昆山市柏廬高級(jí)中學(xué)高二年級(jí)3月階段性測試數(shù)學(xué)學(xué)科一、單選題（8*5分=40分）1.曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，由點(diǎn)斜式可得，化簡可得.即曲線在處的切線方程為.故選：D.2.已知函數(shù)則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)即可得到答案.【詳解】,.故選：A.3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.? B.?C.? D.?【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)小于解不等式可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋桑茫桑茫驗(yàn)椋越獾茫院瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B4.如圖，湖北省分別與湖南?安徽?陜西?江西四省交界，且湘?皖?陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（）A.540 B.600 C.660 D.720【答案】D【解析】【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理按步驟去涂色即可.【詳解】第一步涂陜西有5種選擇，第二步涂湖北有4種選擇，第三步涂安徽有4種選擇，第四步涂江西有3種選擇，第五步涂湖南有3種選擇,即共有種涂色方案.故選：D5.已知偶函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且在時(shí)滿足以下條件：①導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示；②唯一的零點(diǎn)是1．則的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】記在上的零點(diǎn)為，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象可求出的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)可求出當(dāng)時(shí)的正負(fù)，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可求得不等式的解集.【詳解】記在上的零點(diǎn)為，由在上的圖象，知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)樵谖ㄒ坏牧泓c(diǎn)是1，即，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．又為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的解集為．故選：B．6.甲、乙、丙、丁四人去聽同時(shí)舉行的個(gè)講座，每人可自由選擇聽其中一個(gè)講座，則恰好只有甲、乙兩人聽同一個(gè)講座的情況種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將甲、乙兩人捆綁，與丙、丁兩人形成三個(gè)元素，然后從個(gè)講座中選取個(gè)講座分配給這三個(gè)元素即可，利用排列數(shù)公式可得結(jié)果.【詳解】先將甲、乙兩人捆綁，與丙、丁兩人形成三個(gè)元素，然后從個(gè)講座中選取個(gè)講座分配給這三個(gè)元素即可，所以，恰好只有甲、乙兩人聽同一個(gè)講座的情況種數(shù)為.故選：D.7.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域，將函數(shù)分類討論，借助于求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，判斷極值點(diǎn)和圖象趨勢，作出函數(shù)的簡圖，將函數(shù)分解因式，根據(jù)零點(diǎn)定義，結(jié)合圖象，確定有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為有3個(gè)零點(diǎn)，由圖即得參數(shù)范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋魰r(shí)，由求導(dǎo)得，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；若時(shí)，由求導(dǎo)得，，因，故恒有，即在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個(gè)根，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；要使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，需使有3個(gè)零點(diǎn)，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參問題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于將函數(shù)按照定義域分類討論，通過求導(dǎo)作出函數(shù)的圖象；第二個(gè)關(guān)鍵是，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題解決.8.函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知函數(shù)求導(dǎo)，令則可得，代入極值點(diǎn)后兩式作商，可得到的關(guān)系，作商得到的結(jié)果指對(duì)互換，便可解出，根據(jù)題目所求，代入后便可構(gòu)造新的函數(shù)，通過求導(dǎo)可求得最小值.【詳解】由函數(shù)，，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)兩個(gè)極值點(diǎn)，則①，②，得③，設(shè)，則且，代入③得，，設(shè)，則，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，，從而，在單調(diào)遞減，，，故最小值為．故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)最值，通常是對(duì)所求函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)不能確定極值點(diǎn)時(shí)，可二階求導(dǎo)確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，可得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得原函數(shù)的最值.二、多選題（3*6分=18分，漏選得2分、3分或4分）9.某次宴會(huì)，有6葷4素2湯共十二道菜品在長桌上擺成一排，下列說法正確的是（）A.兩份湯相鄰的擺法共有種B.每道素菜不相鄰的擺法共有種C.若十二道菜品的順序已經(jīng)固定，現(xiàn)又上了四道主食，有種不同擺法D.兩湯不擺在首尾的擺法共有種【答案】BCD【解析】【分析】利用捆綁判斷A，利用插空法判斷B，利用定序倍縮法判斷C，利用特殊位置法判斷D，從而得解.【詳解】對(duì)于A，先將兩份湯捆綁在一起，再與其余十道菜品排列在一起，共有種擺法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，先將6葷2湯共八道菜品進(jìn)行排列，再將4道素菜插空，共有種擺法，故B正確；對(duì)于C，先將十六道菜品進(jìn)行排列，有種擺法，其中十二道菜品的順序固定，所以有（種）不同擺法，故C正確；對(duì)于D，將12道菜看成10個(gè)空，去掉首尾后還有10個(gè)空，在其中任選兩個(gè)空將兩個(gè)湯品放進(jìn)去，再將十道菜品排列到剩余的10個(gè)空中，共有種擺法，故D正確.故選：BCD.10.對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在單調(diào)遞增.B.函數(shù)在單調(diào)遞減.C.對(duì)任意，都有成立.D.存在，使得.【答案】AC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性判斷A，B，利用函數(shù)的凹凸性判斷C，轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷D即可.【詳解】因?yàn)椋裕椎茫睿裕屎愠闪ⅲ蕟握{(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故A正確，易得，所以，所以存在作為零點(diǎn)，令，，令，，所以函數(shù)在不單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，由已知得的二階導(dǎo)數(shù)恒大于0，所以是凹函數(shù)，所以成立，故C正確，欲證，則證，即證存在，，令，即證存在，有零點(diǎn)即可，而，令，所以，故在上單調(diào)遞增，而，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，易得，所以在上恒成立，故在上不可能有零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知函數(shù)和，有相同的極小值，若存在，使得成立，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，若的所有根記為，，，，且，則【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)兩個(gè)函數(shù)極小值相同，分別求導(dǎo)，求出兩個(gè)函數(shù)的極小值，解出b，然后將兩個(gè)函數(shù)圖像作出，根據(jù)圖像可以判斷出BC，對(duì)于D，首先根據(jù)題意得到對(duì)應(yīng)的等式，然后變形，采用等量替換的方法，即可求解.