再向下平移3個單位得到A′∵點B的標(biāo)是?2,0，點C的坐標(biāo)是?1,4，∴B′3,?3，故答案為：3,?3，4,1；（2）如圖，三角形A′（3）∵點Pm,4?n是三角形ABC內(nèi)的一點，點P′2m?1,n?5是三角形A∴點P向右平移5個單位，再向下平移3個單位得到P′根據(jù)題意可得：m+5=2m?1，4?n?3=n?5，解得：m=6，n=3，∴m=6，n=3．【題型7在平面直角坐標(biāo)系中求圖形的面積】【例7】（24-25七年級·湖北咸寧·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為1,?2，點B的坐標(biāo)為3,0．

(1)如圖1，平移線段AB到線段DC，使點A的對應(yīng)點為D，點B的對應(yīng)點為C，若點C的坐標(biāo)為?2,4，則點D的坐標(biāo)為；(2)如圖2，平移線段AB到線段DC，使點C在y軸的正半軸上，點D在第二象限內(nèi)．①此時點D的橫坐標(biāo)為，設(shè)點D的縱坐標(biāo)為y，點C的縱坐標(biāo)用y的代數(shù)式表示為；②連接BC，BD，若△BCD的面積為7，求點C，D的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，在y軸上是否存在一點P，使△PBD與△BCD的面積之比為12:7？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)D(?4,2)(2)①?2；2+y；②C(0,4)，D(?2,2)(3)存在點P，其坐標(biāo)為(0，6)【分析】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中幾何圖形的變換，掌握圖形平移的規(guī)律，幾何圖形的面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點B，點C的坐標(biāo)可得平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律即可求解；（2）①根據(jù)點C可得平移規(guī)律，即可作答；②連接OD，根據(jù)S△BCD=S（3）根據(jù)題意，先計算出S△PBD=12，再根據(jù)題意，分類討論：①當(dāng)P在x軸上方時；②當(dāng)P在【詳解】（1）解：已知點A的坐標(biāo)為1,?2，點B的坐標(biāo)為3,0，平移后點B的對應(yīng)點為C的坐標(biāo)為?2，∵B(3,0)平移后的對應(yīng)點C(?2,4)，∴設(shè)3+a=?2，0+b=4，∴a=?5，b=4，即：點B向左平移5個單位，再向上平移4個單位得到點C(?2,4)，∴1?5=?4，?2+4=2，∴A點平移后的對應(yīng)點D(?4,2)；（2）①∵點C在y軸上，點D在第二象限，A1,?2，B∴點B向左平移3個單位，∴點A向左平移3個單位，橫坐標(biāo)為：1?3=?2，即點D的橫坐標(biāo)為?2，∵對應(yīng)點D在第二象限，點D的縱坐標(biāo)為y，∴設(shè)點A向上平移了(2+y)個單位，∴線段AB向左平移3個單位，再向上平移(2+y)個單位，符合題意，∴C(0,2+y)，D(?2,y)，∴OB=3，OC=2+y，即點C的縱坐標(biāo)用y的代數(shù)式表示為2+y，故答案為：?2，2+y；②如圖所示，連接OD，∴S△BCD∴1212∴y=2，∴C(0,4)，D(?2,2)；（3）由（2）得D(?2,2)，∵S△BCD=7，∴S△PBD①當(dāng)P在x軸上方時，如圖1，12×OP×2OP=6，∴P(0，②當(dāng)P在x軸下方時，如圖2，12×OP×2+OP=18∴P0,?∴存在點P，其坐標(biāo)為0,6或0,?18【變式7-1】（24-25七年級·江西南昌·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，有點Aa,?1，點B（1）當(dāng)A，B兩點關(guān)于直線x=?1對稱時，求△AOB的面積；（2）當(dāng)線段AB//y軸，且AB=3時，求a?b的值．【答案】（1）3；（2）0或6【分析】（1）根據(jù)A，B兩點關(guān)于直線x=?1對稱求出a、b的值，再畫出圖象求出△AOB的面積；（2）根據(jù)AB//y軸得到A、B兩點橫坐標(biāo)相等，由AB=3得到?1?b=3，求出a、b的值，得到a?b【詳解】解：（1）∵A，B兩點關(guān)于直線x=?1對稱，∴a+22=?1，解得∴b=?1，則A?4,?1，B如圖所示，S△AOB（2）∵AB//y軸，∴a=2，∵AB=3，∴?1?b=3，解得b=2或?4∴a?b=2?2=0或a?b=2+4=6．【點睛】本題考查點坐標(biāo)的求解，解題的關(guān)鍵是掌握平面直角坐標(biāo)系中點坐標(biāo)的對稱關(guān)系，三角形的面積求解方法．【變式7-2】（24-25七年級·廣西河池·期末）如圖，在平面直角坐