【詳解】，，，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在處取得極小值，而，且，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在處取得極小值，依據(jù)題意，和有相同的極小值，故，解得，故A正確；作出函數(shù)圖象如下圖所示，若，則與、相交時(shí)，或者，故B錯(cuò)誤.由圖像可知，當(dāng)時(shí)，，所以，C正確；若的所有根記為，，且時(shí)，則有，，可得，即，又，同理可得，，則，故D正確.故選：ACD.三、填空題（3*5分=15分）12.用0、2、4、6、8這5個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_______.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】由三位數(shù)的首位不為零，利用分步乘法原理，可得答案.【詳解】三位數(shù)的百位不能選零，則有種選擇，而十位與個(gè)位分別有種與種選擇，所以三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故答案為：.13.已知函數(shù)若對(duì)于任意的都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】參變分離得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性，求得最小值即可求解.【詳解】對(duì)于任意的都有恒成立，等價(jià)于在上恒成立.令，則，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞增，故，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)滿足且，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】首先通過對(duì)數(shù)運(yùn)算法則對(duì)已知等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)值相等及單調(diào)性得到與的關(guān)系，進(jìn)而得到關(guān)于的表達(dá)式，構(gòu)造新函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷其單調(diào)性來求解最小值.【詳解】，即，設(shè)，則上式表明，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，由于，令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，.故答案為：.四、解答題（13分+15分+15分+17分+17分=77分）15.設(shè)函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若存零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（2）證明詳見解析.【解析】【詳解】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點(diǎn)問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.（Ⅰ）先對(duì)求導(dǎo)，令解出，將函數(shù)的定義域斷開，列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，所以由表格知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值；（Ⅱ）利用第一問的表，知為函數(shù)的最小值，如果函數(shù)有零點(diǎn)，只需最小值，從而解出，下面再分情況分析函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn).試題解析：（Ⅰ）由，（）得.由解得與在區(qū)間上的情況如下：-

+所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為.因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、函數(shù)零點(diǎn)問題.16.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求k，b的值；（2）設(shè)函數(shù)，若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求出t的取值范圍并求的最小值.【答案】（1）（2）；的最小值為【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即可得出切線方程，進(jìn)而可得到答案；（2）由（1）得，做出的圖像，由圖像即可求出t的取值范圍，令，所以，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可得出答案.【小問1詳解】，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以；【小問2詳解】由（1）得，作出函數(shù)的大致圖象，因?yàn)橛袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知；令，得出，令，所以，令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以最小值為，所以的最小值為.所以，的最小值為17.已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知，若對(duì)任意的恒成立，求的最小值．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)之后分和討論得到單調(diào)性即可；（2）由條件得到時(shí)函數(shù)極小值，令極小值大于零，得到關(guān)于的不等式，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性得到最值即可.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1）可得時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，又，若對(duì)任意的恒成立，不符合題意，所以當(dāng)，，即，即，即，代入，設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.18.已知函數(shù).（1）若，當(dāng)與的極小值之和為0時(shí)，求正實(shí)數(shù)a的值；（2）若，證明恒成立；（3）若，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)極小值的定義計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）應(yīng)用，再構(gòu)造函數(shù)求出值域即可證明；（3）把問題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，令，只需證明即可.【小問1詳解】定義域均為，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在取極小值，且；又，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在取極小值，且，所以，解得：.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，令，單調(diào)遞減，，所以，所以恒成立；【小問3詳解】令，因?yàn)椋裕煽傻茫海鞑畹茫海裕C：，只要證：，只要證：，不妨設(shè)，所以只要證：，即證：，令，只需證：，令，所以在上單調(diào)遞增，所以，即有成立，所以成立.19.已知函數(shù).（1）若只有2個(gè)正整數(shù)解，求a的取值范圍；（2）①求證：方程有唯一實(shí)根，且；②求的最大值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）在同一平面直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)與直線的圖象，結(jié)合圖象分類討論即可求解；（2）①由方程可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性可知.設(shè)，根據(jù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理即可證明；②對(duì)求導(dǎo)得，結(jié)合①可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求的最大值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立；在同一平面直